2022年圆锥曲线解题技巧和方法综合

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1、学习必备欢迎下载圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率tan,0,)k 点 到 直 线 的 距 离0022AxByCdAB 夹 角 公 式 ：2121tan1kkk k（3）弦长公式直线ykxb上两点1122(,),(,)A xyB xy间的距离：2121ABkxx221212(1)()4kxxx x或12211AByyk（4）两条直线的位置关系1212llk k=-1 212121/bbkkll且2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准

2、方程：221(0,0)xymnmnmn且距离式方程：2222()()2xcyxcya参数方程：cos ,sinxayb(2)、双曲线的方程的形式有两种精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页学习必备欢迎下载标准方程：221(0)xym nmn距离式方程：2222|()()| 2xcyxcya(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22222bbpaa椭圆：；双曲线：；抛物线：(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知21FF 、是椭圆13422yx的两个焦点，平面内一个动点M 满足221MFMF则动点 M 的轨迹是（）A、

3、双曲线； B、双曲线的一支； C、两条射线； D、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：122tan2F PFPb在椭圆上时， S122cot2F PFPb在双曲线上时， S（其中2221212121212|4,cos,|cos| |PFPFcF PFPFPFPFPFPFPF）(6)、记住焦半径公式：（1）00;xaexaey椭圆焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为，可简记为“左加右减，上加下减” 。（2）0|xe xa双曲线焦点在轴上时为（3）11|,|22ppxxy抛物线焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）设11, y

4、xA、22,yxB，baM,为椭圆13422yx的弦AB中点则有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页学习必备欢迎下载1342121yx，1342222yx；两式相减得03422212221yyxx3421212121yyyyxxxxABk=ba432、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程， 使用判别式0，以及根与系数的关系， 代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x yB xy

5、，将这两点代入曲线方程得到12 两个式子，然后1 -2 ，整体消元 ，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系， 消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系， 根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykxb，就意味着 k 存在。例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆805422yx上，且点 A是椭圆短轴的一个端点（点A 在 y 轴正半轴上） . （1）若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程 ; （2）若角 A 为090，AD 垂直 BC 于 D，试求点 D 的轨迹方程 . 分析：第一问抓住“重心” ，利用点差

6、法及重心坐标公式可求出中点弦 BC的斜率，从而写出直线 BC 的方程。第二问抓住角 A 为090可得出 ABAC，从而得016)(14212121yyyyxx，然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程；解： （ 1）设 B（1x,1y） ,C(2x,2y),BC 中点为 (00, yx),F(2,0)则 有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页学习必备欢迎下载11620, 1162022222121yxyx两式作差有016)(20)(21212121yyyyxxxx04500kyx(1) F(2,0)为三角形重心

7、，所以由2321xx，得30x，由03421yy得20y，代入（ 1）得56k直线 BC的方程为02856yx2)由 ABAC 得016)(14212121yyyyxx（2）设直线BC方程为8054,22yxbkxy代入，得080510)54(222bbkxxk2215410kkbxx，222154805kbxx2222122154804,548kkbyykkyy代入（ 2）式得0541632922kbb，解得)(4 舍b或94b直 线 过 定 点 （ 0，)94， 设D （ x,y） ， 则1494xyxy， 即016329922yxy所以所求点 D 的轨迹方程是)4()920()916(2

8、22yyx。4、设而不求法例 2、如图，已知梯形 ABCD 中CDAB2，点 E 分有向线段AC所成的比为， 双曲线过 C、 D、 E 三点， 且以 A、 B 为焦点当4332时，求双曲线离心率e的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页学习必备欢迎下载和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设 Chc,2，代入12222byax，求得h，进 而 求 得,EExy再 代 入12222byax， 建 立 目 标

9、 函 数( , , , )0f a b c，整理( ,)0f e，此运算量可见是难上加难.我们对h可采取设而不求的解题策略, 建立目标函数( , , , )0f a b c，整理( ,)0f e,化繁为简 . 解法一：如图，以AB 为垂直平分线为y轴，直线 AB 为x轴，建立直角坐标系xOy，则 CDy轴因为双曲线经过点C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知C、D 关于y轴对称依题意，记 A0, c，Chc,2，E00, yx，其中|21ABc为双曲线的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得122120cccx，10hy设双曲线的方程为12222byax，则离心率ace由点 C、

10、E 在双曲线上，将点C、E 的坐标和ace代入双曲线方程得14222bhe，11124222bhe由式得14222ebh，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页学习必备欢迎下载将式代入式，整理得214442e，故1312e由题设4332得，43231322e解得107e所以双曲线的离心率的取值范围为10,7分析：考虑,AEAC为焦半径 ,可用焦半径公式 , ,AEAC用,E C的横坐标表示，回避h的计算 , 达到设而不求的解题策略解法二：建系同解法一，,ECAEaexACaex，22121Ecccx，又1AEAC，代入

11、整理1312e，由题设4332得，43231322e解得107e所以双曲线的离心率的取值范围为10,75、判别式法例 3已知双曲线122:22xyC， 直线l过点0,2A， 斜率为k， 当10k时，双曲线的上支上有且仅有一点B 到直线l的距离为2，试求k的值及此时点 B 的坐标。分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B 作与l平行的直线，必与双曲线C 相切 . 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

12、- - - -第 6 页，共 24 页学习必备欢迎下载0. 由此出发，可设计如下解题思路：10)2(:kxkylkkkxyl2222: 的值解得 k解题过程略 . 分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B 到直线l的距离为2” ，相当于化归的方程有唯一解 . 据此设计出如下解题思路：简解：设点)2,(2xxM为双曲线 C 上支上任一点，则点M 到直线l的距离为：212222kkxkx10k把直线 l 的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式0直线 l 在 l 的上方且到直线l 的距离为2转化为一元二次方程根的问题求解问题关于 x的方程10212222

13、kkkxkx有唯一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页学习必备欢迎下载于是，问题即可转化为如上关于x的方程 . 由于10k，所以kxxx22，从而有.222222kxkxkxkx于是关于x的方程) 1(22222kkxkx02)1(2,)2) 1(2(222222kxkkkxkkx.02)1(2,022)1(22) 1(221222222kxkkkkxkkkxk由10k可知：方程022) 1(22) 1(22122222kkxkkkxk的二根同正，故02) 1(22kxkk恒成立，于是等价于022)1(22)1(22

14、122222kkxkkkxk. 由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式0，就可解得552k. 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性. 例 4 已知椭圆 C:xy2228和点 P（4，1） ，过 P 作直线交椭圆于A、B 两点，在线段 AB 上取点 Q，使APPBAQQB，求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程 . 分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页学习必备欢迎

15、下载此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q 的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的. 由于点),(yxQ的变化是由直线AB 的变化引起的，自然可选择直线AB 的斜率k作为参数，如何将yx,与k联系起来？一方面利用点Q 在直线 AB 上；另一方面就是运用题目条件：APPBAQQB来转化 .由 A、 B、P、Q 四点共线，不难得到)(82)(4BABABAxxxxxxx，要建立x与k的关系，只需将直线 AB 的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可. 通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数. 将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理

16、利用点 Q 满足直线 AB 的方程： y = k (x4)+1，消去参数k 点 Q 的轨迹方程QBAQPBAP)(82)(4BABABAxxxxxxxkfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页学习必备欢迎下载在得到kfx之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于yx,的方程（不含k） ，则可由1)4(xky解得41xyk，直接代入kfx即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。简解： 设),(),(,2211yxQyxByxA， 则由QBAQPBAP可得：xxxxxx212144，解之得：)(82

17、)(4212121xxxxxxx（1）设直线 AB 的方程为：1)4(xky，代入椭圆 C 的方程，消去y得出关于x 的一元二次方程：08)41 (2)41(412222kxkkxk（2）.128)41 (2,12) 14(42221221kkxxkkkxx代入（1），化简得：.234kkx(3) 与1)4(xky联立，消去k得：.0)4(42xyx在（2）中，由02464642kk，解得41024102k，结合（3）可求得.910216910216x故知点 Q 的轨迹方程为：042yx（910216910216x）. 点评： 由方程组实施消元 ，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判

18、别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页学习必备欢迎下载引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 6、求根公式法例 5 设直线l过点 P （0，3） ，和椭圆xy22941顺次交于 A、B 两点，试求APPB的取值范围 . 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：APPB=BAxx，但从此后却一筹莫展 , 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（

19、或某几个）参数的函数关系式（或方程） ，这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系. 分析 1:从第一条想法入手，APPB=BAxx已经是一个关系式，但由于有两个变量BAxx ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第 3 个变量直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将BAxx ,转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出. 所求量的取值范围把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程， 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程xA= f（k） ，xB = g（k）得到所求量关于k 的函数关系式求

20、根公式AP/PB = （ xA / xB）由判别式得出k 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页学习必备欢迎下载简解 1：当直线l垂直于 x 轴时，可求得51PBAP; 当l与 x 轴不垂直时，设)(,2211yxByxA，直线l的方程为：3kxy，代入椭圆方程，消去y得045544922kxxk解之得.4959627222,1kkkx因为椭圆关于 y 轴对称，点 P 在 y 轴上，所以只需考虑0k的情形. 当0k时，4959627221kkkx，4959627222kkkx，所以21xxPBAP=5929

21、592922kkkk=59291812kkk=25929181k. 由0491 8 0)54(22kk, 解得952k，所以51592918112k，综上511PBAP. 分析 2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到： 判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来 . 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页学习必备欢迎下载在于21xxPBAP不是关于21,xx的对称关

22、系式 . 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21,xx的对称关系式 . 简解 2：设直线l的方程为：3kxy，代入椭圆方程，消去y得045544922kxxk（*）则.4945,4954221221kxxkkxx令21xx，则，.20453242122kk在（*）中，由判别式,0可得952k，把直线 l 的方程 y = kx+3代入椭圆方程， 消去 y得到关于 x 的一元二次方程xA+ xB = f（k） ，xA xB = g（k）构造所求量与k的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB = （ xA / xB）由判别式得出k 的取值范围精选学习资料 - - - -

23、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页学习必备欢迎下载从而有5362045324422kk，所以536214，解得551. 结合10得151. 综上，511PBAP. 点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法. 解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里. 第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命

24、题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。 以已知的真实数学命题， 即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。 在推理过程中， 必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例 6 椭圆长轴端点为BA,，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且1FBAF，1OF（）求椭圆的标准方程；（）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于QP,两点，问：是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由。精选学习资料 - - -

25、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页学习必备欢迎下载思维流程：（）（）消元解题过程：（）如图建系，设椭圆方程为22221(0)xyabab,则1c又1FBAF即22() ()1acacac，22a故椭圆方程为2212xy2,1ab写出椭圆方程由1AFFB，1OF()()1ac ac，1c1PQk由 F为PQM的重心,PQMF MPFQ2222yxmxy2234220xmxm两根之和，两根之积0MPFQ得出关于m 的方程解出 m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24

26、页学习必备欢迎下载（）假设存在直线l交椭圆于QP,两点，且F恰为PQM的垂心，则设1122(,),(,)P x yQ xy，(0,1),(1,0)MF，故1PQk，于 是 设 直 线l为yxm， 由2222yxmxy得 ，2234220xmxm12210(1)(1)MP FQx xyy又(1,2)iiyxm i得1221(1)()(1)0x xxmxm即212122()(1)0x xxxmmm由韦达定理得222242(1)033mmmmm解得43m或1m（舍）经检验43m符合条件点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零例 7、已知椭圆E的中心在坐标原点， 焦点在

27、坐标轴上， 且经过( 2,0)A、(2,0)B、31,2C三点（）求椭圆E的方程：（）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，( 1,0),(1,0)FH，当DFH内切圆的面积最大时，求DFH内心的坐标；思维流程：（）由椭圆经过A、B、C三点设方程为122nymx得 到nm,的 方 程解出nm,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页学习必备欢迎下载（）解题过程：（）设椭圆方程为122nymx0,0 nm，将( 2,0)A、(2,0)B、3(1, )2C代入椭圆E的方程，得41,914mmn解得11,43mn.椭圆E的

28、方程22143xy（）|2FH，设DFH边上的高为hhSDFH221当点D在椭圆的上顶点时，h最大为3，所以DFHS的最大值为3设DFH的内切圆的半径为R，因为DFH的周长为定值6所以，621RSDFH得出D点坐标为33,0由DFH内切圆面积最大转化为DFH面积最大转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短轴端点DFH面积最大值为3内切圆周长rSDFH2133内切圆r精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页学习必备欢迎下载所以R的最大值为33所以内切圆圆心的坐标为3(0,)3. 点石成金：的内切圆的内切圆的周长rS2

29、1例 8、已知定点)01(，C及椭圆5322yx，过点C的动直线与椭圆相交于AB，两点. （）若线段AB中点的横坐标是12，求直线AB的方程；（）在x轴上是否存在点M，使MBMA为常数？若存在， 求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 思维流程：（） 解： 依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为(1)yk x，将(1)yk x代入5322yx， 消去y整理得2222(31)6350.kxk xk设1122()()A xyB xy，则4222122364(31)(35)0 (1) 6. (2)31kkkkxxk，由线段AB中点的横坐标是12，得2122312312xxkk，解得33k，符

30、合题意。所以直线AB的方程为310xy，或310xy. （）解：假设在x轴上存在点(,0)M m，使MBMA为常数. 当 直 线AB与x轴 不 垂 直 时 ， 由 （ ） 知22121222635. (3)3131kkxxx xkk，所以212121212()()()()(1)(1)MA MBxm xmy yxm xmkxx22221212(1)()().kx xkmxxkm将(3)代入，整理得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页学习必备欢迎下载222222114(2)(31)2(61)5333131mkmmkMA

31、 MBmmkk2216142.33(31)mmmk注意到MBMA是与k无关的常数，从而有761403mm， 此时4.9MA MB当 直 线AB与x轴 垂 直 时 ， 此 时 点AB，的 坐 标 分 别 为221133，、，当73m时， 亦有4.9MA MB综上，在x轴上存在定点703M，使MBMA为常数 . 点石成金：222222114(2)(31)2(61)5333131mkmmkMA MBmmkk2216142.33(31)mmmk例 9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点 M（2，1） ，平行于 OM 的直线l在 y 轴上的截距为 m（m0） ，l交椭圆于

32、 A、B 两个不同点。（）求椭圆的方程；（）求 m 的取值范围；（）求证直线MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程：解： （1）设椭圆方程为)0(12222babyax则2811422222bababa解得椭圆方程为12822yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页学习必备欢迎下载（）直线l平行于 OM，且在 y 轴上的截距为 m 又 KOM=21mxyl21的方程为：由0422128212222mmxxyxmxy 直 线l与 椭 圆 交 于A 、 B两 个 不 同 点 ，0, 22,0)42(4

33、)2(22mmmm且解得（） 设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1，k2，只需证明 k1+k2=0即可设42,2),(),(221212211mxxmxxyxByxA且则21,21222111xykxyk由可得042222mmxx42,222121mxxmxx而)2)(2()2)(1()2() 1(2121211221221121xxxyxyxyxykk)2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2() 1(4)(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212121211221xxmmmmxxmxxmxxxxxmxxmx00)2)(2(444242212122kkxxmmmm故

34、直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页学习必备欢迎下载点石成金：直线 MA、 MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形021kk例 10、已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5 kkxy交双曲线于不同的点C，D 且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 思维流程：解 ： （ 1 ）,332ac原 点 到 直 线AB：1byax的 距 离.3,1.2322abca

35、bbaabd. 故所求双曲线方程为.1322yx（ 2 ） 把33522yxkxy代入中 消 去y， 整 理 得07830)31(22kxxk. 设CDyxDyxC),(),(2211的中点是),(00yxE，则.11,315531152002002210kxykkkxykkxxxBE,000kkyx即7,0,03153115222kkkkkkk又故所求k=7. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页学习必备欢迎下载点石成金 : C，D都在以B为圆心的圆上BC=BDBECD; 例 11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦

36、点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为 1（）求椭圆C的标准方程；（II ）若直线:ly=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标思维流程：解： （）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab，由已知得：31acac，222213acbac，椭圆的标准方程为22143xy（II ）设1122()()A xyB xy，联立221.43ykxmxy，得222(34)84(3)0kxmkxm，则22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m kkmkm

37、mkxxkmx xk，即，又22221212121223(4)()()()34mky ykxmkxmk x xmk xxmk因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2 0)D，1ADBDkk，即1222211xyxy. 1212122()40y yx xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页学习必备欢迎下载2222223(4)4(3)1540343434mkmmkkkk2271640mmkk解得：12227kmkm，且均满足22340km当12mk时，l的方程(2)yk x，直线过点(2 0)，与已知矛盾；当227k

38、m时，l的方程为27ykx，直线过定点207，所以，直线l过定点，定点坐标为207，点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点CACB; 例 12、已知双曲线)0, 0(12222babyax的左右两个焦点分别为21FF 、,点 P在双曲线右支上 . （）若当点 P的坐标为)516,5413(时,21PFPF,求双曲线的方程；（） 若|3|21PFPF,求双曲线离心率e的最值 ,并写出此时双曲线的渐进线方程 . 思维流程：解： （）(法一)由题意知 ,1PF)516,5413( c, 2PF)516,5413(c, 21PFPF, 021PFPF)5413( c0)516()5413(2c（1

39、 分）解得5,252cc. 由双曲线定义得 : ,2|21aPFPF2222)516()54135()516()54135(2a6) 341()341(22,4,3 ba所求双曲线的方程为 : 116922yx(法二) 因21PFPF,由斜率之积为1,可得解. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页学习必备欢迎下载（）设2211| ,|rPFrPF, ( 法 一 ) 设P的 坐 标 为),(yx, 由 焦 半 径 公 式 得aexexarexaexar|,|21,caxaexexarr2212),(3,3,2,2ac

40、aaxca2，e的最大值为 2,无最小值 . 此时31,2222eaacabac, 此时双曲线的渐进线方程为xy3(法二)设21PFF,0(. (1)当时, 22121423,2rcrrcrr，且, 22122rrra此时2242222rrace. (2)当），（0,由余弦定理得 : cos610cos2222222122212rrrrrrc）（2cos6102cos6102222rrace, )1 , 1(cos,)2, 1(e,综上,e的最大值为 2,但e无最小值 . (以下法一) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页