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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第1页页第五章第五章 内积空间与希尔伯特内积空间与希尔伯特空间空间内积空间与内积空间与希尔伯特空间希尔伯特空间内积空间内积空间+ +完备性完备性希尔伯特空间希尔伯特空间欧氏空间欧氏空间线性空间线性空间+ +内积内积内积内积空间空间元素的长度（范数）元素的长度（范数）两向量夹角与正交两向量夹角与正交内积空间特点内积空间特点：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第2页页1 1 内积与内积空间内积与内积空间一、内积空间与希尔伯特空间的概念一、内积空间与希尔伯特空间的概念定义定义1 设设H是数域是数域K上的线性空间上的线性空间，定义函数，定义函数 :HHK, ,
2、 使得：对使得：对 x,y,z H, , K, ,满足满足则称则称为数域为数域K中中x与与y的内积的内积, ,而称定义了内积的空间而称定义了内积的空间H为内积空间。为内积空间。注注：1) 当数域当数域K为实数域时，称为实数域时，称H为实的内积空间；为实的内积空间； 当数域当数域K为复数域为复数域C时，则称时，则称H为复的内积空间。为复的内积空间。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第3页页2 由内积诱导的范数及由内积诱导的距离由内积诱导的范数及由内积诱导的距离定义定义2 (1) 范数范数称为由内积诱导的范数。称为由内积诱导的范数。(2) 距离函数距离函数称为由内积诱导的距离。称为由内积诱导的
3、距离。(2) 内积与由内积诱导的范数的等式关系：内积与由内积诱导的范数的等式关系： (3) 由内积诱导的范数满足范数公理由内积诱导的范数满足范数公理内积空间按照由内积导内积空间按照由内积导出的范数出的范数, ,是线性赋范空间。但反之不然是线性赋范空间。但反之不然注注: : (1) 内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系 许瓦兹不等式许瓦兹不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第4页页3 线性赋范空间成为内积空间（范数是由内积导出的范数）的线性赋范空间成为内积空间（范数是由内积导出的范数）的充分必要条件充分必要条件定理定理1 线性赋范空间线性赋范空间X
4、是内积空间是内积空间 x,y X, ,有有 |x+y|2 + |x-y|2=2|x|2 + 2|y|2( (平行四边形公式或中线公式平行四边形公式或中线公式) )定义定义3 设设H是内积空间，若是内积空间，若H按照由内积诱导的范数成为按照由内积诱导的范数成为Banach空间，则称空间，则称H是希尔伯特空间。是希尔伯特空间。4 希尔伯特空间希尔伯特空间机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第5页页例例1 n维欧氏空间维欧氏空间Rn按照内积按照内积是内积空间。是内积空间。Rn中由内积导出的距离为中由内积导出的距离为 Rn按照由内积导出的范数按照由内积导出的范数 因而是因而是Hilbert空间。空间
5、。是是Banach空间，空间，机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第6页页 l 2按照由内积导出的范数按照由内积导出的范数 是是Banach空间，因而是空间，因而是Hilbert空间。空间。l 2中由内积导出的距离为中由内积导出的距离为 例例2 l 2空间按照内积空间按照内积是内积空间。是内积空间。( (许瓦兹不等式许瓦兹不等式) )机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第7页页例例3 L2a,b空间按照内积空间按照内积是内积空间。是内积空间。L2a,b按照由内积导出的范数按照由内积导出的范数 是是Banach空间，因而是空间，因而是Hilbert空间。空间。L2a,b中由内积导出的距离为中
6、由内积导出的距离为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第8页页Ca,b中范数不满足平行四边形公式，中范数不满足平行四边形公式，例例4 Ca,b按照范数按照范数是线性赋范空间，是线性赋范空间，但但Ca,b不是内积空间不是内积空间. .证证 取取x =1, y =(t-a)/(b-a) Ca,b|x|=1, |y|=1|x+y|=max|1+(t-a)/(b-a)|=2, |x-y|=max|1-(t-a)/(b-a)|=1|x+y|2+|x-y|2=5 4=2(|x|2+|y|2)因而不是由内积导出的范数因而不是由内积导出的范数Ca,b不是内积空间不是内积空间机动 目录 上页 下页 返回 结
7、束 第第9页页5 内积空间中的极限内积空间中的极限证证 xnx |xn-x| 0 yny |yn-y| 0 | - - | - - | +| - - | |xn-x| |yn| + |x| |yn-y|0 ( (n) )定义定义4 （极限）设（极限）设X是内积空间，是内积空间， xn X, x X 及及y X, , 定理定理2 设设H是希尔伯特空间，则是希尔伯特空间，则H中的内积中的内积 是是x,y的连续函数的连续函数, , 即即 xn、yn H, x, y H, , 若若xnx, yny, , 则则.注注：距离函数、范数、内积都是连续函数：距离函数、范数、内积都是连续函数 （线性运算对内积的
8、连续性）（线性运算对内积的连续性） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第10页页6 内积空间的完备化内积空间的完备化定义定义5 ( (内积空间的同构内积空间的同构) ) 设设X,Y是同一数域是同一数域K上的内积空间，若存上的内积空间，若存在映射在映射T: XY, ,保持线性运算和内积不变保持线性运算和内积不变, ,即即 x,y X, , K, ,有有 (1) T( x+ y)= Tx+ Ty, (2) =则称内积空间则称内积空间X与与Y同构同构, ,而称而称T为内积空间为内积空间X到到Y的同构映射。的同构映射。定理定理3 设设X是内积空间，则必存在一个是内积空间，则必存在一个Hilbert
9、空间空间H，使，使X与与H的稠的稠密子空间同构，而且在同构意义下，满足上述条件的密子空间同构，而且在同构意义下，满足上述条件的Hilbert空间是空间是唯一的。唯一的。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第11页页二、内积空间中的正交分解与投影定理二、内积空间中的正交分解与投影定理 在解析几何中，有向量正交和向量投影的在解析几何中，有向量正交和向量投影的概念，而且两个向量正交的充分必要条件是概念，而且两个向量正交的充分必要条件是它们的内积等于它们的内积等于0，而向量，而向量x在空间中坐标平在空间中坐标平面上的正交投影向量面上的正交投影向量x x0 0是将向量的起点移到是将向量的起点移到坐标原
10、点，过向量的终点做平面的垂线所得坐标原点，过向量的终点做平面的垂线所得的垂足与原点之间的有向线段而得到的。且的垂足与原点之间的有向线段而得到的。且有有x=x0+x1, , 其中其中x1 该坐标平面。这时称该坐标平面。这时称x=x0+x1为为x关于做表面的正交分解。关于做表面的正交分解。 下面将把正交分解和正交投影的概念与推广到一般的内积空间中。下面将把正交分解和正交投影的概念与推广到一般的内积空间中。其中的投影定理是一个理论和应用上都极其重要的定理，利用投影其中的投影定理是一个理论和应用上都极其重要的定理，利用投影定理可以将内积空间分解成两个字空间的正交和。这是内积看所特定理可以将内积空间分解
11、成两个字空间的正交和。这是内积看所特有的性质，这个定理在一般的巴拿赫空间中并不成立（因为巴拿赫有的性质，这个定理在一般的巴拿赫空间中并不成立（因为巴拿赫空间中没有正交性的概念）。在实际应用中，投影定理还常被用来空间中没有正交性的概念）。在实际应用中，投影定理还常被用来判定最佳逼近的存在性和唯一性。判定最佳逼近的存在性和唯一性。x0 0x1 1x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第12页页1 正交的概念正交的概念 定义定义5 ( (正交正交) ) 设设H是内积空间是内积空间, ,x,y H, M,N H. . (1) x y =0; (2) x M y M, 都有都有 =0; ; (3)
12、M Nx M， y N, ,都有都有=0. .定理定理4 ( (勾股定理勾股定理) )设设H是内积空间是内积空间, ,若若x,y H, 且且x y, 则则 |x+y|2=|x|2+|y|2注注: :1）在一般的内积空间中，若在一般的内积空间中，若x y，则有则有勾股定理勾股定理 |x+y|2=|x|2+|y|2成立，但反之不然。成立，但反之不然。 事实上，事实上， |x+y|2=|x|2+|y|2+2Re(x,y) 2）在实内积空间中，在实内积空间中，x y|x+y|2=|x|2+|y|2，即即勾股定理勾股定理成成立立机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第13页页 定义定义6 ( (正交补正
13、交补) ) 设设H是内积空间是内积空间, ,M H, , 称集合称集合 M =x| x y, y M 为为M在在H中的正交补。中的正交补。注注：正交补的性质：正交补的性质：是是H的闭线性子空间，即的闭线性子空间，即H的的完备子空间完备子空间. .事实上，事实上， x, y M 及及 z M, ,有有 =0,=0=0 = + =0 M M 为为H线性子空间线性子空间 xn L , xnx, z M =lim =0 x M M 为为H的闭子空间的闭子空间机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第14页页 定义定义10 ( (正交分解与正交投影正交分解与正交投影) ) 设设H是内积空间，是内积空间，M
14、 H是线性是线性子空间，子空间，x H, ,如果存在如果存在x0 M, x1 M , , 使得使得 x = x0+x1 （1 1） 则称则称x0为为x在在M上的正交投影，而称上的正交投影，而称( (1)式为式为x关于关于M的的正交分解正交分解。2 正交分解与正交投影正交分解与正交投影定理定理14 ( (投影定理投影定理) ) 设设M是希尔伯特空间是希尔伯特空间H的闭线性子空间的闭线性子空间, ,则对则对 x H在在M中存在唯一的正交投影中存在唯一的正交投影x0 0, , 使得使得 x =x0+x1 ( (其中其中x1 M ).). yn M, 使得使得|yn-x|d (n) ( (下确界定义下
15、确界定义) )证证 x H, , 令令x到到M的距离的距离机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第15页页M是是H的线性子空间的线性子空间ym,yn M, ,有有0 |ym-yn|2 = |(ym-x)+(x-yn)|2 = |(ym-x)+(x-yn)|2+|(ym-x)-(x-yn)|2-|(ym-x)-(x-yn)|2 = 2|ym-x|2+2|x-yn|2-|(ym+ yn)-2x|2 ( (平行四边形公式平行四边形公式) ) 2|ym-x|2+2|x-yn|2-4d 20 (m,n)2) 证明证明 xn在在M中收敛中收敛1) 证明证明 yn是基本列是基本列 M 是是Hilbert空间
16、的闭线性子空间空间的闭线性子空间M是完备的是完备的 x0 M, 使使ynx0 ,|yn-x|x0-x| (n) xn是基本列是基本列机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第16页页3) 证明证明x0 0 是是x在在M中的正交投影中的正交投影记记x1=x-x0, z M, z, C x0+ z M特取特取 4) 证明证明x0 是唯一的，从而上述正交分解式也是唯一的是唯一的，从而上述正交分解式也是唯一的设设 是是x在在M上的两个正交投影，则上的两个正交投影，则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第17页页注注：1)由定理的证明过程易知由定理的证明过程易知, ,只要只要M是是H的完备子空间的完备子
17、空间, ,而而H本身本身不完备不完备, ,定理结论也成立定理结论也成立. .从而上述正交分解式也唯一从而上述正交分解式也唯一. .2) 设设en是内积空间是内积空间H的标准正交系的标准正交系, , x H, ck=, 则则即对任何数组即对任何数组 1, 2, n, ,有有是是x在内积空间在内积空间H上的正交投影上的正交投影机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第18页页2 正交投影的应用正交投影的应用最佳逼近问题最佳逼近问题(1)最佳逼近问题的一般提法最佳逼近问题的一般提法: :设设H是是Hilbert空间空间, ,x, x1, x2, , xn H, , 要求寻找出要求寻找出n个数个数 1,
18、 2, n, 使得使得即要求出即要求出使得使得|x-x0|最小。最小。(2)最佳逼近问题的几何解释：最佳逼近问题的几何解释：记记M=spanx1, x2, , xn H, ,则则表示表示x到到M上某点的距离上某点的距离表示表示x到到M的最短距离的最短距离表示表示x在在M上的正交投影上的正交投影最佳逼近问题实际上就是求正交投影的问题最佳逼近问题实际上就是求正交投影的问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第19页页(2) 最佳逼近问题的求解步骤：最佳逼近问题的求解步骤：设设xn M线性无关，记线性无关，记M=spanx1, x2, , xn H唯一的唯一的x0 0: :使得使得|x-x0|=i
19、nf |x-y|, 且对且对 y M, 有有=0 =0 (xk M, k =1,2,n) = (xk M, k =1,2,n)M是是H的闭线性子空间的闭线性子空间机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第20页页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第21页页三、内积空间中的正交系与傅立叶级数三、内积空间中的正交系与傅立叶级数1 正交系的概念正交系的概念 在解析几何中，向量在解析几何中，向量i, j, k起着坐标架的作用起着坐标架的作用, ,他们两两正交他们两两正交, ,R3中一切向量中一切向量x x都能由他们线性表示：都能由他们线性表示：x=x1i+x2j+x3k。这是解析几何的。这是解析几何
20、的基础。基础。 R3中的向量正交概念中的向量正交概念 一般内积空间中的向量正交概念一般内积空间中的向量正交概念定义定义7 ( (正交集与正交集与标准正交系标准正交系) ) 设设H是内积空间是内积空间, ,M H,(1),(1)如果对如果对 x,y M, x y, 都有都有=0，则称则称M是是H中的正交系。中的正交系。 (2) 设设en H, 若若则称则称en是是H中的标准正交系。中的标准正交系。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第22页页2 正交的性质正交的性质 例如例如 ( (1) i, j, k 是是R3中的标准正交系。中的标准正交系。是是L2- , 中的标准正交系。中的标准正交系。(
21、3) e1=(1,0,0,0,0,), e2=(0,1,0,0,0,),en=(0,0,0,1,0,)定理定理4 ( (勾股定理勾股定理的推广的推广) )设设H是内积空间，若是内积空间，若x1,x2,.,xn H是是正交系正交系，则，则|x1+x2+xn|2=|x1|2+ |x2|2+|xn|2(2)是是l 2 中的标准正交系。中的标准正交系。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第23页页定理定理7 设设H是内积空间，若是内积空间，若M=e1,e2,.,en, H是标准正交系是标准正交系, ,则则e1,e2,en,是线性独立系，即是线性独立系，即e1,e2,.,en, 中的任何有限组是中的任
22、何有限组是线性无关的。线性无关的。证证 n, 令令 1e1+ nen= 0 = 0 j = j = 0 e1,en线性无关线性无关e1,en,是线性独立系。是线性独立系。定理定理8 (Gram-Schmidt正交化定理正交化定理) )设设H是内积空间是内积空间, ,x1,x2,.,xn, H是是H中任一个线性独立系中任一个线性独立系, ,则可将其进行标准正交则可将其进行标准正交化，得到一个标准正交系。化，得到一个标准正交系。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第24页页定理定理8 设设H是内积空间，是内积空间，e1,e2,.,en, H是标准正交系，是标准正交系， 记记 Mn=spane1,
23、en.即为即为x在在Mn上的正交投影。上的正交投影。(2) 若若则则（最佳逼近定理）（最佳逼近定理）(3)(1) 若若则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第25页页 y Mnxn-y Mnx-xn xn-y 证证 (1) = = i = i(2) 显然显然 xn=e1+en Mn, = = (i=1,2,n) x-xn Mn x-xn,e1,en两两正交两两正交, , 且且x-xn xn. . =0 (i=1,2,n). |xn|2=|e1+en|2 =|e1|2 +|en|2=|2+|2 |x|2=|(x-xn)+xn|2=|x-xn|2+|xn|2 |x-xn|2= |x|2- |x
24、n|2 |x-y|2=|(x-xn)+(xn-y) |2=|x-xn|2+|xn-y|2 |x-xn|2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第26页页定理定理9 ( (贝塞尔贝塞尔( (Bessel) )不等式不等式) )设设H是内积空间是内积空间, ,e1,e2,.,en, H 是标准正交系，则是标准正交系，则 x H, 有有证证由定理由定理8有有, xn=e1+en , x H, |x|2=|x-xn|2+|xn|2 |xn|2 =|x|2-|x-xn|2 |x|2 |2+|2 |x|2 |2+|2+ |x|2 (n)推论推论 设设H是内积空间是内积空间, ,e1,e2,.,en, H是
25、标准正交系是标准正交系, ,则则 x H, 有有 证证 根据定理根据定理9 9，级数，级数 |2收敛收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第27页页3 内积空间中的傅立叶级数内积空间中的傅立叶级数定义定义8( (Fourier级数级数) )设设H是内积空间是内积空间, ,en (n=1,2,)是是H中的标准正中的标准正交系交系, x H,则称则称cn= (n=1,2,)为为x关于关于en的的Fourier系数系数, ,而而称称为为x关于关于en的的Fourier级数。记作级数。记作注：注：1) x H, x的的Fourier系数系数cn=(n=1,2,)满足满足Bessel不等式不等式2
26、) 微积分学中的微积分学中的Fourier级数是级数是L2a,b上元素上元素x关于标准正交系关于标准正交系的的Fourier级数。级数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第28页页3) x H, x的的Fourier系数系数cn= (n=1,2,)是平方可和的，是平方可和的， 即即cn l 2. .问题问题：由定理由定理8 可知，对可知，对 x H, 及任何及任何n, ,xn=e1+en 到到x的距离最小，那么当的距离最小，那么当n时，时，xn是否收敛于是否收敛于x呢？呢？即即x的的Fourier级数级数e1+en+是否收敛于是否收敛于x x？或？或者说者说 x能否展开成傅立叶级数？能否展
27、开成傅立叶级数？机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第29页页4 内积空间中的傅立叶级数的收敛性内积空间中的傅立叶级数的收敛性定理定理11( (Fourier级数收敛的充要条件级数收敛的充要条件) ) 设设en是内积空间是内积空间H的标准正的标准正交系交系, ,x H,则则x关于关于en的的Fourier级数收敛于级数收敛于x的充要条件是成立巴的充要条件是成立巴塞弗塞弗( (Parseval) )等式：等式：证证 由定理由定理8知知, ,若若 x X, 取取xn=e1+en,则则x-xn xn, ,且且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第30页页问题：问题：对于对于n维欧氏空间而言，如
28、果基向量的个数小于维欧氏空间而言，如果基向量的个数小于n, ,则空间中则空间中的一些向量就无法用这些基向量线性表示。这时可以认为基向量的一些向量就无法用这些基向量线性表示。这时可以认为基向量没有选没有选“完全完全”。此时不能保证。此时不能保证Parseval等式成立，而只有等式成立，而只有Bessel不等式成立。只有基向量的个数等于不等式成立。只有基向量的个数等于n时，才能认为基向量是时，才能认为基向量是“完完全全”的。的。 对于一般的无限维内积空间，也只有当基选完全时，才能保对于一般的无限维内积空间，也只有当基选完全时，才能保证证Parseval等式成立，从而使得空间中的任何元素都能由这组完
29、等式成立，从而使得空间中的任何元素都能由这组完全的基线性表示，其傅立叶级数才能收敛于自身，或者说，全的基线性表示，其傅立叶级数才能收敛于自身，或者说，H中中的任何元素都可以展开成傅立叶级数。那么，如何确认其基向量的任何元素都可以展开成傅立叶级数。那么，如何确认其基向量是完全的呢？是完全的呢？为此引入下面的定义：为此引入下面的定义：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第31页页定义定义9 9 ( (完全的标准正交系完全的标准正交系) ) 设设H是内积空间，是内积空间，en (n=1,2,)是是H中的标准正交系，如果在中的标准正交系，如果在H中不再存在于所有中不再存在于所有en(n=1,2,)
30、都都正交的非零元素，即如果正交的非零元素，即如果x H, x en(n=1,2,), 必有必有x= , , 则称则称en是是H中的中的完全标准正交系完全标准正交系。是是L2- , 中的完全标准正交系。中的完全标准正交系。（2）勒让德勒让德( (Legendre) )多项式表示的正交系多项式表示的正交系例如例如，（，（1）三角函数系三角函数系是是L2-1,1中的完全标准正交系。中的完全标准正交系。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第32页页(4) x H, Parseval等式成立。等式成立。定理定理12 ( (正交系完全的充要条件正交系完全的充要条件) ) 设设en是希尔伯特空间是希尔伯特
31、空间H的标准的标准正交系正交系, , 则下列四个命题是等价的：则下列四个命题是等价的： (3) x H, x关于关于en的的Fourier级数收敛于级数收敛于x, ,即即x可以展开成可以展开成关于关于en的的Fourier级数级数: :(1) en是是H中的完全标准正交系；中的完全标准正交系；机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第33页页五、可分希尔伯特空间五、可分希尔伯特空间 根据前面的讨论，根据前面的讨论，L2- , 上的确存在至多可列的完全标准上的确存在至多可列的完全标准正交系。事实上，这个结论与可分的希尔伯特空间也是成立的。正交系。事实上，这个结论与可分的希尔伯特空间也是成立的。定理
32、定理15 ( (H可分的充要条件可分的充要条件完全标准正交系的存在性完全标准正交系的存在性) ) H是可分的希尔伯特空间是可分的希尔伯特空间H有至多可列的完全标准正交系有至多可列的完全标准正交系en. 定理定理16 ( (可分希尔伯特空间的同构性可分希尔伯特空间的同构性) ) (1) 任意有限维可分的希尔伯特空间必与任意有限维可分的希尔伯特空间必与Rn同构；同构； (2) 任意无限维可分的希尔伯特空间必与任意无限维可分的希尔伯特空间必与l 2同构。同构。 证证 H是可分是可分存在存在H的完全标准正交系的完全标准正交系e1,e2,en或或e1,e2,en,. 作映像作映像 : HRn（或或l 2
33、）, , (x)=(,)（或或 (x)=(,) ） 是一一是一一映像且映像且保持线性运算和内积不变，即保持线性运算和内积不变，即H与与Rn( (或或l 2）同同构构机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第34页页注注: (1)欧式空间欧式空间Rn任可以看作是有限维可分的希尔伯特空间的模型；任可以看作是有限维可分的希尔伯特空间的模型； (2) l 2空间可以看作是无限维可分的希尔伯特空间的模型。空间可以看作是无限维可分的希尔伯特空间的模型。 (3) 对可分的希尔伯特空间的研究可以转化为对对可分的希尔伯特空间的研究可以转化为对Rn或或l 2的研究，的研究，要研究某可分的希尔伯特空间中的函数，只要研究该函数的傅立要研究某可分的希尔伯特空间中的函数，只要研究该函数的傅立叶系数就够了。叶系数就够了。
