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1、Copyright Wang Peng，2010市场风险：风险价值VaR1Copyright Wang Peng，2010引言引言v金融机构的投资组合价值往往取决于成百上千个市场变量。v某些用于考察某些特殊市场变量对于投资组合价值影响的度量指标，如Delta、Gamma、Vega等，尽管这些风险度量很重要，但并不能为金融机构高管和监管人员提供一个关于整体风险的完整图像。2Copyright Wang Peng，2010引言引言v风险价值VaR （Value at Risk）是试图对金融机构的资产组合提供一个单一风险度量，这一度量能够体现金融机构所面临的整体风险。vVaR最早由J. P. Mor
2、gan投资银行提出，随即被各大银行、基金等金融机构采用。3Copyright Wang Peng，2010引言引言v目前，VaR已经被巴塞尔委员会用来计算世界上不同地区银行的风险资本金，包括针对市场风险、信用风险和操作风险的资本金。v本章内容： VaR的概念 VaR的计算例子 VaR与ES VaR与资本金 VaR中的参数选择 后验分析（Backtesting analysis）4Copyright Wang Peng，20105.1 VaR的定义的定义vVaR：我们有X的把握，在未来T 时期内，资产组合价值的损失不会大于V。vV ：资产组合的VaRvVaR是两个变量的函数：持有期T 和置信度X
3、%vVaR可以由投资组合收益（Profit）的概率分布得出，也可以由投资组合损失（Loss）的概率分布得出。5Copyright Wang Peng，20105.1 VaR的定义的定义v当采用收益分布时，VaR等于收益分布第(100-X) %分位数的负值6Copyright Wang Peng，20105.1 VaR的定义的定义v当采用损失分布时，VaR等于损失分布第X% 分位数。v例：当T =5，X =97%时，VaR对应于投资组合在5天后收益分布的3分位数的负值，也对应于投资组合在5天后损失分布的97分位数。7Copyright Wang Peng，20105.2 VaR的计算例子的计算例
4、子vExample 1v假定一个交易组合在6个月时的收益服从正态分布，分布的均值为2（单位：百万美元），标准差为10。v由正态分布的性质可知，收益分布的1分位数为 2-2.3310，即-21.3。v因此，对于6个月的时间期限，在99置信度下的VaR为21.3（百万美元）。8Copyright Wang Peng，20105.2 VaR的计算例子的计算例子vExample 2v假定一个1年期项目的最终结果介于5000万美元损失和5000万美元收益之间，中间的任意结果具有均等的可能性。v项目的最终结果服从由-5000万美元到+5000万美元的均匀分布，损失大于4900万美元的可能性为1。v因此，在
5、1年后，基于99置信度的VaR为4900万美元。9Copyright Wang Peng，20105.2 VaR的计算例子的计算例子vExample 3v一个1年期项目，有98的概率收益200万美元，1.5的概率损失400万美元，0.5的概率损失1000万美元。10Copyright Wang Peng，20105.2 VaR的计算例子的计算例子v在这样的累积分布下，对应于99累积概率的损失为400万美元。vVaR400万美元v可以这样描述：我们有99的把握认为在未来1年后该项目损失不会超过400万美元。11Copyright Wang Peng，20105.2 VaR的计算例子的计算例子vE
6、xample 4v续上例，试求99.5置信度下的VaRv上图显示，介于400万美元和1000万美元中的任何损失值出现的可能性都不超过99.5。vVaR在这一情形下不具备唯一性v一个合理选择：将VaR设定为这一区间的中间值，即99.5%置信度下的VaR为700万美元。12Copyright Wang Peng，20105.3 VaR与与ESv在应用VaR时，实际上是在问“最坏的情况将会是怎样”，这一问题是所有金融机构高级管理任意都应关心的问题。vVaR将资产组合价值对各种不同类型市场变量的敏感度压缩成一个数字，这使管理人员的工作大为简化。v另外，VaR也比较容易进行后验分析（Backtestin
7、g analysis）。13Copyright Wang Peng，20105.3 VaR与与ESv然而，VaR却有会使交易员有冒更大风险的缺陷。v例如，一家银行限定某个交易员的投资组合在未来一天内99的VaR额度为1000万美元，该交易员可以构造某一资产组合，该组合有99.1的可能每天的损失小于1000万美元，但有0.9的可能损失5000万美元。v这一组合满足了银行的监管规定，但很明显，交易员使银行承担了不可接受的风险。14Copyright Wang Peng，20105.3 VaR与与ESv交易员所追求的概率分布：15Copyright Wang Peng，20105.3 VaR与与ES
8、v许多交易员喜欢承担更大的风险，以期得到更大的收益。v某交易员：“我还从来没有碰到过一种风险控制系统会使我的交易无法进行”。16Copyright Wang Peng，20105.3 VaR与预期损失与预期损失v预期损失ESv一种比VaR更能使交易员产生合理交易动机的风险测度为预期损失ES（Excepted shortfall），有时又被称为“条件VaR”（conditional VaR）、“条件尾部期望（conditional tail expectation）”、“尾部损失”（tail loss）。vES：超过VaR的损失期望值17Copyright Wang Peng，20105.3 V
9、aR与预期损失与预期损失vES也是两个变量的函数：持有期T 和置信度X。v例如，当X 99，T 10天时，VaR6400万美元的ES是指在10天后损失超过6400万美元时的期望值。vES比VaR更符合风险分散原理。18Copyright Wang Peng，20105.3 VaR与预期损失与预期损失vES的缺陷：形式较为复杂且不如VaR更为直观；较难进行后验分析。vES也已在监管机构和风险管理人员中得到了广泛应用。19Copyright Wang Peng，20105.4 VaR和资本金和资本金vVaR被监管机构用来确定资本金的持有量。v对于市场风险，监管机构往往要求资本金等于在未来10天99
10、VaR的若干倍数；v对于信用风险和操作风险，监管机构往往要求在资本金计算中，要采用1年的持有期和99.9的置信度。20Copyright Wang Peng，20105.4 VaR和资本金和资本金v对于99.9的置信度和1年时间，某个组合的VaR为5000万美元，这意味着在极端条件下（理论上，每1000年出现一次），该组合在1年时间内的损失会超过5000万美元。v也就是说，我们有99.9的把握认为，持有该组合的金融机构不会在1年内完全损失所持有的资本金。v如果要确定资本金数量，VaR是最好的风险测度选择吗？21Copyright Wang Peng，20105.4 VaR和资本金和资本金vAr
11、tzner等（1999）认为，一个好的风险测度应该满足：v（1）单调性（Monotonicity）：如果在任何条件下，A组合的收益均低于B组合，那么A组合的风险测度值一定要大于B组合的风险测度值； 含义：如果一个组合的回报总是比另一个组合差，那么第一个组合的风险一定要高，其所需要的资本金数量更大。22Copyright Wang Peng，20105.4 VaR和资本金和资本金v（2）转换不变性（Translation invariance）：如果在交易组合中加入K 数量的现金，则风险测度值必须减少K； 含义：如果在组合中加入K 数量的现金，则该现金可以为损失提供对冲，相应的准备金要求也应该可
12、以减少K。23Copyright Wang Peng，20105.4 VaR和资本金和资本金v（3）同质性（Homogeneity）：如果一个资产组合所包含的资产品种和相对比例不变，但资产数量增至原来数量的n （n 0）倍，则新组合的风险测度值应该原组合风险测度值的n倍； 含义：如果将某交易组合放大两倍，相应的资本金要求也应该放大两倍。24Copyright Wang Peng，20105.4 VaR和资本金和资本金v（4）次可加性（Sub-additivity）：由两种资产构成的投资组合的风险测度值应小于等于两种资产各自风险测度值之和。 含义：该条件与“不要把鸡蛋放在同一个篮子里”的经典风险
13、管理思想一致，即分散化投资的风险一定要小于等于集中化投资的风险。vVaR满足条件（1）、（2）、（3），但并不永远满足条件（4）。25Copyright Wang Peng，20105.4 VaR和资本金和资本金vExample 5v假定两个独立的贷款项目在1年内均有2的概率损失1000万美元，同时均有98的概率损失100万美元，因此，任意一个单笔贷款在期限为1年、置信度为97.5下的VaR均为100万美元。v将两个贷款叠加产生一个资产组合，组合有0.020.020.0004的概率损失2000万美元，有20.020.980.0392的概率损失1100万美元，有0.980.980.9604的概率
14、损失200万美元。26Copyright Wang Peng，20105.4 VaR和资本金和资本金v在时间期限为1年，97.5的置信度下，贷款组合的VaR为1100万美元，单笔贷款对应的VaR之和为200万美元。v贷款组合的VaR比贷款VaR的总和高900万美元v违反次可加性27Copyright Wang Peng，20105.4 VaR和资本金和资本金vExample 6v考虑两笔期限均一年，面值均为1000万美元的贷款，每笔贷款的违约率均为1.25。v当其中任何一笔贷款违约时，收回本金的数量不定，但回收率介于0100的可能性均等。v当贷款没有违约时，每笔贷款盈利均为20万美元。28Co
15、pyright Wang Peng，20105.4 VaR和资本金和资本金v假定如果任意一笔贷款违约，那么另一笔贷款一定不会违约。v首先考虑单笔贷款，违约可能为1.25。如果发生违约，损失均匀地介于01000万美元，这意味着损失大于零的概率为1.25；损失大于500万的概率为0.625；损失大于1000万的概率为零。01000概率：1.2529Copyright Wang Peng，20105.4 VaR和资本金和资本金v1年期99的VaR是多少？v要求99的VaR，需要找出概率为1的损失值。v设该损失值为X，有：v解得：X200。 对单笔贷款， VaR200 （万美元）30Copyright
16、 Wang Peng，20105.4 VaR和资本金和资本金v综合考虑两笔贷款。v由于每笔贷款的违约概率均为1.25，且两笔贷款不可能同时违约，所以两笔贷款中有一笔贷款违约出现的概率为2.5。v违约触发的损失介于01000万美元的概率为均等。31Copyright Wang Peng，20105.4 VaR和资本金和资本金v贷款组合99的VaR是多少？v要求99的VaR，需要找出概率为1的损失值。v设该损失值为X，有：v解得：X600（万美元）32Copyright Wang Peng，20105.4 VaR和资本金和资本金v由于一笔贷款违约时，另外一笔贷款会盈利20万美元，因此将这一盈利考虑
17、在内，可得贷款组合1年期99的VaR580万美元。v单笔贷款的VaR之和200200400（万美元）v这一结果再次与“贷款组合会带来风险分散效应”的论断相悖。33Copyright Wang Peng，20105.5 满足一致性条件的风险度量满足一致性条件的风险度量v满足单调性、转换不变性、同质性、次可加性等四个条件的风险测度被称为“一致性风险测度”vVaR不是一致性风险测度，而ES是一致性风险测度vExample 7v继续考虑例5。每笔贷款的VaR均为100万美元，现在要计算置信度为97.5的尾部期望损失。34Copyright Wang Peng，20105.5 满足一致性条件的风险度量满
18、足一致性条件的风险度量v在2.5的尾部概率中，有2的概率损失1000万美元，有0.5的概率损失100万美元。v因此，在2.5的尾部分布范围内，有80的可能损失1000万美元，有20的可能损失100万美元。v预期损失ES为0.8100.218.2（百万美元）35Copyright Wang Peng，20105.5 满足一致性条件的风险度量满足一致性条件的风险度量v将两个贷款项目结合到一起时，在2.5的尾部概率中，有0.04的概率损失2000万美元，有2.46的概率损失1100万美元。v因此，在2.5的尾部分布内，预期损失ES为(0.04/2.5) 20(2.46/2.5)11=11.144（百
19、万美元）v28.2 11.144，故该例中，ES满足次可加性。36Copyright Wang Peng，20105.5 满足一致性条件的风险度量满足一致性条件的风险度量v一个风险测度可被理解为分位数的某种加权平均v就损失分布而言，VaR对第X 个分位数设定了100的权重，而对其它分位数设定了0权重；vES对高于X 分位数的所有分位数设定了相同的权重，但对低于X 分位数的所有分位数设定了0权重。v基于这一思想，我们可以对损失（收益）分布中的所有分位数赋予不同权重，并由此定义“光谱型风险测度”（Spectral risk measure）。37Copyright Wang Peng，20105.
20、5 满足一致性条件的风险度量满足一致性条件的风险度量v当光谱型风险测度对第q 个分位数的权重为q 的非递减函数时，这一光谱型风险测度一定满足次可加性，进而满足一致性条件。vES满足以上要求，但VaR不满足，因为VaR对高于X %分位数的所有分位数设定的权重小于对X 分位数所设定的权重。38Copyright Wang Peng，20105.5 满足一致性条件的风险度量满足一致性条件的风险度量v研究人员提出其它风险测度，这些风险测度中，第q 个分位数的权重随着q 的改变而有较大的变化。v例如，使第q 个分位数所对应的权重wq与e-(1-q)/成比例，这里的为常数，这种风险测度被称为指数光谱型风险
21、测度（exponential spectral risk measure）。例如：39Copyright Wang Peng，20105.5 满足一致性条件的风险度量满足一致性条件的风险度量0.9 1.0图5-1 权重作为分位数函数的3种情形ES 0.05 0.15权重累积概率61240Copyright Wang Peng，20105.6 VaR中的参数选择中的参数选择v计算VaR时，需要预先设定两个参数：持有期和置信度v通常假设：（1）资产价格变化（收益率）服从正态分布；（2）收益率的期望值为零v基于以上两个假定：v其中，X 为置信度，为对应于持有期内资产组合的波动率（连续复利收益率的标准
22、差），N-1( ) 为累积标准正态分布函数的反函数（Excel命令：NORMSINV）。(5-1)41Copyright Wang Peng，20105.6 VaR中的参数选择中的参数选择v对任何持有期和置信度，VaR都与成正比。v假设某资产组合在10天持有期上的价值变化服从均值为0、标准差为2000万美元的正态分布v10天持有期、99置信度下的VaR为：2000N-1(0.99)4653（万美元）42Copyright Wang Peng，20105.6 VaR中的参数选择中的参数选择v持有期的选择v持有期的选择要视具体情况而定v银行交易账户当中的头寸往往流通性较好，管理人员的交易行为也往往
23、比较活跃，因此银行计算每天的VaR就非常有意义。v当VaR超出一定界限时，管理人员就需对组合进行调整。v银行计算较长时间的VaR没有太大意义，因为在一个较长的时期内，组合内的资产往往会有较大变化。43Copyright Wang Peng，20105.6 VaR中的参数选择中的参数选择v对于养老基金投资组合，管理人员往往会选择一个较长的持有期计算VaR。因为这类资产组合的交易往往不是太活跃，而且资产的流动性不太好。v这类资产组合的VaR往往每个月计算一次。v对于任何投资组合，往往首先需要计算未来1天的VaR，然后采用以下公式计算未来T 天的VaR：(5-2)44Copyright Wang P
24、eng，20105.6 VaR中的参数选择中的参数选择v上式的正确性建立在 （1）资产价格的每天变化均独立 （2）价格变化服从正态分布 （3）期望值为零 的基础上。v如果以上条件不符合，(5-2)式就只是一个近似式。45Copyright Wang Peng，20105.6 VaR中的参数选择中的参数选择v自相关性的影响v实际上，资产价格每天的变化之间并非完全相互独立v将资产组合第i天的价格变化定义为Pi，假设Pi与Pi-1的相关系数为，对于任意i ， Pi的方差均为2，则Pi+Pi-1的标准差为：46Copyright Wang Peng，20105.6 VaR中的参数选择中的参数选择v同理
25、，可以计算T 天内的价格变化的标准差：v由上式可以看出，当价格变化存在自相关性时，式(5-2)将会低估VaR。47Copyright Wang Peng，20105.6 VaR中的参数选择中的参数选择表5-1 当存在一阶自相关性时T天VaR与1天VaR的比率48Copyright Wang Peng，20105.7 后验分析后验分析v将VaR与实际损失进行对照的过程，称为后验分析（backtesting analysis）。v如果我们计算了持有期为1天、置信度为99的VaR，则首先要找出组合每天的损失中有多少次超过了这一VaR值，并将超过的情形称为exception。v如果exception出
26、现的天数占整体天数的1左右，则说明VaR计算模型表现良好。49Copyright Wang Peng，20105.7 后验分析后验分析v如果exception的比例较大，说明VaR值偏低，而这将导致资本金数量偏低。v如果exception的比例较小，说明VaR值偏高，而这将导致资本金数量偏高。v一般的，如果VaR的持有期为1天，置信度为X%，如果VaR模型准确无误，则损失超出VaR的概率应为p=1-X%v假定共有n个观察日，其中有m天的损失超出VaR50Copyright Wang Peng，20105.7 后验分析后验分析v假定m/n p，说明VaR估计偏低，但我们是否应该拒绝这一VaR计算
27、模型？v正式的统计检验：vH0：对于任意一天，exception发生的概率为pvH1：对于任意一天，exception发生的概率大于pv损失超过VaR的天数大于等于m的概率为：(5-3)51Copyright Wang Peng，20105.7 后验分析后验分析v假设该检验所选定的检验水平为5v如果由式(5-3)所计算的概率小于5，则可以拒绝H0，即可以认为exception发生的概率大于p，从而拒绝该VaR计算模型。v反之不能拒绝。52Copyright Wang Peng，20105.7 后验分析后验分析vExamplev采用600天的数据来计算VaR，置信度为99%，在600天中共发现了
28、9个exception。vException期望发生次数为6，是否该拒绝这一VaR计算模型？v计算大于等于9个exception发生概率的Excel命令：1BINOMDIST(8, 600, 0.01, TRUE)=0.15253Copyright Wang Peng，20105.7 后验分析后验分析v如果采用5的检验水平，则不应该拒绝该模型。v假如我们发现exception的次数为12，则可计算出exception大于等于12的概率为0.020，若再采用5的检验水平，就应该拒绝该模型。v实际上，若采用5的检验水平，当exception次数超出11次时，就应该拒绝该VaR计算模型。54Copy
29、right Wang Peng，20105.7 后验分析后验分析v当exception的个数m小于理论值时，可以将式(5-3)改为：v其它步骤与m大于理论值的情况相同(5-4)55Copyright Wang Peng，20105.7 后验分析后验分析v上述检验均为单尾检验，Kupiec提出双尾检验：v变量：v服从自由度为1的卡方分布，即2(1)v当基于实际数据的式(5-4)值大于给定置信度的2(1)分布的理论值时，可以拒绝该VaR模型。(5-4)56Copyright Wang Peng，20105.7 后验分析后验分析v独立性检验v当投资组合每天的价格变化独立，那么exception的发生
30、应该比较均匀地分布在样本区间内。v现实中，exception的发生往往聚集在一起vChristofferson（1998）提出了检验VaR独立性的方法57Copyright Wang Peng，20105.7 后验分析后验分析vChristofferson独立性检验v状态0：某一天没有exception发生v状态1：某一天 有 exception 发生vuij：在某天我们处于状态i且在第二天处于状态j的次数58Copyright Wang Peng，20105.7 后验分析后验分析v定义统计量C：v其中：(5-5)59Copyright Wang Peng，20105.7 后验分析后验分析v当组合价格的每天变化都独立时，统计量C服从自由度为1的卡方分布。v当基于实际数据的式(5-5)值大于给定检验水平的2(1)分布的理论值时，可以拒绝价格变化独立的原假设。60王王 鹏鹏 博士博士西南财经大学金融学院西南财经大学金融学院
