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1、 山西大同大学数计学院 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数 多多元元函函数数是是一一元元函函数数的的推推广广, , 它它保保留留着着一一元元函函数数的的许许多多性性质质, , 同同时时又又因因自自变变量量的的增增多多而而产产生生了了许许多多新新的的性性质质, , 读读者者对对这这些些新新性性质质尤尤其其要要加加以以注注意意. . 下下面面着着重重讨讨论论二二元元函函数数, , 由由二二元元函数可以方便地推广到一般的多函数可以方便地推广到一般的多元函数中去元函数中去. . 四、四、 n 元函数元函数一、平面点集一、平面点集 二、二、 R2 上的完备性定理上的完备性定理 三、三、 二元函数二
2、元函数 山西大同大学数计学院 一、平 面 点 集 平面点集的一些基本概念平面点集的一些基本概念 由于二元函数的定由于二元函数的定坐标平面上满足某种条件坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合的点的集合, 称为平称为平对对 与平面上所有点之间建立起了一一对应与平面上所有点之间建立起了一一对应.在平面上确立了直角坐标系之后在平面上确立了直角坐标系之后, 所有有序实数所有有序实数 义域是坐标平面上的点集义域是坐标平面上的点集, 因此在讨论二元函数因此在讨论二元函数之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念. 面点集面点集, 记作记作 山西大同大学数计学院 例如：例
3、如： (2)(3) 山西大同大学数计学院 图图 16 1 (a) 圆圆 C (b) 矩形矩形 S 图图 16 2 (a) 圆邻域圆邻域 (b) 方邻域方邻域 山西大同大学数计学院 由于点由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一的某一方邻域之内方邻域之内(反之亦然反之亦然), 因此通常用因此通常用“点点 A 的的 邻邻用记号用记号 或或 来表示来表示. 点点 A 的的空心邻域空心邻域是指是指:或或并用并用记号号 来表示来表示. 域域” 或或 “点点 A 的邻域的邻域” 泛指这两种形状的邻域泛指这两种形状的邻域, 并并 山西大同大学数计学院 注意注意: 不要把上面的
4、空心方不要把上面的空心方邻域域错写成写成 : ( 请指指出出 点和点集之间的关系点和点集之间的关系以下三种关系之一以下三种关系之一 : 任意一点任意一点 与任意一个点集与任意一个点集 之间必有之间必有 是是 E 的内点的内点; 由由 E 的全体内点所构成的集合称的全体内点所构成的集合称为(i) 内点内点若若则称点则称点 A E 的的内部内部, 记作记作 int E. 错在何处错在何处? ) 山西大同大学数计学院 (ii) 外点外点若若 则称称 点点 A 是是 E 的外点；由的外点；由 E 的全体外点所构成的集合的全体外点所构成的集合(iii) 界点界点 若若 恒有恒有 ( 其中其中 ), 则称
5、点则称点 A 是是 E 的界点的界点; 由由 E 的全体界点所构成的集合称为的全体界点所构成的集合称为 E 的的边界边界; 记作记作注注 E 的内点必定属于的内点必定属于 E; E 的外点必定不属于的外点必定不属于 E; E 的界点可能属于的界点可能属于 E, 也可能不属于也可能不属于 E. 并请注意并请注意: 称为称为 E 的的外部外部. 山西大同大学数计学院 只有当只有当时, E 的外部与的外部与 才是两才是两个相同个相同的集合的集合. 图图 16 3例例1 设平面点集（见图设平面点集（见图 16 3）于于D; 满足满足 的一切点也的一切点也是是 D 的内点的内点; 满足满足 的一切点是的
6、一切点是 D 的界点的界点, 它们都属它们都属满足满足 的一切点都的一切点都是是 D 的界点的界点, 但它们都不属于但它们都不属于 D. 山西大同大学数计学院 点点 A 与点集与点集 E 的上述关系是按的上述关系是按 “内内-外外” 来区分来区分的的. 此外，还可按此外，还可按 “疏疏-密密” 来区分，即在点来区分，即在点 A 的近的近旁旁是否密集着是否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系中无穷多个点而构成另一类关系: (i) 聚点聚点 若在点若在点 A 的任何空心的任何空心邻域域内都内都 含有含有 E 中的点，则称点中的点，则称点 A 是点集是点集 E 的聚点的聚点注注1 聚点本身可能属
7、于聚点本身可能属于E，也可能不属于，也可能不属于E. 注注2 聚点的上述定义等同于聚点的上述定义等同于: “在点在点 A 的任何邻的任何邻域域 内都含有内都含有 E 中的无穷多个点中的无穷多个点”. 注注3 E 的全体聚点所构成的集合称为的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集的导集, 记记 山西大同大学数计学院 作作 又称又称 为为 E 的的闭包闭包, 记作记作 例如例如, 对于例对于例1 中的点集中的点集 D, 它的导集与闭包同为它的导集与闭包同为其中其中满足足 的那些聚点不属于的那些聚点不属于D, 而其余而其余 所有聚点都属于所有聚点都属于 D.(ii) 孤立点孤立点 若若点点 , 但不是
8、但不是 E 的聚点（即的聚点（即 有有某某 0, 使得使得 则称点称点 A 是是 E 的孤立点的孤立点. 注注 孤立点必为界点孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必内点和不是孤立点的界点必 山西大同大学数计学院 为聚点为聚点; 既非聚点既非聚点, 又非孤立点又非孤立点, 则必为外点则必为外点. 例例2 设点集点集 显然然, E 中所有点中所有点 ( p, q ) 全为全为 E 的孤立点的孤立点; 并有并有 一些重要的平面点集一些重要的平面点集 根据点集所属的点所具有的特殊性质根据点集所属的点所具有的特殊性质, 可来定义一可来定义一 些重要的点集些重要的点集. 开集开集 若若 E 所属的每一
9、点都是所属的每一点都是 E 的内点的内点( 即即E = int E ), 则称则称 E 为开集为开集. 山西大同大学数计学院 E 为闭集为闭集. 例如前面列举的点集中例如前面列举的点集中, (2)式所示的式所示的 C 是开集是开集; (3) 式所示的式所示的 S 是闭集是闭集; (4)式所示的式所示的 D 既非开集既非开集, 又又 非闭集非闭集; 而而(1)式所示的式所示的 R2 既是开集又是闭集既是开集又是闭集. 在在 平面点集中平面点集中, 只有只有 R2 与与 是既开又闭的是既开又闭的. 开域开域若非空开集若非空开集 E 具有连通性具有连通性, 即即 E 中任意两中任意两 点之间都可用一
10、条完全含于点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接的有限折线相连接, 闭集集若若 E 的所有聚点都属于的所有聚点都属于 E 则则称称 E 为闭集集. 若若 E 没有聚点没有聚点这时也称这时也称 山西大同大学数计学院 则称则称 E 为开域为开域. 简单地说简单地说, 开域就是非空连通开集开域就是非空连通开集. 闭域闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域开域连同其边界所成的集合称为闭域. 区域区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合成的集合, 统称为区统称为区域域. 不难证明不难证明: 闭域必为闭集闭域必为闭集; 而闭集不一定为闭域而闭集不一定为闭域
11、. 在前述诸例中在前述诸例中, (2)式的式的 C 是开域是开域, (3)式的式的 S 是是闭闭 域域, (1)式的式的 R2 既是开域又是闭域既是开域又是闭域, (4)式的式的 D 是区是区 域域 (但既不是开域又不是闭域但既不是开域又不是闭域). 又如又如 山西大同大学数计学院 它是它是 I、 III 两象限之并集两象限之并集. 虽然它是开集虽然它是开集, 但因但因不具有连通性不具有连通性, 所以它既不是开域所以它既不是开域, 也不是区域也不是区域. 有界点集有界点集对于平面点集对于平面点集 E, 若若使得使得 其中其中 O 是坐标原点是坐标原点(也可以是其他固定点也可以是其他固定点),
12、则称则称 E 为有界点集为有界点集. 否则就为无界点集否则就为无界点集 (请具体写出定义请具体写出定义). 前面前面 (2), (3), (4) 都是有界集都是有界集, (1) 与与 (5) 是无是无界集界集. E 为有界点集的另一等价说法是为有界点集的另一等价说法是: 存在矩形区域存在矩形区域 山西大同大学数计学院 此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映, 所谓点集所谓点集 E 的的直径直径, 就是就是 其中其中(P1, P2) 是是 P1 (x1, y1) 与与 P2 (x2, y2)之间的之间的距距 离离, 即即 于是于是, 当且仅当当且仅当
13、 d(E) 为有限值时为有限值时, E为有界点集为有界点集. 根据距离的定义根据距离的定义, 不难证明如下三角形不等式不难证明如下三角形不等式: 山西大同大学数计学院 举例讨论上述点集的性质举例讨论上述点集的性质例例3 证明证明: 对任何对任何恒为闭集恒为闭集. 证证 如图如图16 4 所示所示, 设设的任一聚点，欲证的任一聚点，欲证（即（即 亦为亦为的界的界 点）点）. 为此为此由聚点定义，存在由聚点定义，存在 图图 16 再由再由为界点的定界点的定义, 在在 山西大同大学数计学院 的点的点. 由此推知由此推知在在 内既有内既有的点的点, 又有非又有非 的任意性的任意性, 为的界点的界点,
14、即即, 也就也就证得得 为闭集为闭集 注注 类似地可以似地可以证明明: 对任何点集任何点集 亦恒为闭集亦恒为闭集. ( 留作习题留作习题 ) 例例4 4 设设 试证试证 E 为闭集的充要条件是：为闭集的充要条件是： 内既有内既有的点的点, 又有非又有非 的点的点. 所以所以, 由由 山西大同大学数计学院 证证 下面按循环流程图下面按循环流程图16 5 来分别作出证明来分别作出证明. . 已知已知为闭集为闭集( ( 即即 ),),欲证欲证 反之反之显然有然有 图图 16 5 山西大同大学数计学院 综合起来综合起来, , 便证得便证得 已知已知 欲欲证 为此此 外点外点, , 反之显然反之显然 山
15、西大同大学数计学院 注注 此例指出了如下两个重要结论此例指出了如下两个重要结论: (i) 闭集也可用集也可用 “”来定来定义 ( 只是使用只是使用 起来一般不如起来一般不如 “”方便方便, 因因为有关聚点有关聚点 有许多便于应用的性质有许多便于应用的性质 )(ii) 闭集与开集具有对偶性质闭集与开集具有对偶性质闭集的余集为闭集的余集为开开 集集; 开集的余集为闭集开集的余集为闭集. 利用此性质利用此性质, 有时可以通有时可以通 过讨论过讨论 来认识来认识 E. 山西大同大学数计学院 例例5 以下两种说法在一般情形下为什么是以下两种说法在一般情形下为什么是错错的的? (i) 既然说开域是既然说开
16、域是“非空连通开集非空连通开集”，那么闭域就是，那么闭域就是 “非空连通闭集非空连通闭集”；(ii) 要判要判别一个点集一个点集是否是是否是闭域域, 只要看其去除只要看其去除 边界后所得的是否为一开域边界后所得的是否为一开域, 即即 答答 (i) 例如取例如取 这是一个非空是一个非空连 通通闭集集. 但因它是前面但因它是前面 (5) 式所示的集合式所示的集合 G 与其与其边 界界 (二坐二坐标轴) 的并集的并集 (即即), 而而 G 不是不是 山西大同大学数计学院 开域开域, 故故 S 不是闭域不是闭域 (不符合闭域的定义不符合闭域的定义). (a) (b) (c) 图图 16 6 (ii)
17、如如图16 6 所示所示, 集为集为 (c) 中的点集为中的点集为 易见易见 E 为一开域为一开域, 据定义据定义 F 则为闭域；然而则为闭域；然而 (a)中的点集为中的点集为 D; (b)中的点中的点 山西大同大学数计学院 显然不符合它为闭域的定义显然不符合它为闭域的定义. 由此又可见到由此又可见到:二、R2上的完备性定理 平面点列的收敛性定义及柯西准则平面点列的收敛性定义及柯西准则 反映实数反映实数 系完备性的几个等价定理系完备性的几个等价定理, 构成了一元函数极限理构成了一元函数极限理 论的基础论的基础. 现在把这些定理推广到现在把这些定理推广到 R2, 它们同样是它们同样是 二元函数极
18、限理论的基础二元函数极限理论的基础. 山西大同大学数计学院 定定义1 设 为一列点一列点, 为一固定点一固定点. 则称点列则称点列 Pn 收敛于点收敛于点 P0 , 记作记作 同样地有同样地有 山西大同大学数计学院 由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限, 因因 此立即得到下述关于平面点列的收敛原理此立即得到下述关于平面点列的收敛原理. 定理定理16.1(柯西准柯西准则) 收收敛的充要条件是的充要条件是: 证（必要性）（必要性） 山西大同大学数计学院 应用三角形不等式应用三角形不等式, 立刻得到立刻得到(充分性充分性) 当当 (6) 式成立时式成立时,
19、 同时有同时有 这说明这说明 xn 和和 yn 都满足关于数列的柯西准则都满足关于数列的柯西准则, 所以它所以它们都收都收敛. 由点列收敛概念由点列收敛概念, 推知推知Pn收敛于点收敛于点 P0(x0, y0). 山西大同大学数计学院 ( 这是一个重要命题这是一个重要命题, 证明留作习题证明留作习题.) 下述区域套定理下述区域套定理, 是区间套定理在是区间套定理在 R2 上的推广上的推广. 定理定理16.2(闭域套定理闭域套定理) 设设 Dn 是是 R2 中的一列闭中的一列闭 域域, 它满足：它满足： 山西大同大学数计学院 图图 16 7 则存在惟一的点则存在惟一的点 证证 如图如图16 7所
20、示所示, 任取点列任取点列 从而有从而有 由柯西准则知道存在由柯西准则知道存在 山西大同大学数计学院 任意取定任意取定 n, 对任何正整数对任何正整数 p, 有有 再令再令由于由于 Dn 是是闭域域, 故必定是故必定是闭集集, 因此因此 Dn 的聚点必定属于的聚点必定属于 Dn , 则得则得最后最后证明明 的惟一性的惟一性. 若若还有有 则由则由 山西大同大学数计学院 推论推论 对上述闭域套对上述闭域套 Dn , 注注 把把 Dn 改为闭集套时改为闭集套时, 上面的命题同样成立上面的命题同样成立. 定理定理16.3(聚点定理聚点定理) 若若为有界无限点集有界无限点集, 则 E 在在 R2 中至
21、少有一个聚点中至少有一个聚点. 证证 现用闭域套定理来证明现用闭域套定理来证明. 由于由于 E 有界有界, 因此存因此存 在一个闭正方形在一个闭正方形. 如图如图 16 8 所示所示, 把把 D1分成四个相同的小正方形分成四个相同的小正方形, 则在其中至少有一小闭则在其中至少有一小闭 正方形含有正方形含有 E 中无限多个点中无限多个点, 把它记为把它记为 D2. 再对再对 山西大同大学数计学院 图图 16 8 D2 如上法分成四个更小如上法分成四个更小 的正方形的正方形, 其中又至少有其中又至少有 一个小闭正方形含有一个小闭正方形含有 E 的无限多个点的无限多个点. 如此下去如此下去, 得到一
22、个闭正方形序列：得到一个闭正方形序列：很显然很显然, Dn 的的边长随随着着 而而趋于零于零. 于是由于是由闭域套定理闭域套定理, 存在一点存在一点 山西大同大学数计学院 最后最后, 由区域套定理的推由区域套定理的推论, 又由又由 Dn 的取法的取法, 知道知道含有含有 E 的无限多的无限多个点个点, 这就证得了这就证得了M0 是是 E 的聚点的聚点. 推推论 任一任一有界无限点列有界无限点列 必存在收必存在收敛子子 定理定理16.4(有限覆盖定理有限覆盖定理) 设为一有界一有界闭域域 , 为一族开域一族开域 , 它覆盖了它覆盖了 D 中必存在有限个开域中必存在有限个开域 它它们 同样覆盖了同
23、样覆盖了D, 即即 ( 证明可仿照证明可仿照 R 中的相应命题去进行中的相应命题去进行. ) 列列 山西大同大学数计学院 本定理的证明与本定理的证明与 R 中的有限覆盖定理中的有限覆盖定理 ( 定理定理 7.3 ) 相仿相仿, 在此从略在此从略. 注注 将本定理中的将本定理中的 D 改改设为有界有界闭集集, 而将而将 改改设为一族开集设为一族开集, 此时定理结论依然成立此时定理结论依然成立 . 例例7 设试证 E 为有界闭集的充要条件为有界闭集的充要条件 是是: : E E 的任一无穷子集的任一无穷子集 Eq 必有聚点必有聚点, 且聚点恒属且聚点恒属 山西大同大学数计学院 证 (必要性必要性)
24、 E 有界有界 有界有界, 由聚点定理由聚点定理 ,必有聚点必有聚点. 又因又因的聚点亦的聚点亦为 E 的聚点的聚点, 而而 E 是是 闭集闭集, , 所以该聚点必属于所以该聚点必属于 E (充分性充分性) 先先证 E 为有界集为有界集. 倘若倘若 E 为无界集为无界集, 则则 存在各项互异的点列存在各项互异的点列易见易见这个子集无聚点这个子集无聚点, , 这与已知条件相矛盾这与已知条件相矛盾. . 再再证 E 为闭集为闭集. 为此设为此设 P0 为为 E 的任一聚点的任一聚点, 由聚由聚 点的等价定点的等价定义, 存在各存在各项互异的点列互异的点列 使使 山西大同大学数计学院 现把把 看作看
25、作 , 由条件由条件 的聚点的聚点 ( 即即 ) 必必属属于于 E, , 所以所以 E 为闭集为闭集. 三、二元函数 函数函数(或映射或映射)是两个集合之间的一种确定的对是两个集合之间的一种确定的对 应关系应关系. R 到到 R 的映射是一元函数的映射是一元函数, R2 到到 R 的映的映 射则是二元函数射则是二元函数. 山西大同大学数计学院 定定义2 设平面点集平面点集 , 若按照某对应法则若按照某对应法则 f , D 中每一点中每一点 P ( x, y ) 都有惟一确定的实数都有惟一确定的实数 z 与之与之 对应对应, 则称则称 f 为定义在为定义在 D 上的二元函数上的二元函数 ( 或称
26、或称 f 为为 D 到到 R 的一个映射的一个映射 ), 记作记作 也记作也记作 或点函数形式或点函数形式 山西大同大学数计学院 与一元函数相类似与一元函数相类似, 称称 D 为为 f 的定义域的定义域; 而称而称 为为 f 在点在点 P 的函数值的函数值; 全体函数值的集合为全体函数值的集合为 f 的的 值域域, 记作作 . 通常把通常把 P 的坐标的坐标 x 与与 y 称称为为 f 的自变量的自变量, 而把而把 z 称为因变量称为因变量. 当把当把 和它所和它所对应的的 一起一起组成成 三维数组三维数组 ( x, y, z ) 时时, 三维点集三维点集 便是二元函数便是二元函数 f 的图象
27、的图象. 通常该图象是一空间曲通常该图象是一空间曲 山西大同大学数计学院 面面, f 的定义域的定义域 D 是该曲面在是该曲面在 xOy 平面上的投影平面上的投影. 例例8 函数函数的图象是的图象是 R3 中的一个平面中的一个平面, 其定义域是其定义域是 R2, 值域是值域是 R . 例例9 的定义域是的定义域是 xOy 平面上的平面上的 单位位圆域域 , 值域为区间值域为区间 0, 1 , 它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部分它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部分 ( 图图16 9 ). 例例10 是定义在是定义在 R2 上的函数上的函数, 它的图象是过它的图象是过 原点的双曲抛物
28、面原点的双曲抛物面 ( 图图 16 10 ). 山西大同大学数计学院 图图16 9 图图16 10 图图16 11 山西大同大学数计学院 例例11 是是定义在定义在 R2 上的函数上的函数, 值域值域 是全体非负整数是全体非负整数, 它的图象示于图它的图象示于图 16 11. 若二元函数的值域若二元函数的值域 是有界数集是有界数集, 则称函数则称函数 在在 D上为一有界函数上为一有界函数 ( 如例如例9 中的函数中的函数 ) . 否则否则, 若若 是无界数集是无界数集, 则称函称函数数在在 D上为一无界上为一无界 函数函数 ( 如例如例8、10、11 中的函数中的函数 ). 与一元函数类似地与
29、一元函数类似地, 设设 则有则有 山西大同大学数计学院 例例12 设函数设函数 ( 此函数在以后还有特殊用处此函数在以后还有特殊用处 ) 试用等高线法讨论曲面试用等高线法讨论曲面 的形状的形状. 解解 用用 为一系列常数为一系列常数 ) 去截曲面去截曲面 得等高线方程得等高线方程 山西大同大学数计学院 当当 时时, 得得 平面上的四条直线平面上的四条直线 当当 时, 由等高由等高线的直角坐的直角坐标方程方程难以看出它以看出它 的形状的形状. 若把它化为极坐标方程若把它化为极坐标方程, 即令即令得到得到如如图16 12 所示所示, 为所所对应的一的一 族等高线族等高线. 山西大同大学数计学院 图
30、图 16 12 山西大同大学数计学院 图图 16 13由此便可想象曲面的大致形状如图由此便可想象曲面的大致形状如图 16 13 所示所示, 坐标原点是曲面的一个鞍点坐标原点是曲面的一个鞍点, 四道四道 “山谷山谷” 与四道与四道 “山脊山脊” 在在鞍鞍 点处相汇点处相汇. 山西大同大学数计学院 四、n 元函数所有所有 n 个有序个有序实数数组 的全体称的全体称为 n 维向量空间维向量空间, 简称简称 n 维空间维空间, 记作记作 Rn. 其中每个有其中每个有 序序实数数组 称称为 Rn 中的一个点中的一个点; n 个个 实数数 是是这个点的坐个点的坐标. 设设 E 为为 Rn 中的点集中的点集
31、, 若有某个对应法则若有某个对应法则 f , 使使 E 中每一点中每一点 都有惟一的一个都有惟一的一个实数数 y 与之对应与之对应, 则称则称 f 为定义在为定义在 E 上的上的 n 元函数元函数, 记记作作 山西大同大学数计学院 也常写成也常写成 或或对于后一种被称为对于后一种被称为 “点函数点函数” 的写法的写法, 它可使多元它可使多元 函数与一元函数在形式上尽量保持一致函数与一元函数在形式上尽量保持一致, 以便仿照以便仿照 一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题; 同同时, 还可把二元函数的很多可把二元函数的很多论断推广到断推广到 元函数中来元函
32、数中来. 山西大同大学数计学院 复 习 思 考 题 1. 试问在在 R 中的开集、闭集、开域、闭域、区域中的开集、闭集、开域、闭域、区域 等集合是数直线上怎样一些点集？等集合是数直线上怎样一些点集？ 2. 设设 E, F 分别是分别是 R2 中的开集和闭集试问在中的开集和闭集试问在 R3 中中 E 是否仍为开集？是否仍为开集？F 是否仍为闭集？是否仍为闭集？ 3. R 中的中的单调有界性定理和确界原理有界性定理和确界原理, 为什么在什么在 R2 中没有直接对应的命题？中没有直接对应的命题？4. 为什么说为什么说 “在一切平面点集中，只有在一切平面点集中，只有 R2 与与 是既开又闭的点集是既开又闭的点集” ？ 山西大同大学数计学院 5. 前面正文中有如下命题：设前面正文中有如下命题：设 则有则有 试为之写出证明试为之写出证明图图 16 146.
