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1、学习必备欢迎下载授 课 教 案课程名称：高等数学授课专业：总 学 时：开课单位：制 定 人：审 核 人：制定时间：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页学习必备欢迎下载教案授课学时2 学时课型新授课教学内容（章节）第五章定积分第 1 节 不定积分的概念与性质（1）教学目标掌握定积分的概念教学重、难点掌握定积分的概念教学方法及手段讲练结合法 /板书教学教学准备教材，辅助教材教学过程：一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积设( )yf x在区间,a b上非负、连续。由直线,0xa xb y及曲线( )yfx所围成的图形称为
2、曲边梯形. 由于曲边梯形的高是变动的, 所以不能直接用矩形的面积公式进行计算. 而如下考虑 : 将区间, a b划分为很多小区间, 在每个小区间上用其中某一点处的高来近似的代替同一个小区间上的窄曲边梯形的变高, 那么 , 每个窄曲边梯形就可以近似的看成这样得到的窄矩形, 而将这些所有窄矩形的面积之和作为曲边梯形面积的近似值, 并把区间,a b无限细分下去, 使得每个区间的长度都趋于零, 则这时所有窄矩形的面积之和的极限值就可定义为曲边梯形的面积. 现将计算方法详述如下: 在,a b中任意插入若干个分点0121nnaxxxxxb，把区间,a b分成 n 个小区间，其长度依次为: 011xxx,1
3、22xxx, , 1nnnxxx. 在每个小区间上1,iixx任取一点i, 以1,iixx为底 , 为()if高的窄矩形近似地替代第 i 个窄曲边梯形 , 这样得到的n 个窄矩形地面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值 , 即1()niiiAfx并记12max,nxxx, 则0当时 , 取上述和式的极限, 便得曲边梯形的面积01()limniiifxA1()limniiivtS备注：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页学习必备欢迎下载1、 变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔 21,TT
4、上t的连续函数，且0)(tv，计算在这段时间内物体所经过的路程s在 21,TT内任意插入若干个分点212101TttttttTnii把21,TT分成n个小段10,tt，21,tt， iitt,1，nntt,1 各小段时间长依次为,11122011nnniiitttttttttttt相应各段的路程为nissss,21在 iitt,1 上任取一个时刻)(1iiiitt，以i时的速度)(iv来代替iitt,1上各个时刻的速度，则得iiitvs)(),2,1(ni进一步得到nntvtvtvs)()()(2211=niiitv1)(设0,max21当nttt时，得niitvs10)(lim二、定积分定义
5、定义 1 设函数)(xf在ba,上有界，在ba,中任意插入若干个分点0121nnaxxxxxb，把区间ba,分成 n 个小区间，其长度依次为: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页学习必备欢迎下载, ,12110nnxxxxxx各个小区间的长度依次为1122011,nnnxxxxxxxxx. 在每个小区间iixx,1上任取一点iiiixx1(),对应函数值为)(if作小区间长度ix与)(if的乘积),2, 1()(nixfii并作出和niiixfS1)(. 记,max21nxxx,如果 不论对,ba怎 样分法,也不论
6、在小区间iixx,1上点i怎样取法 ,只要当1时，和式 S 总趋于确定的极限I,这时我们称 这 个 极 限I为 函 数)(xf在 区 间,ba上 的 定 积 分 ( 简 称 积 分 ), 记 作badxxf)(,即badxxf)(=I=niiixf10)(lim, 其中)(xf叫做被积函数, dxxf)(叫做被积表达式,x叫做积分变量,a叫做积分下限,b叫做积分上限, ,ba叫做积分区间 .注 (1) 积分区间有限，被积函数有界； (2)与“分法”、 “取法”无关； (3)定积分的值与积分变量的选取无关babadttfdxxf)()(; (4)(xf在ba,有界是)(xf在ba,可积的必要条件
7、，)( xf在ba,连续是)(xf在ba,可积的充分条件。接下来的问题是：函数)( xf在ba,上满足怎样的条件，)(xf在ba,上一定可积？以下给出两个充分条件。注意： 积分与积分变量无关，即：bababaduufdttfdxxf)()()(函数可积的两个充分条件：定理 1 设)(xf在,ba上连续，则)(xf在,ba上可积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页学习必备欢迎下载定理 2 设)(xf在区间ba,上有界，且只有有限个间断点， 则)( xf在ba,上可积。如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以
8、正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分badxxf)(的几何意义为：它是介于x轴、函数曲线y)(xf的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。练习设计课后习题9 教学反思与学生一起做练习，边讲边练注：1每 2 学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3上新课和新上课的教师要求写详案。4要求教师上课必带教案。5 “备注” 填写历年更新的内容（手写）。6教案可带附件（课程内容补充材料）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页学习必备欢迎下载教案授课
9、学时2 学时课型新授课教学内容（章节）第五章定积分第 1 节 不定积分的概念与性质（2）教学目标掌握定积分的概念教学重、难点掌握定积分的概念教学方法及手段讲练结合法 /板书教学教学准备教材，辅助教材教学过程：三、定积分的性质为了以后计算及应用方便起见, 首先 , 我们作如下补充规定: 1. 当ba时, badxxf)(=0; 2. 当ba时, badxxf)(=-abdxxf)(由上式可知 , 交换定积分上、下限时, 绝对值不变而符号相反. 假设下列性质中所列出的定积分都时存在的. 性质 1 badxxgxf)()(=badxxf)(badxxg)(证明badxxgxf)()( = niiii
10、xgf10)()(lim =niiixf10)(limniiixg10)(lim=badxxf)(badxxg)(性质 2 badxxkf)(=badxxfk)(k是常数 ) 性质 3 设bca,则badxxf)(=cadxxf)(+bcdxxf)(这个性质表明定积分对积分区间具有可加性, 而且不论bca,的相对位置如何,此等式总是成立的. 性质 4 如果在区间ba,上, 1)(xf,则badx1=badx=ab备注：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页学习必备欢迎下载性质 5如果在区间ba,上, 0)(xf,则)(
11、0)(badxxfba推论 1如果在区间ba,上, )()(xgxf,则badxxf)(badxxg)()(ba推论 2 babadxxfdxxf)()()(ba性质 6( 估值定理 )设 M及 m分别是函数)(xf在区间ba,上的最大值及最小值,则)()()(abMdxxfabmba)(ba据此性质 , 利用被积函数在积分区间上的最大值及最小值,可以估计积分值的大致范围 .性质7( 积分中值定理) 如果函数)(xf在闭区间ba,上连续 ,则在积分区间ba,上至少存在一个点,使下式成立 : )()(abfdxxfba)(ba这个公式叫做积分中值公式. 例 1 利用定积分几何意义，求定积分值12
12、01x dx解上式表示介于0x, 1x, 0y, 2x1y之间面积所以12014x dx例 2 证明102211322dxxx证明2221x49xx2在0,1上最大值为49，最小值为221xx2132221xx2132102练习设计课后习题9 教学反思与学生一起做练习，边讲边练注：1每 2 学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3上新课和新上课的教师要求写详案。4要求教师上课必带教案。5 “备注” 填写历年更新的内容（手写）。6教案可带附件（课程内容补充材料）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7
13、页，共 16 页学习必备欢迎下载教案授课学时2 学时课型新授课教学内容（章节）第五章定积分第二节微积分基本公式教学目标理解积分上限函数的定义及有关运算掌握牛顿 _莱布尼兹公式教学重、难点掌握牛顿 _莱布尼兹公式教学方法及手段讲练结合法 /板书教学教学准备教材，辅助教材教学过程：一、变速直线运动中位置函数于速度函数之间的关系由 第一节 知 , 物体在时间 间隔21,TT内 经过 的路程可以 用速度函数)(tv在21,TT上的定积分21)(TTdttv来表达 ; 另一方面 , 这段路程又可以通过位置函数)(ts在区间21,TT上的增量)()(12TsTs来表达 .由此可见 ,位21)(TTdttv
14、置函数)(ts与速度函数)(tv之间又如下的关系: 21)(TTdttv=)()(12TsTs而)(ts=)(tv,即位置函数)(ts是速度函数)(tv的原函数 , 所以上述关系式表示,速度函数)(tv在区间21,TT上的定积分等于)(tv的原函数)(ts在区间21,TT上的增量)()(12TsTs上述问题在一定条件下具有普遍性二、积分上限的函数及其导数设函数)( xf在区间ba,上连续 , 并且设x为ba,上的一点 , 则称xadttf)(为积分上限x的函数 , 记为xadttfx)()()(bxa此函数具有如下重要性质: 定理 1 如果函数)(xf在区间ba,上连续 , 则积分上限的函数x
15、adttfx)()(在ba,上可导 , 并且其导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxa定理 2( 原函数存在定理)如果函数)(xf在区间ba,上连续 , 则函数xadttfx)()()(xfba,备注：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页学习必备欢迎下载xadttfx)()(就是)(xf在ba,上的一个原函数三、牛顿莱布尼兹公式定理 3 如果函数)(xF是连续函数)(xf在区间ba,上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba(1) 证明已知函数)(xF是连续函数)( xf的一个原函数，又根据前面的
16、定理知道，积分上限的函数xadttfx)()(也是)(xf的一个原函数。 于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节） ，即CxxF)()( (2) 在上式中令ax，得CaaF)()(. 又由)(x的定义式及上节定积分的补充规定知0)(a，因此，)(aFC. 以)(aF代入 (2) 式中的 C ，以xadttf)(代入 (2)式中的)(x，可得)()()(aFxFdttfxa，在上式中令bx，就得到所要证明的公式(1). 注由积分性质知， (1) 式对ba的情形同样成立 . 为方便起见，以后把)()(aFbF记成baxF)(。公式 (1) 叫做牛顿 (Newton)- 莱步尼兹 (Leibn
17、iz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。例 1计算定积分。解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页学习必备欢迎下载例.2 计算31211dxx解：31211dxx=127arctan31x例 3 12xdx解：2ln2ln1lnln11212xdxx例.4 计算xysin在,0上与x轴所围成平面图形的面积。解：2cossin00xxdxA例 5 求解易知这是一个00型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。因此。练习设计课后习题6教学反思与学生一起做练习，边讲边练注：1每 2 学时至少
18、制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3上新课和新上课的教师要求写详案。4要求教师上课必带教案。5 “备注” 填写历年更新的内容（手写）。6教案可带附件（课程内容补充材料）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页学习必备欢迎下载教案授课学时2 学时课型新授课教学内容（章节）第五章定积分第 3 节 定积分的换元法与分部积分法（1）教学目标掌握定积分的换元法教学重、难点掌握定积分的换元法教学方法及手段讲练结合法 /板书教学教学准备教材，辅助教材教学过程：一、定积分的换元法定理假设函数)(xf在
19、区间ba,上连续 , 函数)(tx满足条件(1) ba)(,)(; (2) )(t在,或者,上具有连续导数,且其值域Rba, 则有badxxf)(=dtttf)()(此公式叫定积分的换元公式. 注(1) 用)(tx把原来的变量x代换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量 t的积分限 ; (2) 求出)()(ttf的一个原函数)(t 后, 不必要再把)(t 变换成原来变量x的函数 , 而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t 相减就可以了 . 例 1 计算)0(022adxxaa解设taxsin , 则tdtadxcos, 且当0x时 , 0t; 当ax时, 2t, 于是有2022022co
20、s tdtadxxaa=202)2cos1 (2dtta=2022sin212tta=42a例 2 计算205sincosxdxx解205sincosxdxx=)(coscos205xxd备注：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页学习必备欢迎下载=2066cos x=61)610(在例 2 中, 如果我们不明显地写出新变量t ,那么定积分的上、下限就不要变更. 例 3 计算053sinsindxxx. 解053sinsindxxx=2023cossinxdxx+223)cos(sindxxx =2023)(sins
21、inxxd-)(sinsin223xxd =2025sin52x-225sin52x =52)52(=54如果忽略xcos在,2上非正 , 而按xxxxcossinsinsin2353计算 ,将导致错误 . 例4 证明 : (1)若函数函数)(xf在区间aa,上连续且为偶函数, 则aadxxf)(=2adxxf0)( (2)若函数函数)( xf在区间aa,上连续且为奇函数, 则aadxxf)(=0. 证aadxxf)(=0)(adxxf+adxxf0)(对积分0)(adxxf作代换tx, 则得0)(adxxf=-tdtfa0)(=-adttf0)(=adxxf0)(所以aadxxf)(=adx
22、xf0)(+adxxf0)( =adxxfxf0)()(1) 若)(xf为偶函数 , 则)()(xfxf=)(2xf所以aadxxf)(adxxf0)(2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页学习必备欢迎下载所以aadxxf)(=adxxf0)(2(2) 若)(xf为奇函数 , 则)()(xfxf=0 所以aadxxf)(=0 利用本例 , 常可简化计算奇函数,偶函数在对称区间上的定积分. 练习设计课后习题2教学反思与学生一起做练习，边讲边练注：1每 2 学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课
23、、实验课等。3上新课和新上课的教师要求写详案。4要求教师上课必带教案。5 “备注” 填写历年更新的内容（手写）。6教案可带附件（课程内容补充材料）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页学习必备欢迎下载教案授课学时2 学时课型新授课教学内容（章节）第五章定积分第 3 节 定积分的换元法与分部积分法（2）教学目标掌握定积分的换元法教学重、难点掌握定积分的换元法教学方法及手段讲练结合法 /板书教学教学准备教材，辅助教材教学过程：一、定积分的换元法定理假设函数)(xf在区间ba,上连续 , 函数)(tx满足条件(1) ba
24、)(,)(; (2) )(t在,或者,上具有连续导数,且其值域Rba, 则有badxxf)(=dtttf)()(此公式叫定积分的换元公式. 注(1) 用)(tx把原来的变量x代换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量 t的积分限 ; (2) 求出)()(ttf的一个原函数)(t 后, 不必要再把)(t 变换成原来变量x的函数 , 而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t 相减就可以了 . 例 1 设函数)( xf=2,01,101cosxxexxx计算41)2(dxxf. 解令tx2, 则dtdx,且当1x时, 1t; 当4x时, 2t. 于是41(2)f xdx=21( )f t dt
25、=011cosdtx+202dttet =012tant20221te =212121tan4e备注：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页学习必备欢迎下载例 2 222022sin1cossin2coscosdxx xdxxx x2sinarctan2sinsin1120202x xdx例 3 dxxxxdxxxx0042sincoscoscos220xxcosxsinxdxxcosxsinxdxx dxxd2202sin212sin21例 4 20222022dx) 1(x-1xdxx2xx法一设sin t1-x
26、23t)dtsin(12dt t coscostsin t)(1202222法二设t2sinx2原式232!4!3!8dt t sin8204一、定积分的分部积分法根据不定积分的分部积分法,可得badxxvxu)()(=baxvxu)()(-badxxvxu)()(或记作baudv=bauv-bavdu此公式即定积分的分部积分公式. 公式表明原函数已经积出的部分可以先用上、下限代入 . 例 1 计算210arcsin xdx. 解210arcsin xdx=210arcsin xx -21021dxxx210216.21x13精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
27、- - - - - -第 15 页，共 16 页学习必备欢迎下载 =210216.21x =12312例 2 计算10dxex. 解先用换元法 , 令tx, 则tdtdxtx2,2, 且当0x时0t; 当1x时1t. 于是10dxex=102dttet=102ttde =102tte-102dtet =1022tee=2)1(22ee. 例 3 设xf在,连续证明：xuxduf(x)dx uf(u)(x-u)d000证明右边 =xuxuf(x)dxudf(x)dxu0000xxuf(u)duf(x)dxx00xxxu(x-u)f(u)duf(u)duf(u)dux000练习设计课后习题2教学反思与学生一起做练习，边讲边练注：1每 2 学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3上新课和新上课的教师要求写详案。4要求教师上课必带教案。5 “备注” 填写历年更新的内容（手写）。6教案可带附件（课程内容补充材料）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页
