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1、精品资料欢迎下载恒成立的不等式一恒成立的不等式的定义不等式恒成立： 不等式对给定区间上的所有的值都成立，则称此不等式在给定区间上恒成立二恒成立的不等式的性质a f(x) 恒成立 afmax(x) a f(x) 恒成立 a fmax(x) a f(x) 恒成立 a fmin(x) a f(x) 恒成立 a fmin(x) ex1: 已知不等式axx21对一切 xR的值都成立，求实数a的取值范围解：3)2() 1(21xxxx（)21xxmin=3 不等式axx21对一切 xR的值都成立 af(x) （afmax(x) （a0，函数 f(x)=x3-ax 在, 1上是单调增函数， 则 a 的最大值
2、是 （）（A） 0 (B)1 (C)2 (D)3 2已知函数f(x)=loga(ax2x+21) 在1 ，23 上恒正， 则实数a的取值范围是 （）A (21，98) B （23，+） C.(21，98) （23，+） D(21，+) 3设函数axxxf12，其中0a。(I) 解不等式xf 1；(II)求a的取值范围，使函数xf在区间, 0上是单调函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页精品资料欢迎下载4若定义在R上的函数f(x)为奇函数，且在),0上是增函数。 求证： f(x) 在)0,(上也是增函数； 对任意R
3、，求实数 m ， 使不等式0)sin2()32(cosmff恒成立。5 已知不等式32) 1(log121212111annna对于大于1 的正整数n恒成立，试确定a的取值范围 . 6设命题p：函数)161lg()(2axaxxf的定义域为R；命题q：不等式axx112对一切正实数均成立. 如果命题p 或 q 为真命题，命题p且 q 为假命题，求实数a的取值范围 . 7 设函数f(x) 是定义在 R上的函数， 对任意实数m 、 n， 都有),()()(nmfnfmf且当.1)(,0xfx时（）证明（1）f(0)=1; （2）当; 1)(0 ,0xfx时（3）)(xf是 R上的减函数；（）如果对
4、任意实数x、)()()(,22axyfyfxfy 有恒成立，求实数a的取值范围 . 8设)(,xfRa为奇函数，且.1424)2(xxaaxf（I ）试求)(xf的反函数1f（x）的解析式及)(1xf的定义域；（II ）设)()(,32,21,1log)(12xgxfxkxxg时若恒成立，求实数k 的取值范围 . 9 、已知函数)( xf的图象与函数21)(xxxh的图象关于点A（0，1）对称 . （1）求)( xf的解析式；（2）若)(xg=)(xf+xa，且)(xg在区间 （0， 2 上为减函数， 求实数a的取值范围 . 10某城市 2001 年末汽车保有量为30 万辆，预计此后每年报废上
5、一年末汽车保有量的%6，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万量，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？11.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页精品资料欢迎下载 n 2. 如果 f(x)当x (- ,1) 时有意义 , 求a的取值范围 ; 13已知向量baxftxbxxa)(),1(),1,(2若函数在区间（ 1，1）上是增函数，求t 的取值范围 . 14已知 1 ,0x时，不等式2113)21()21()21(2axaxax恒成立， 求实数a的取值范围。15已知012222yxy
6、x，若不论yx,为何实数均有0kyx，求k的最大值。16若不等式)(322yxaxyx对一切正数x、 y 恒成立，求实数a 的取值范围 . 17 定义在 R上的奇函数f(x)是减函数 , 是否存在这样的实数m,使f(cos2+2msin)+f(-2m-2)f(0)对所有的0, 2 均成立 ?若存在 , 则求出所有适合条件的实数m;若不存在 , 试说明理由 . 三。一次不等式恒成立的解法（1）f(x)=kx+b0在 , 上恒成立0)(0)(ff（2）f(x)=kx+b0在, 上恒成立0)(0)(ff（3）f(x)=kx+b0在, 上恒成立0)(0)(ff（4）f(x)=kx+b0在, 上恒成立0
7、)(0)(ffex3.(1)函数1)(,1 , 1,223)(xfxbxxf若恒成立，则b 的最小值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页精品资料欢迎下载解：函数1)(,1 , 1,223)(xfxbxxf若恒成立其充要条件是：1)1(1) 1(ff由f(-1)=2b-51, 得b3 由f(1)=2b+11, 得 b0 综合得 b3即b的最小值为 3 (2) 已知关于x的函数1logloglog6log1log2222xbxbxyaa，其中0, 1, 0baa，若当x在区间2 , 1内任意取值时，y的值恒为正，求b的
8、取值范围。解：1loglog1log6log222bxbbyaaa，令xu2log，则1 , 0u，则有1log1log6log22bubbufyaaa，于是问题转化为：当1 ,0u时，0ufy恒成立，求b的取值范围。因为ufy是关于u的一次函数， 则当1 ,0u时，0ufy恒成立的充要条件是02log6101log02bfbfaa，解得31log1ba。所以当1a时，31aba； 当10a时，aba13。练习 2：1设奇函数 1 , 1)(在xf上是增函数， 且, 1)1(f若函数12)(2attxf对所有的 1 , 1x都成立，当1 , 1a时，则 t 的取值范围是A22tB2121tC0
9、22ttt或或D02121ttt或或2已知f(x) 是定义在1，1上的函数，且f(1)=1, 若a,b 1,1 ,a-b0 时，有babfaf)()( 0. (1) 判断函数f(x) 在 1，1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页精品资料欢迎下载（ 2）解不等式：f(x+21) f(11x); (3) 若f(x) m22pm+1 对所有x 1,1 ,p 1,1 (p是常数 ) 恒成立，求实数m的取值范围 . 3、 对任意1 , 1a, 函数axaxxf24)4()(2的值总大于
10、0, 则x的取值范围是 A.31|xx B. 31|xxx或 C. 21|xx21|.xxxD或四二次不等式恒成立的解法(1) ax2+bx+c0 在 R上恒成立00a或000cba(2) ax2+bx+c0 在, 上恒成立00a或0)(0)(00)(200)(20ffafabafaba或或ex5: 设函数 f(x)=x, g(x)=x+a. (1) 点（ f(x)，g(x) ）到直线x+y-1=0 的距离的最小值为2，求实数a 的值(2)a0 时，若不等式1)()()(xfxagxf在 x1,4上恒成立，求实数a 的取值范围。解： （1）由题意得点M到直线0,2|1|01txtaxxdyx则
11、令的距离. ;2|1|2|45)21( |2|1|22aatattd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页精品资料欢迎下载3),(1,22|1|,0aaadxt舍解得时当最小(2) 由2)()(0:1)()()(11)()()(xfxagxfxagxfxfxagxf得即22xaax在4, 1 x上恒成立，也就是4, 122xxaax在上恒成立 . 令0,txt则且2, 1 ,02.222tatattx在依题意上恒成立设222)(atatt，则要使上述条件成立，只需：044)2(02)1(22aaaa解得：)12(20a
12、，即满足题意的a的取值范围是)12(20aex6: 设对所有实数x, 不等式恒成立 , 求 a 的取值范围 . 解: 由题意得化简为z(6-z)6, 或z0, z3, 综合 , 得 z0, 解，得 a的取值范围： 0a0 ， 若 函 数)()(1)(xgxfaxF有最小值m ，且 m2+7, 求a的取值范围 . 8.若函数1)(2mxmxxf的定义域为R，则m的取值范围是_ 9. 若不等式x2-m(4xy- y2)+4m2y20 对一切非负实数x、y 恒成立，试求实数m的取值范围10. 若函数axaxxf1sin2sin)(2的定义域为R，求实数a 的取值范围 . 11. 已知 |x-5/2|
13、a 时，不等式 |x2-5| 4 恒成立，求正数a 的取值范围 . 五利用函数的图象，数形结合利用某些代数式的几何含义，结合图形研究。ex7.(1)设 函 数134)(,4)(2xxgxxaxf， 已 知0, 4x， 时 恒 有)()(xgxf，求a的取值范围 . 讲解 : 由得实施移项技巧 ,)()(xgxf,134:,4:,134422axyLxxyCaxxx令, 从而只要求直线L 不在半圆C 下方时 , 直线 L 的 y 截距的最小值 . 当直线与半圆相切时，易求得35( 5aa舍去） . 故)()(,5xgxfa时. (2) 当 x(1,2)时，不等式 (x-1)2logax 恒成立，
14、求a 的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图x y o 1 2 y1=(x-1)2y2=logax 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页精品资料欢迎下载象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。解：设 y1=(x-1)2,y2=logax,则 y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),y11,并且必须也只需当x=2 时 y2的函数值大于等于y1的函数值。故 loga21,a1,1a2.说明： 本例的求解在于,实施移项技巧关键在于构造新的函数, 进而通过解几
15、模型进行推理解题, 当中 , 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性. 强调 : 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是解题能力的提升 , 还请三思而后行. 练习：1、若不等式0log32xxa在)31,0(x时恒成立，则实数a的取值范围是A：271, 0(B：) 1,271(C：)271,0(D：) 1,2712、若对实数10,x恒有log2mx，则实数m的取值范围是 _。3已知).,( ,42)(2Rcbacbxaxxf（1）若 a+c=0， f(x)在 2，2 上的最大值为32，最小值为21，求证：2|ab. （2）当 b4，c43时，对于给定的负数a，有一个最大的正数M(a) 使得x0 ，M(a) 时都有5|)(|xf，问 a 为何值时M(a)最大，并求出这个最大值M(a) ，证明你的结论。4 已知函数( )1,( )2.f xx g xmxm（ 1）当1=m时，解不等式)()(xgxf；（ 2）如果对满足1m的一切实数m，都有( )( )f xg x，求x的取值范围。5.若)2, 1(x时，不等式xxalog)1(2恒成立，则a的取值范围是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
