《安徽省安庆一中高中数学 3.4 生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修11》由会员分享，可在线阅读，更多相关《安徽省安庆一中高中数学 3.4 生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修11（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4 生活中的优化问题举例 一、如何判断函数的单调性？一、如何判断函数的单调性？f(x)为增函数为增函数f(x)为减函数为减函数 设函数设函数y=f(x) 在在 某个区间内可导，某个区间内可导，二、如何求函数的极值与最值？二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的求函数极值的一般步骤一般步骤（1）确定定义域）确定定义域（2）求导数）求导数f(x)（3）求）求f(x)=0的根的根（4）列表（）列表（5）判断）判断求求f(x)在闭区间在闭区间a,b上的最值的步骤上的最值的步骤(1) 求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值；内极值；(2) 将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b）比较
2、）比较,从而确定函数的最从而确定函数的最值值 生活中经常遇到求生活中经常遇到求利润最大利润最大、用料最省用料最省、效效率最高率最高等问题，这些问题通常称为等问题，这些问题通常称为优化问题优化问题，通过，通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题中的优化问题. .1.1.了解导数在实际问题中的应用；了解导数在实际问题中的应用；2.2.对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实
3、际问题中的作用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用；用；3.3.利用导数知识解决实际中的最优化问题；利用导数知识解决实际中的最优化问题； （重点）（重点）4.4.将实际问题转化为数学问题，建立函数模型将实际问题转化为数学问题，建立函数模型. . （难点）（难点）探究点探究点1 1 海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计 例例1 1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传宣传. .现让你设计一张如图现让你设计一张如图3.4-13.4-1所示的竖向张贴的海所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为报，要求版心面积为128dm128dm2 2，上、下两边
4、各空，上、下两边各空2dm2dm，左、，左、右两边各空右两边各空1dm1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？白面积最小？图图3.4-1 分析：已知版心的面积，分析：已知版心的面积，你能否设计出版心的高，求你能否设计出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报出版心的宽，从而列出海报四周的面积来？四周的面积来？ 因此，因此，x=16x=16是函数是函数S(x)S(x)的极小值点，也是最小值的极小值点，也是最小值点点. .所以，当版心高为所以，当版心高为16dm16dm，宽为，宽为8dm8dm时，能使四时，能使四周空白面积最小周空白面积最小. .你还有其他
5、解法你还有其他解法吗？例如用基本吗？例如用基本不等式行吗？不等式行吗？解法二：解法二：由解法由解法( (一一) )得得 2.2.在实际应用题目中，若函数在实际应用题目中，若函数 f ( x )在定义域内在定义域内只有一个极值点只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较，则不需与端点比较， f ( x0 )即即是所求的最大值或最小值是所求的最大值或最小值.总结提升总结提升1.1.设出变量找出函数关系式；设出变量找出函数关系式；确定出定义域；确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义所得结果符合问题的实际意义. .( (所说的区间也适用于开区间或无穷区间所说的区间也适用于开区间或无穷区间) )规格（规格
6、（L）0.61.252价格（元）价格（元）2.54.55.1探究点探究点2 2 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 例例2 2 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则若它们的价格如下表所示，则（1 1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2 2）对制造商而言，哪一种的利润更大？）对制造商而言，哪一种的利润更大？ 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是瓶子的制造成本是0.8p pr2分，其中分，其中r是瓶子的半径是瓶子
7、的半径(单位单位:cm)，已知每出售，已知每出售1mL的饮料，制造商可获的饮料，制造商可获利利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，问题：问题：( () )瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？( (）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解：解：由于瓶子的半径为由于瓶子的半径为r,r,所以每瓶饮料的利润为：所以每瓶饮料的利润为：r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+减函数减函数 增函数增函数 -1.07p p因此，当因此，当r2r2时，时，f(r)0,f(r)
8、0,它表示它表示f(r)f(r)单调递增，单调递增，即半径越大，利润越高；即半径越大，利润越高；当当r2r2时，时，f(r)0,f(r)0,它表示它表示f(r)f(r)单调递减，即半单调递减，即半径越大，利润越低径越大，利润越低. . .半径为半径为2cm2cm时，利润最小时，利润最小, ,这时这时f(2)0,f(2)0b0，x x 或或 ( (舍去舍去) )，又又0 10 1，0b1.0b1.2 2函数函数f(x)f(x)x x3 33bx3bx3b(b3b(b0)0)在在(0,1)(0,1)内有极小内有极小值，则值，则( )( ) A A0b1 0b1 B Bb1b0 b0 D DbbA
9、AD DC C二、填空题二、填空题5 5面积为面积为S S 的一切矩形中，其周长最小的是的一切矩形中，其周长最小的是 6.在边长为在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？积最大？最大容积是多少？解：解：设箱高为设箱高为xcmxcm，则箱底边长为，则箱底边长为(60(602x)cm2x)cm，则得，则得箱子容积箱子容积V V是是x x的函数，的函数，V(x)V(x)(60(6
10、02x)2x)2 2x(0x30)x(0x30)4x4x3 3240x240x2 23600x.3600x.所以所以V(x)V(x)12x12x2 2480x480x36003600，令令V(x)V(x)0 0，得，得x x1010，或，或x x30(30(舍去舍去) )当当0x100x0V(x)0，当当10x3010x30时，时，V(x)0.V(x)0.所以当所以当x x1010时，时，V(x)V(x)取极大值，这个极大值就是取极大值，这个极大值就是V(x)V(x)的最大值的最大值V(10)V(10)16000(cm16000(cm3 3) )答：答：当箱子的高为当箱子的高为10cm10cm
11、，底面边长为，底面边长为40cm40cm时，时，箱子的容积最大，最大容积为箱子的容积最大，最大容积为16000cm16000cm3 3. . 点评点评 在解决实际应用问题中，如果函数在在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值不必再与端点的函数判定是最大值还是最小值不必再与端点的函数值进行比较值进行比较1.解决优化问题的基本思路：解决优化问题的基本思路：优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题优化问题的答案优化问题的答案用导数解决数学问题用导数解决数学问题2.2.导数在实际生活中的应
12、用方向：主要是解决有关导数在实际生活中的应用方向：主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：方面：(1)(1)与几何有关的最值问题；与几何有关的最值问题；(2)(2)与物理学有关的最值问题；与物理学有关的最值问题；(3)(3)与利润及其成本有关的最值问题；与利润及其成本有关的最值问题；(4)(4)效率最值问题效率最值问题. . 3.3.解决优化问题的方法：解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系题是建立适当的函数关系. .再通过研究相应函数再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具个过程中，导数是一个有力的工具. .
