2022年量子力学知识点小结

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1、量子力学知识总结认真、努力、坚持、反思、总结物理 111 杨涛精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 37 页量子力学量子力学知识点小结一、绪论1. 光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应（散射）三个实验最终确定的。2. 德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性，其德布罗意关系为Eh和hpn3. 波尔的三个基本假设是定态条件假设、nmEEh频率条件假设、化条件）（索末菲等推广的量子21或量子化条件假设hnpdqnhpdq）（4. 自由粒子的波函数()ip rEtAe5. 戴维孙革末的电子在晶体上衍射实验证

2、明了电子具有波动性。二、波函数及薛定谔方程（一）波函数的统计解释（物理意义）A.波函数( , )r t的统计解释2( , )r tdtr表示时刻在点位置处单位体积内找2sindrdrdd到粒子的几率（注：）。B. 波函数( , , , )x y z t的统计解释2( , , , ),x y z tdxdydztx y z表示时刻在点（）位置处单位体积没找到粒子的几率。例：已知体系处于波函数( , , )x y z所描写的状态，则在区间 ,x xdx内找到粒子的概率是2( , , )x y zdydz dx. 已知体系处于波函数( , ,)r所描写的状态，则在球壳rrdr内找到粒子的概率是

3、22200( , ,)sinrddr dr，在立体角d内找到粒子的概率是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 37 页量子力学220( , ,)rr drd. （注：sindd d）（二）态叠加原理：如果1和2是体系的可能状态，那么它们的线性叠加1122cc（12cc、为复数）也是这个体系可能的状态。含义：当体系处于1和2的线性叠加态1122cc（12cc、为复数）时，体系既处于1态又处于态2，对应的概率为21c和22c. （三）概率密度（分布）函数2( )( )xxx若波函数为，则其概率密度函数为（）（四）薛定谔方程

4、：22( )2iU rtm22222222222222222()21cos1()sinsinxyzrrrrr拉普拉斯算符直角坐标球坐标问题：1. 描写粒子（如电子）运动状态的波函数对粒子（如电子）的描述是统计性的. 2. 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，不是通过严格的数学推导而来的（五）连续性方程：*0( )2JtiJm注：问题：波函数的标准条件单值、连续、有界。（六）定态薛定谔方程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 37 页量子力学22( )2U rEm即：22( )2U rEm定态的特点：（1）粒子的几率密

5、度和几率流密度与时间无关222）（）（）（rert ,rEti0t（2）能量具有确定的值（可由自由粒子的波函数进行验证）（3）各力学量的平均值不随时间变化定义：哈密顿算符22?( )2HU rm于是定态薛定谔方程可写为：EH这种类型的方程称为本征值方程，E被称为算符H的本征值，称为算符的本征方程。讨论定态问题，就是要求出）（t ,r（或）（r）和E，含时间的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函数的线性迭加：tEinnnnerCtr)(),(nC 为常数。（七）一维无限深势阱问题设粒子的势能：axxaxxU,00, 0)(在势阱外0)(x axx0 （1）在势阱内：因为0)(xU，所以其定

6、态薛定谔方程为：Edxd2222ax0（2）令22 Ek（3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 37 页量子力学则方程（ 2）可化为标准形式：axkdxd00222（4）其通解为：)sin()(kxAx（5）式中A，为两个待定常数，单从数学上看，E为任何值方程（ 2）都有解，然而，根据波函数连续性要求，在势阱边界上，有0)0(（6）0)(a（7）由（5）式和（ 6）式得：0sina令波函数不能恒为零，而A不能为零，所以必须0，于是kxAxsin)(（8）再根据（ 7）式得0sin)(kaAa所以ka必须满足：nka.

7、3, 2, 1nn取负数给不出新的波函数。这告诉我们k 只能取下列值ank.3 ,2 , 1n (9) 由(3）式可知，粒子的能量只能取下列值：22222 anEn.3,2, 1n (10) 将（9）式代入到（ 8）式中，并把势阱外的波函数也包括在内，我们就得到能量为22222 anEn的波函数。axxanAaxxxn0sin,00)(.3 ,2 ,1n（11）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 37 页量子力学注：0,0,0 nn，波函数无意义（11）式中 A可由归一化条件确定1sin|)(| )(|022022dx

8、xanAdxxdxxaan知：aA2最后得到能量为nE 的归一化波函数为：axxanaaxxx0sin2,00)(总结：1、axxaxxU,00, 0)(可得：222223210200man E, naxxansinaax,x)x(n2、axax,)x(U0可得：22228321)(210man E, naxaxansinaax)x(n 3 、220axax,)x(U可得：222223212)2(220man E, naxaxansinaax)x(n问题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 37 页量子力学粒子在一维无

9、限深势阱中运动时，若阱宽减小，则其能级间隔会增大. （八）一维线性谐振子问题：一维线性谐振子的势能：2221)(xxU定态薛定谔方程：Exdxd22222212令：xE2最后可求得一维线性谐振子的能量与对应的波函数为：.3210)21(、nnEn与之相应的波函数为：)x(HeN)x(nxnn222归一化因子nnnN2!其中：222) 1()(eddeHnnn为厄米多项式且有：）（）（）（1122nnnnHHH24212210HHH小结：一维线性谐振子：222221()22dxEdx能量的本征方程是：2221()0,1,2,2( )()2!nxnnnEnnxeHxn本征方程的解：精选学习资料

10、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 37 页量子力学一维线性谐振子的基态能量与对应的波函数22221xexE）（问题： 1. 线性谐振子能量的本征方程是222221()22dmxEm dx或222221()22dxEdx. 定义算符：2 22 ( () )2!xnnnneHxn线性谐振子的本征矢记作注：?11111?112211122annnann nnnx nnndnnnnndxmnnmnnnnnnnnnnnnnnnx?ndxxx?xn ,nn ,nn*n212112112121112111211211211111111）（）

11、（）（如：注：上述算符仅适用于线性谐振子2. 设）（xn是一维线性谐振子的波函数，则有：dxxp ?xnx*n）（）（ 0 dxxx ?xn*n）（）（1(1)2nm克罗内克符号：10mnmnmn对线性谐振子：mnm n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 37 页量子力学dxxx ?xn*n）（）（ 0 dxxp ?xnx*n）（）（12nmi三、量子力学中的力学量（一）线性算符若22112211uQ?cuQ?c)ucuc(Q?则称 Q?为线性算符，其中21,uu为两个任意函数，21,cc是常数（复数） . （二）厄

12、米算符如果对于任意两个函数和，算符满足下列等式：*F?dF?d）（则称F?为厄米算符 . 注：两个厄密算符之和仍为厄密算符，但两个厄密算符之积却不一定是厄密算符，除非两者可以对易。在量子力学中刻划力学量的算符都是线性厄米算符（三）算符的本征值和本征函数如果算符F?作用在一个函数，结果等于乘上一个常数：F?本征方程则称为F?的本征值，为属于的本征函数本征方程的物理意义：如果算符F?表示力学量，那么当体系处于F?的本征态时，力学量有确定值，这个值就是F?在态中的本征值。（四）常用力学量的算符表示：坐标表象下：算符与力学量的关系：量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系，当体

13、系处于波函数( )nnnxc描写的状态精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 37 页量子力学22?( )2?:?xyzEHU rpixppipiypiz能量: 动量即：（五）动量算符和角动量算符 1.动量算符：动量算符的本征值方程( )( )(,)ppirprxyz31( )211( )( )(2)21( )2xxyyzzip xpiip rp yppip zpxereyeze本征函数：分量形式2. 角动量算符?L?()Lrp角动量平方算符2?L与角动量z分量算符?zL 的本征函数和本征值球谐函数( , )lmY

14、是角动量平方算符2?L与角动量z分量算符?zL 共同的本征函数. *()!(21)( , )( 1)(cos ),0,1,2, ,()!4( , )( 1)( ,),1, 2, 3,.mmimlmlmlmlmlmlYPemllmYYml（不做记忆要求）22?( , )(1)( , )?( , )( ,)lmlmzlmlmL Yl lYL Ym Y本征值方程：因此角动量平方算符2?L与角动量z分量算符?zL 的本征值分别为2(1)l l和m，其中l称为角量子数称m为磁量子数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 37 页量

15、子力学简并：对于一个本征值有一个以上的本征函数的情况称为简并简并度：对应同一本征值的本征函数的数目称为简并度问题：1. 不考虑电子自旋，氢原子的第n条能级的简并度为2n. 2. 考虑电子自旋，氢原子的第n条能级的简并度为22n. 3. 球谐函数( , )lmY是算符2?L和?zL的共同本征函数，相应的本征值为：2(1)l l和m. （六）类氢离子问题：哈密顿算符：2220? ()24ssZeeHeSImr?H的本征值方程：2222sZeEmr该方程的解：2422,1,2,3,2( )( ,)esnnllmm Z eEnnRr Y( )nlRr为径向函数：00033022( )1,22,

16、. 2()!21 !1 !lZrnanlnlnlZZRrN erFnllrnananlZNlnla不做记忆要求 . 基态波函数；0123100100030=ZraZR Yea（重点公式）类氢离子的能量：2422222,1,2,3,22ssnm Z eeZEnnan0=maa（注：当用电子质量时，）22020222,=esesm ZeZnnaam e式中是氢原子第一轨道波尔半径，又称波尔半径 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 37 页量子力学类氢离子的波函数：( )( , )nlmnllmRr Y基态波函数；123

17、10010003ZraZR Yea（七）算符的对易关系：?,-? ?,? ? ?,A BAB BAA BB AA BCA BA CA BCA B CB A CAB CA B CA C B定义：性质：,2?. ,0?. ,0?. ,=?. ,?= ()?. ,0. AXXBppCXpiDJJi JJJ i JJEJJF坐标与坐标的对易关系动量与动量的对易关系坐标与动量的对易关系角动量与角动量的对易关系即：表示轨道或自旋角动量角动量平方与角动量的对易关系角动量与动量的?,?. ,Lpi pGLXi X对易关系角动量与坐标的对易关系定义：对于算符?F和?G ，如果?,0F G则称算符?

18、F和?G 对易，如果?,0F G则称算符?F 和?G 反对易（注：?,F GFGGF）. 泡利算符满足反对易关系，即?,0定理：如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数，该定理的逆定理也成立。问题： 1. 写出下列算符的对易关系?,xyLLzi L .?,xzLp?yi p . ? ?,xx pi.?,xy2zi. ?,xLy?i z. 2. 若力学量对应算符?F 和?G 满足?,0F G，则表示它们相互对易且有一组1,1,0xyz yzx zxyxzy yxz zyx定义：其他, ,x y z表示下标之一?,?010?zxzxxxzxyyzxzzxyzyJJi Ji

19、Ji Ji Ji Ji Ji J例：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 37 页量子力学共同的本征函数。（八）测不准原理对于算符?F 和?G ，设?,F Gik?k（注：是一个算符或普通的数）?, FFFGGG令222?:4kFG则（）（）（九）平均值公式已知算符?F 是线性厄米算符，它的正交归一本征函数是( )nx 对应的本征值是n，若体系处于归一化波函数( )x 所描写的状态，则力学量F在该体系下的平均值（期望值）公式为：2*, ( )?( )( )?( )( )nnnnnnFcxcFx Fx dxx Fx其

20、中或问题： 1. 求证：厄米算符的本征值为实数.证明：设F?为厄密算符，为F?的本征值，表示所属的本征函数，即：F?因为：*)F?(dF?*d（F?为厄密算符）取，则有：* )F?(dF?*d*dd即是实数。2. 求证：厄米算符的属于不同本征值的本征函数相互正交. 证明：设(1,2, ,)iin是厄米算符?F 的本征函数，它们所属的本征值(1,2, ,)iin互不相等 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 37 页量子力学则有：? (1)? (2)kkklllFF且当kl时， (3)kl又?F 是厄米算符，故*=k

21、k，因此有 ; *? (4)kkkF用l右乘（ 4）式两边并对整个空间积分得：*? (5)kklklFdd用*k左乘（ 2）式两边并对整个空间积分得：*? (6)kklllFdd又*? (7)klklFdFd由（5）（7）式可得：*()0 (8)kklld联立（ 3）（8）可知：*0kld. 证毕 . 3. 设粒子做一维运动，波函数为：00,( )sin()0xxaxAxxaaA是任意常数，求（1）归一化常数A（2）概率分布函数（3）概率最大位置（4）在/ 2,aa 内发现粒子的概率。（5）x和2x的平均值22022020202( )1sin()1sin ()1121 2cos()1212s

22、in()12122aaaaxdxAxdxaAx dxaAxdxaaAxxaaAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 37 页量子力学解：（1）由归一化条件得：2( )1xdx22sin ()12Ax dxaAa（2）概率分布函数为 ; 2200,( )( )=2sin ()0xxaxxxxaaa（3）00,( )( )=4sin()cos()000, =22sin()0xxadxxdxxxxaaaxxaxxaa由（2）可知，当0,xxa 时，( )0x即概率最小位置，根据极值条件：( )0 (0)2axxxxa或处

23、不再讨论又：22222( )cos()0aaxxaaxxa故：2ax为概率最大位置，且有2( )2aa. （4）在/ 2,aa 内发现粒子的概率2222121()sin ()sin()22aaaaaaxaxxxaaaa即在/ 2,aa 内发现粒子的概率是12. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 37 页量子力学*202220?(5)( )( )? =( )( )2 =sin ()122 =sincos22 =2aaxx xxx xx dxxx dxaaaaxxxxaaaa22*222023322302( )( )=

24、( )( )2=sin ()21222=sincossin6448=3aaxx xxx xx dxxx dxaaaaaxxxxxxaaaaa上述积分用分部积分法求解. 参考积分公式：222223222311sin ()sin(2)cos(2)421111sin ()sin(2)cos(2)sin(2)6448bbaabbaaAxABx dxxxBxBxBBx ABx dxAxxBxxBxxBxBBB4. 求一维线性谐振子处在第一激发态时几率最大位置。解：由1()Hxx 得：一维线性谐振子处在第一激发态的波函数为：2212( )22xxxe，于是概率分布函数为：223222( )( )xxxx

25、e2222223223232( )2() 24 =xxxxxexxexxe精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 37 页量子力学显然()0x满足束缚态条件，此位置概率为0. 由极值条件1( )00,xx在x处概率为零故不做讨论 .又：2222223222322322444( )13(2 )4 =1 52xxxxxexxxx exxe（）（）3314(0)018()0e故概率最大位置是1x5. 一维运动的粒子的状态是0( )00xAxexxx其中0，求（1）粒子动量的概率分布函数；（2）粒子的平均动量解：由归一化条件2(

26、 )1xdx得：22222200223331 112!3 =1 224xxA x edxAx edxAAA1 （）（）（1）该波函数在动量表象下的形式为：（伽马）函数：定义：21020( ),(0)1()2,(1)2nxnxnxe dxnnxedxn性质：( )(1)!1(21)!()22nnnnn注：双阶乘运算(21)!1 3 52 -1nn（）推广：2102102( ),(0)1()22,(1)naxnnaxnnxedx nanx edx na动量的本征函数31( )( 2)ip rpre总动量：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

27、17 页，共 37 页量子力学*303()03322( )( ) =( )( )1 =424 =22221 =pppipxxip xcxxxx dxexedxxedxiipp于是粒子动量的概率分布函数为：32421( )ppcip（ 2）动量的期望值为：33030322200323323?( )( ) =4()4 =4 =423 =4221!2! =448 =0xxxxxxpx pxdxeixedxixexedxixedxx edxii（1-）6. 体系处于1 11210cYc Y 态中则（ B ）A.是体系角动量平方算符、角动量z 分量算符的共同本征函数B. 是体系角动量平方算符的本征

28、函数，不是角动量z 分量算符的本征函数C. 不是体系角动量平方算符的本征函数，是角动量z 分量算符的本征函数D. 既不是体系角动量平方算符的本征函数，也不是角动量z 分量算符的本征函数四、态和力学量的表象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 37 页量子力学（一）态的表象已知对任意力学量 Q，既有分立的本征值(1,2, ,)iQ in，对应本征函数是( ) (1,2, ,)iu xin也有连续的本征值q（q在一定范围内变化），对应的本征函数是( )qux ，当体系处于波函数,x t（）所描写的状态，则该体系在Q表象

29、下所描写的状态（即波函数( , )x t 表示为算符?Q的本征函数形式） . 由态叠加原理可得：( , )( )( )( )( )nnqqnx ta t uxa t ux dq式中*( )( )( , ) ;( )( ) ( , ) .nnqqa tuxx t dxatuxx t dx则, x t（）在力学量 Q表象下的描述可用列矩阵表示：1?*12( )( ),( ),( ),( ),( )( )( )nnqnqa ta ta ta ta ta ta ta t由归一化条件知：?12( )nat表示在( , )x t 所描写的状态中测量力学量Q所得结果为nQ 的概率，2( )qatdq则表示

30、测量结果在q到 qdq之间的概率 . （二）算符的矩阵表示设算符?F 作用于波函数( , )x tY后，得出另一函数( , )x t . 在坐标表象中记作：?( , )( , )x tFx tFY=. 该方程在 Q表象中的形式（如上文所述，此处仅讨论?Q的分立本征值情况）：( , )( )( ),( , )( )( );mmmmmmx tat uxx tbt uxYF=?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 37 页量子力学于是有：?( )( )( )( )mmmmmmbt uxFat ux=邋以*( )nux 左乘

31、上式两边并对x的整个区域积分得：*?( )( )( )( )( )( )mnmnmmmmbtux ux dxux Fux dxat=邋蝌又：*( )( )nmnmux ux dxd=所以有：*?( )( )( )( )nnmmmb tux Fux dxat=?令*?( )( )nmnmFux Fux dxn m=则：( )( )nnmmmb tF at=?即为?( , )( , )x tFx tFY=在 Q表象中的表述方式 . 其中：*?( )( )nmnmFux Fux dxn m=为算符?F在Q 表象中的矩阵元，易证：*nmmnFF=111212122212nnnnnnFFFFFFFFFF

32、骣?=?桫LLLLMMMMMLLMMMMM矩阵F满足?FF=为厄米矩阵问题若矩阵A满足条件?AA，则A称为厄米矩阵 . （三）量子力学公式的矩阵表述1. 期望值（平均值）公式将波函数( , )x tY按 Q的本征函数展开：*( , )( )( )( , )( )( )nnnmmmx ta t uxx tat uxYY?=?y?=? t?最后得：*( )( )mmnnmnFat F at=?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 37 页量子力学即：()111211212222*1212( )( )( ),( ),( ),

33、( )nnmnnnnnFFFa tFFFa tFa ta tatFFFa t骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢=鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢桫桫LLLLLLMMMMMMLLMMMMMM亦即：?FF2. 本征值方程?FYY=即：1112111212222212( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnFFFa ta tFFFata tFFFata tl骣骣骣鼢?珑?鼢?珑?鼢?珑?鼢?珑?鼢?珑?鼢?珑?鼢?珑?鼢?=鼢?珑?鼢?珑?鼢?珑?鼢?珑?鼢?珑?鼢?珑?鼢?珑?鼢?桫桫桫LLLLMMMMMMMLLMMMMMMM（1）为其矩阵表示 . 于是：11121121222212(

34、)( )0( )nnnnnnnFFFa tFFFatFFFatlll骣骣-鼢珑鼢珑鼢珑鼢-珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢=鼢珑鼢珑鼢珑鼢-珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢桫桫LLLLMMMMMMLLMMMMMM（2）该方程为线性齐次代数方程，非零解条件：det0mnmnF-=即久期方程：1112121222120nnnnnnFFFFFFFFFlll-=-LLLLMMMMMLLMMMMM（3）求解久期方程可得一组值：12,nLL ，即为F的本征值，代入（ 2）式可与i对应的本征函数（本征矢）即：()12( ),( ),( ),iiinatatatLL，其中1, 2, ,inLL=. （四）狄拉克

35、符号1. 狄拉克符号的引入态空间中的与在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 37 页量子力学分属于两个不同的空间伴随空间引入符号，称为右矢微观体系的一个量子态用表示，的集合构成右矢空间，在右矢空间中的分量表示可记为矩阵naaa21（1）约定：右矢空间的态矢,BA一律用,BA表示力学量的本征态矢一律用量子数,2,1nlmn，或连续本征值表示引入符号，称为左矢微观体系的一个量子态也可用表示，但在同一表象中与的分量互为共轭复数,*2*1naaa（2）的集合构成左矢空间2 . 基矢

37、狄拉克符号运算中非常重要的关系式连续谱当力学量本征值构成连续谱时，对应的基矢记为|（1）正交归一性)(|（8）（2）展开定理da|（9）|a（10）（3）封闭性1|d（11）3. 关于一维线性谐振子的讨论引入新算符湮灭算符1/21/222iaxpxx产生算符1/21/222iaxpxx对易关系：1,aaaaaa均是非厄米算符 . 定义：aaN（厄米算符）记2212( )()xnnnnxN eHx定义：?xyLLiL ，记( , )lmlmY则：?(1)()1?(1)()1Llmlmlml mLlmlmlml m则：11?1?annna nn nN nn n? ?()?(1)()1?(1)()1

38、(1)() (1)1(1)(1)()1?(1)?(1) ()zxyzzzxyLLiLlmL LlmLlmlml mlmlmL l mlmlmml mmlmlml mmLlmmLiLlm同理可得另一个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 37 页量子力学问题： 1. 设 lm 为算符2?L 和?zL 的共同本征矢，则：? ?()zxyLLiLlm (1)m?()xyLiLlm? ?()zxyL LiLlm (1)m?()xyLiLlm2. 定义算符?xyLLiL ，则?,LL?2zL . 22222222?,? ? ?

39、=? ? ? =? ? ? =2?2,xyxyxyxyxxyyxyxxyyxyxyxyyxyxxyxyxyyxxyLLLiLLiLLiLLiLLLiLiL LLLLiLiL LLLLLLiL LiL LLiLLiLi L LL Li LL解：?2?2zzii LL2. 已知在2?L 和?zL 的共同的共同表象中，算符?xL 的矩阵为0101012010xL求它的本征值和归一化本征函数. 解：由于算符?xL 的矩阵为0101012010xL故其本征值方程为1122330101012010cccccc即：12310110201ccc可得久期方程为：10110201解得：0,. 精选学习资料 - -

40、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 37 页量子力学（1）0时，有12301010102010ccc可得：2121312132310010021ccccccccccc设=归一化得22022，即为本征值0=对应的归一化本征函数 . （2）=时，有1122330101012010cccccc可得：11121222132233323101011110122220101ccccccccccccccccc=设212c =得对应归一化本征函数为122212，同理可得本征值为=-对应的归一化本征函数122212. （?1.归一化方法利用=）五、微扰

41、理论（一）非简并定态微扰理论(0)(0)(0)(0)(0)?nnnHHHHHE (为微扰 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 37 页量子力学以nE 和n表示H的本征值和本征函数：?nnnHE能量的一级修正为：(1)(0)*(0)?nnnnnEHdH能量的二级修正为：2(2)(0)(0)nmnmnmHEEE波函数的一级修正为：(1)(0)(0)(0)mnnmmnmHEE于是: 波函数的近似值为：(0)(1)(0)(0)(0)(0)mnnnnnmmnmHEE能量的近似值为：2(0)(1)(2)(0)(0)(0)

42、nmnnnnnnnmnmHEEEEEHEE（二）变分法思想：根据体系基态能量最小，即*0*?HdEHd（为任意波函数），表明任意波函数算出的 H?的平均值总大于体系的基态能量. 因此可以选取许多试探波函数计算 H?的平均值，找出最小的一个来接近0E . 变分法求体系基态能量步骤：1. 选取含参数的试探波函数2. 计算平均能量( )H3. 由极值条件( )0dHd求出( )H最小值，即为0E 的近似值 . 氢原子一级斯塔克效应：是指将氢原子放入外电场中，能级简并部分地被消除（原来是四度简并的能级，在一级修正中将分裂为三个能级）. （三) 选择定则中心力场中，电偶极跃迁的选择定则为1l，0,

43、1m . 问题： 1. 根据选择定则，氢原子发生跃迁nlmn l m能实现的是（ D ）A.200100 B.211210精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 37 页量子力学C.321300D.5434322. 设在0?H 表现中 ,?H的矩阵表示为 : (0)1(0)2EbaHaEb（,a b均为实数）的两个不同本征值（或该方程的精确求解），用微扰理论求能量至二级修正值。解：由题意，在能量表象中，(0)?H和?H 的矩阵为：(0)(0)1(0)10?0baEHHabE=在非简并状态下的微扰理论由能量的一级修正公式(

44、1)nnnEH得：能量的一级修正为 : (1)111(1)222EHbEHb由能量的二级修正公式2(2)(0)(0)nmnmnmHEEE得：能量的二级修正为：2(2)1(0)(0)122(2)2(0)(0)21aEEEaEEE因此能量的近似值为：2(0)(1)(2)(0)11111(0)(0)122(0)(1)(2)(0)22222(0)(0)21aEEEEEbEEaEEEEEbEE 3. 一电荷为q的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿正 x 方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数. 2(2)(0)(0)nmnmnmHEEE表示所有mn的项求和 .本题中n只有1,2两个值，故1n时，m只能取2

45、，因此有：2(2)1(0)(0)122(2)2(0)(0)21aEEEaEEEnmH表示矩阵元，即矩阵H的第 n行第 m列的元素，且有：(0)*(0)?nmnmHHd(0)n为体系的波函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 37 页量子力学解：依题意体系的哈密顿算符为：222221?22dHmxq xm dx由于电场是弱电场，故q x可视为微扰，令：22(0)2221?22dHmxHq xm dx记：(0)nn为无微扰时线性谐振子哈密顿算符的本征函数由微扰理论得：能量的一级修正为：(1)?0nnnEHn Hnq

46、n x n又：,1,1,1,1?11112212212mnm nm nm nm nHm Hnqm x nnnqmnnqnnqnnm因此能量的二级修正：2221,1,n(2)(0)(0)(0)(0)(0)(0)1122222122nnnmnnmnmnnnnHHHEEEEEEEqnnqmm波函数的一级修正为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 37 页量子力学(1)(0)(0)(0)1,1,(0)(0)11(0)(0)(0)(0)11(0)(0)11(0)(0)11331211211112mnnmmnmnnnnnnnnn

47、nnnnnHEEHHEEEEnnqmqnnmqnnn nm综上：能量的近似值是22(0)(1)(2)21(n)22nnnnqEEEEm波函数的近似值是(0)(1)311112nnnnqnnn nm六、自旋与全同粒子（一）电子自旋1. 施特恩革拉赫实验以及光谱的精细结构证明了电子具有自旋；施特恩革拉赫实验是将基态氢原子束通过狭缝和不均匀磁场，发现原子束分立为两条。2. 乌伦贝克和哥德斯密脱假设：（1）每个电子都具有自旋角动量S, 且在空间任何方向的投影只能取两个数值：2zS（2）每个电子都具有自旋磁矩sM , 且有：()seeMSSIm式中 e是电子的电荷，是em 电子的质量 . ,1,112

48、mnm nm nHqnnm仅当1,1mnmn时，0mnH且有：当1mn时，1,12mnnnHHqnm当1mn时，1,2mnnnHHqnmnEn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 37 页量子力学sM 在空间任意方向的投影只能取两个数值：()2SzBeeMMSIm式中2BeeMm是玻尔磁子. 精细结构是考虑了电子的自旋磁矩，超精细结构是考虑了电子的自旋磁矩和原子核的磁矩. 简单塞曼效应：将电子放入较强外磁场中（不考虑电子自旋与轨道相互作用），观察到谱线发生分裂（奇数条）. 复杂塞曼效应：将电子放入较弱外磁场中

49、（考虑电子自旋与轨道相互作用），观察到谱线发生分裂（偶数条）. （二）电子的自旋算符和自旋函数1. 自旋算符?S: 对易关系：?SSi S本征值：由于?S在空间任意方向上的投影只能取两个数值2，故?,xyS S 和?zS 三个算符的本征值均为2，即有：222222344xyzSSSS令22(s 1)Ss得：12ss称为自旋量子数 . 引入泡利算符?（?2S）对易关系：?2,ii反对易关系：?,0因此有 : ? ? ? ?xyzyzxzxyiii本征值：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 37 页量子力学?,xy和

50、?z三个算符的本征值均为1，即有：222211xyz算符?,xyS S 和?zS 及 ?,xy和 ?z在zS 表象下的矩阵：01010?10001222xyziSSSi01010?10001xyzii泡利矩阵2. 电子的自旋波函数考虑电子自旋时，电子的波函数表示为：( , , , )zx y z s t又2zs，故：1122( , , )( , , )2( , , , )( , , , )2x y z tx y ztx y z tx y zt于是：12，规定第一行对应于2zs，第二行对应于2zs. .A电子处于2zs（自旋向上）的态时，波函数为：1120; .B电子处于2zs（自旋向下）的态时

51、，波函数为：1220. 若为归一化波函数，则：221?*121221ddd波函数的概率密度是：22?12( , , , )x y z t令: 221122( , , , )( , , )x y z tx y z t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 37 页量子力学则：1( , , , )x y z t 和2( , , , )x y z t分别表示t时刻在点( , , )x y z周围单位体积内找到自旋2zs和自旋2zs的电子的概率 .当不考虑自旋与轨道相互作用时，电子的波函数可表示为：1( , , , )( , ,

52、 , )()zzx y z s tx y z ts式中()zs是描写电子自旋状态的自旋函数（或称自旋波函数），自旋算符仅对波函数中的自旋函数()zs有作用 .在zS 表象中：自旋函数1210是?zS 的本征函数，所属（对应）本征值是2；自旋函数1201是?zS 的本征函数，所属（对应）本征值是2. 且这两个本征函数相互正交：?112201001问题：1. 在zS 表象中，在自旋态1112中的可能测值为2和2，相应的概率为12和12. 解析：自旋态为1112故可表示为110111101222，因此它为12和12的线性叠加，故其测量值可能为2和2，相应的概率为12和12. （考查态叠加原理及自旋

53、函数）2. 电子自旋角动量的各分量在zS 表象中的矩阵01102xS、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 37 页量子力学002yiSi、10012zS.3. 在Q表象中，0110F，则其本征值为1 .解析：由0110F得：久期方程1011（三）两个角动量的耦合以12?,JJ表示体系的两个角动量算符且12?,JJ相互独立则有 : 11122212? ?,0JJi JJJi JJJ令：12?JJJ称为体系总角动量，且有：22222221212?,0,0,0,0,0zzJJi JJJJJJ

54、JJJJJ由上述讨论可知：（1）算符221122?,zzJJJJ两两相互对易，故它们有一组共同的本征矢（本征函数）1122,j mjm构成完全系，其中1122,j mjm为与这些算符对应的量子数. 即有：221111111111111?,(1),?,zJj mjjj mJj mmjm和222212222222122?,(1),?,zJjmjjjmJjmmjm且：11221122,j mjmjm jm以1122,jmjm作为为基矢的表象称为无耦合表象 . （2）算符22212? ? ?,zJJJ J两两相互对易，它们有共同的本征矢12,j m jj构成完全系，其中12,j m jj为与这些算符

55、对应的量子数，即有：2212121212?,(1),?,zJj m jjj jj m jjJj m jjmj m jj和221121112222122212?,(1),?,(1),Jj m jjjjj m jjJj m jjjjj m jj12,j m jj构成正交归一完全系，以它们为基矢的表象称为耦合表象 . 且有：12maxjjj，12mmmm可取1221j,j,j,j, j,j共21j个值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 37 页量子力学将12,j m jj按完全系1122,j m jm展开：12121

56、122112212,m mj m jjj m jmj m jmj m jj系数：112212,jmjmj m jj称为矢量耦合系数或克莱布希高登系数. 又12mmm故：2121222122212,mj m jjj mmjmj mmjmj m jj（四）全同粒子全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子. 全同性原理：全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变，这个论断被称为全同性原理，量子力学基本原理之一 . 费米子：电子、质子、中子等自旋为2或2奇数倍的粒子 . （费米子所组成的全同粒子体系的波函数是反对称的. ）波色子：光子（自旋为1）、处于基态的氦

57、原子（自旋为零）、粒子（自旋为零）以及其它自旋为零或的整数倍的粒子 . （波色子所组成的全同粒子体系的波函数是对称的. ）（五）两个电子的自旋函数设体系的哈密顿算符不含电子自旋相互作用项，则两电子自旋函数12zzs ,s是每个电子自旋函数zs之积：1212121212zzzzs ,sss,式中12zzs ,s 依次是第一个电子和第二个电子的自旋z 分量. 用12zzs ,s可以构成两电子的对称自旋函数S和反对称自旋函数A，它们是2(,)zss的共同本征函数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34

58、页，共 37 页量子力学(1)111222(2)111222(3)1112121122221112121122221,11, 111,0210,02SzzSzzSzzzzAzzzzssssssssssss注：此处用到两个角动量的耦合：设第一个电子和第二个电子的自旋角动量平方算符与自旋角动量z 分量算符依次为221122?,zzSSSS 对应的量子数依次为1212,sss ms m . 且有：1212ss121,2ssmm于是总自旋量子数：12121,0ssssss即：0,1s总自旋角动量在 z 方向投影对应量子数sm 满足：12,1,2,2,1,ssssmmmmssssss且：于是有：

59、12112212112211211221011221121122001122ssssssssssssssmmmmsmmmmmmmsmmm（）（或）（）（或）问题：已知由两个电子组成的全同粒子体系的波函数的空间部分是反对称的，写出其所有可能的自旋波函数. 解：由于电子是费米子，故体系的波函数是反对称的; 又体系的波函数的空间部分是反对称的，故体系的自旋波函数必须是对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 37 页量子力学的，因此有：11121211222210,02Azzzzssss即为所求 . 注：若体系的波函数的

60、空间部分是对称的，则自旋波函数必须是反对称的，故有：(1)111222(2)111222(3)1112121122221,11, 111,02SzzSzzSzzzzssssssss为所求波函数，1,11,11, 11,11,01,00,00,0sssssmsmsmsm对应量子数对应量子数对应量子数对应量子数习题：设氢原子的状态是211121101( )( , )23( )( , )2Rr YRr Y求：（1）轨道角动量 z 分量?zL 和自旋角动量 z分量?zS 的期望值（2）总磁矩?()2eeMLSSImm的 z 分量的平均值（用玻尔磁子表示）. 解：21112111211021101( )

61、( , )10132( )( , )( )( , )01223( )( , )2Rr YRr YRr YRr Y故（1）轨道角动量 z 分量?zL 的期望值为 : 221310224zL自旋角动量 z 分量?zS 的期望值为 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 37 页量子力学221322224zS（2）总磁矩?2eeMLSmm的 z分量的平均值为：212444 211()44zzzBBeeMLSmmeeemmmM或注：由211121101( )( , )23( )( , )2Rr YRr Y12则：1211112111222110121102111( )( , )( )( , )022033( )( , )( )( , )122Rr YRr YRr YRr Y=而由11可得：力学量zL的测量值为1和00对应概率为：21124zL和233024zL同理：2111224zS2133224zS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 37 页

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2022年量子力学知识点小结

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