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1、第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析结构力学学科组结构力学学科组HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY 结构力学结构力学1哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析5-5 5-5 平面等参数单元平面等参数单元对于曲线边界问题，矩形或三角形单元不对于曲线边界问题，矩形或三角形单元不仅精度低，而且必然产生离散误差。如果仅精度低，而且必然产生离散误差。如果通过缩小单元尺寸来改善计算结果，又将通过缩小单元尺寸来改善计算结果，又将使未知量数目剧增。为了提高精度减少未使未知量数目剧增。为了提高精度减少未知量，本节介绍一种工
2、程有限元分析中广知量，本节介绍一种工程有限元分析中广泛应用的泛应用的等参数单元等参数单元 简称简称等参元等参元( (isoparametric element)2哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析等参元的基本思想是：等参元的基本思想是：首先建立规整形状单元首先建立规整形状单元 称为母单元称为母单元( (mother element)的形函数；的形函数；然后然后用母单元形函数和实际单元的结点坐标根据用母单元形函数和实际单元的结点坐标根据坐标映射确定所划分单元的几何形状，这个实际坐标映射确定所划分单元的几何形状，这个实际划分的单元称为划分的单
3、元称为“子单元子单元”(”(mapping element) )； 利用母单元形函数和单元结点位移建立子单元的利用母单元形函数和单元结点位移建立子单元的位移场。位移场。 进而利用势能原理进行一定的数学推导，建进而利用势能原理进行一定的数学推导，建立等参元的单元刚度方程立等参元的单元刚度方程3哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析5-5-1 5-5-1 基本概念基本概念1 1、实际单元几何形状的描述图形变换、实际单元几何形状的描述图形变换以任意四边形为例来说明概念以任意四边形为例来说明概念1(x1,y1)2(x2,y2)3(x3,y3)4(x4
4、,y4)子单元子单元11111234母单元母单元4哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析母单元的形函数母单元的形函数由结点座标映射出与（由结点座标映射出与（ , ）点对应的任意一的）点对应的任意一的（x , y）座标的对应关系）座标的对应关系5哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析子单元内任意一点的座标矩阵子单元内任意一点的座标矩阵结点座标矩阵结点座标矩阵子单元结子单元结点座标矩阵点座标矩阵母子座标间的变换形式矩阵母子座标间的变换形式矩阵母元形函数矩阵母元形函数矩阵6哈尔滨工业大学05结构力
5、学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析由此得到结论由此得到结论1、由母元形函数性质可知，母元结点座标通过、由母元形函数性质可知，母元结点座标通过映射可得到子单元结点直角坐标；映射可得到子单元结点直角坐标；2、母元中的某条座标线通过映射可得到子单元、母元中的某条座标线通过映射可得到子单元中的一条斜直线；中的一条斜直线；3、母元中正交座标轴映射的子单元的一个斜角、母元中正交座标轴映射的子单元的一个斜角座标系座标系 。斜角座标系是固定于子单元的。斜角座标系是固定于子单元的局部座标系，而子单元的另一座标系局部座标系，而子单元的另一座标系 是是整体座标系。整体座标系。7哈尔滨
6、工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析4、母元形函数确定是关键，通过它可映射得到、母元形函数确定是关键，通过它可映射得到多个实际子单元；多个实际子单元；5、由于母元的直线边界映射得到子元直线边界，、由于母元的直线边界映射得到子元直线边界，因此两个子单元间能保证位移连续，不产生分因此两个子单元间能保证位移连续，不产生分离或重叠。离或重叠。8哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析座标（座标（ ， ）既是的直角坐标，又是子单元）既是的直角坐标，又是子单元的斜角座标，因此可用母元形函数建立子单元的斜角座标
7、，因此可用母元形函数建立子单元的位移场。的位移场。2 2、建立单元位移场、建立单元位移场9哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析1 1 子单元位移场与母单元的位移场是一样的，子单元位移场与母单元的位移场是一样的，但子单元的位移场是以斜角但子单元的位移场是以斜角( (或曲线或曲线) )坐标表达的，坐标表达的，而母单元的位移场是以正则坐标表达的。因此，而母单元的位移场是以正则坐标表达的。因此，子单元的位移分布与母单元的位移分布即使在结子单元的位移分布与母单元的位移分布即使在结点位移相同的情况下也可能是不同的。点位移相同的情况下也可能是不同的。3
8、3、几点说明、几点说明2 2、座标场和位移场它们是相似的，因为使用相、座标场和位移场它们是相似的，因为使用相同的形函数构造的，并且用相同个数的结点参数同的形函数构造的，并且用相同个数的结点参数( (结点位移和结点坐标结点位移和结点坐标) )来描述，因此称这类单元来描述，因此称这类单元为等参数单元。由此定义可见，等参元分析的关为等参数单元。由此定义可见，等参元分析的关健在于建立各种结点数量时母单元的形函数。健在于建立各种结点数量时母单元的形函数。10哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析3 3、若由结点坐标插值构造单元几何形状所用的、若由结点坐
9、标插值构造单元几何形状所用的形函数比由结点位移插值构造单元位移场的形形函数比由结点位移插值构造单元位移场的形函数阶次低，并且所用结点参数个数少，则称函数阶次低，并且所用结点参数个数少，则称为亚参元；反之，若阶次高，结点个数多，则为亚参元；反之，若阶次高，结点个数多，则称为超参元。称为超参元。11哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析4 4、两类座标系之间导数的变换关系、两类座标系之间导数的变换关系12哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析由由13哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章
10、第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析雅克比矩阵雅克比矩阵14哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析5-5-2 5-5-2 几种常用单元描述和位移模式几种常用单元描述和位移模式1 1、8 8结点四边形等参元结点四边形等参元123456781526378415哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析 母单元的形函数母单元的形函数（1 1）直接试凑）直接试凑由本点为由本点为1 1 的性质得的性质得其它形函数如法炮制其它形函数如法炮制16哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平
11、面问题有限元分析平面问题有限元分析（1 1）统一方法）统一方法1 1、由形函数的性质。用直接试凑法建立边界上、由形函数的性质。用直接试凑法建立边界上新增结点的形函数新增结点的形函数由低阶母元形函数生成高阶母元形函数由低阶母元形函数生成高阶母元形函数17哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析2 2、计算低阶母元形函数在新增结点处的值。、计算低阶母元形函数在新增结点处的值。18哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析3 3、对低阶母元角顶结点形函数进行、对低阶母元角顶结点形函数进行“它点为零它点为
12、零”的修正。的修正。19哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析 图形变换图形变换 位移场位移场20哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析1 1、6 6结点三角形等参元结点三角形等参元152634152634L2 = 0L1 = 0L11/2 = 0L21/2 = 021哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析 母元形函数母元形函数角结点角结点 边中点边中点 22哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有
13、限元分析 图形变换图形变换 位移场位移场23哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析5-5-3 5-5-3 等参单元特性分析等参单元特性分析1 1、分析的基础、分析的基础 单元应变场单元应变场24哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析25哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析 单元应力场单元应力场26哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析 单元总势能单元总势能27哈尔滨工业大学05结构力学平
14、面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析2 2、微分量的计算、微分量的计算 dA 的计算的计算28哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析 dL 的计算的计算在边界在边界123456781526378429哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析在结点上在结点上30哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析31哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析3 3、单元刚度特性公式、单
15、元刚度特性公式 正方形母单元正方形母单元32哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析33哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析 三角形母单元三角形母单元34哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析152634积分线要积分线要有所改变有所改变35哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析对于边界表面力的等效荷载的微分弧长应视不同边对于边界表面力的等效荷载的微分弧长应视不同边界而异界而异36哈尔滨工业
16、大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析37哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析5-5-4 5-5-4 数值积分数值积分等参元的单元刚度矩阵和等效结点荷载的计算公等参元的单元刚度矩阵和等效结点荷载的计算公式中被积函数是十分复杂的，很难用精确积分得式中被积函数是十分复杂的，很难用精确积分得到显式到显式( (解析解析) )积分结果。因而要采用数值积分方积分结果。因而要采用数值积分方法，即在单元内选出某些点法，即在单元内选出某些点( (称为积分点称为积分点) )，算出，算出被积函数在这些点处的值，再分别乘以
17、权系数，被积函数在这些点处的值，再分别乘以权系数，然后以求其和作为积分的近似值。然后以求其和作为积分的近似值。数值积分方法很多，在有限元分析中通常采用高数值积分方法很多，在有限元分析中通常采用高斯积分法，因为它可以用较少的积分点达到较高斯积分法，因为它可以用较少的积分点达到较高的精度，从而可以节省计算时间。的精度，从而可以节省计算时间。38哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析1 1、一维高斯积分、一维高斯积分高斯积分点的座标高斯积分点的座标高斯积分点的加权系数高斯积分点的加权系数高斯积分点的函数值高斯积分点的函数值39哈尔滨工业大学05结构
18、力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析2 2、二维高斯积分、二维高斯积分方形域方形域三角域三角域40哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析5-5-5 5-5-5 注意事项注意事项1 1、Jacobi行列式等于零，将使等参元分析失效。行列式等于零，将使等参元分析失效。 经经 映射的单元边界发生严重扭曲。映射的单元边界发生严重扭曲。 正方形母单元映射成三角单元。正方形母单元映射成三角单元。 某角点处映射后单元边界的切线夹角接某角点处映射后单元边界的切线夹角接近近180180 。导致导致Jacobi行列式等于零的可能原
19、因：行列式等于零的可能原因：41哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析结构离散过程中避免出现单元过分畸形结构离散过程中避免出现单元过分畸形避免出现避免出现Jacobi行列式等于零的措施：行列式等于零的措施：边界单元边界单元过分畸形过分畸形退化成退化成三角形三角形角点切线夹角点切线夹角接近角接近18018042哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析3 3、根据变换、根据变换 可知母单元中的点在子可知母单元中的点在子单元中的位置。但无法从子单元中的点确定单元中的位置。但无法从子单元中的点确定其在
20、母单元中的位置。其在母单元中的位置。2 2、母单元中边点是等距离分布的，在子单元划、母单元中边点是等距离分布的，在子单元划分确定边线结点位置时也应尽量等距离分布分确定边线结点位置时也应尽量等距离分布4 4、当子单元网格划分的边界结点位于两角点连接、当子单元网格划分的边界结点位于两角点连接线上时，映射后子单元的此边界将为一直线。线上时，映射后子单元的此边界将为一直线。但沿边界所求得的位移并不一定是线性变化的但沿边界所求得的位移并不一定是线性变化的（因为结点位移并不一定在一条直线上）。（因为结点位移并不一定在一条直线上）。43哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析
21、平面问题有限元分析5-5-6 5-5-6 计算实例计算实例见见130页例题页例题44哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析5-5-7 5-5-7 二维和三维计算程序简要说明二维和三维计算程序简要说明阅读光盘介绍阅读光盘介绍45哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析5-6 5-6 Wilson非协调元非协调元*理论和计算经验表明，单元的计算精度取决于单理论和计算经验表明，单元的计算精度取决于单元位移模式中所包含的完全多项式的次数，而非元位移模式中所包含的完全多项式的次数，而非完全的高次项一般不
22、能提高精度。完全的高次项一般不能提高精度。Wison E提出一种构造非协调元的方法，对提高等提出一种构造非协调元的方法，对提高等参元计算精度和计算效率很有指导意义。参元计算精度和计算效率很有指导意义。46哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析5-6-1 5-6-1 双线性单元计算纯弯曲问题误差双线性单元计算纯弯曲问题误差考察受纯弯曲作用单元考察受纯弯曲作用单元 精确解精确解反映了反映了纯弯曲纯弯曲应力应力47哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析采用双线性单元，其位移解采用双线性单元，其位移
23、解 应力解应力解不是纯不是纯弯曲应弯曲应力力导致误差的导致误差的原因是位移原因是位移模式中缺少模式中缺少x2和和y2项项48哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析5-6-2 5-6-2 Wilson非协调元非协调元为提高精度，为提高精度，Wilson提出在位移场中附加内部无提出在位移场中附加内部无结点的位移项结点的位移项附加位移参数向附加位移参数向量，是单元内部量，是单元内部自由度自由度49哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析50哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问
24、题有限元分析平面问题有限元分析消去单元内部自由度消去单元内部自由度经过凝聚处理的这种非协调元精度有显著提高。经过凝聚处理的这种非协调元精度有显著提高。51哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析5-6-3 5-6-3 Wilson非协调元的收敛性非协调元的收敛性不同单元的位移参数不同单元的位移参数 是不同的，因此这种是不同的，因此这种单元的位移是不协调的，其收敛性不能得到保单元的位移是不协调的，其收敛性不能得到保证。可是已经证明非协调元满足一定条件下，证。可是已经证明非协调元满足一定条件下，结果是收敛的。结果是收敛的。由于由于 在在 和和 边界
25、上分别为：边界上分别为：52哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析1 1 当网格划分是矩形或是平行四边形单元时当网格划分是矩形或是平行四边形单元时( (此此时时| J |为常数为常数) )，非协调位移在单元尺寸不断，非协调位移在单元尺寸不断减小时协调性能得到改善，能保证趋于常应减小时协调性能得到改善，能保证趋于常应变状态，因此分析是收敛的。变状态，因此分析是收敛的。2 2 对任意的四边形划分，对任意的四边形划分，Wilson指出，以指出，以 0（单元中心点）的（单元中心点）的Jacobi矩阵矩阵 值作为整值作为整个单元各点的个单元各点的J 矩
26、阵，在此条件下计算单刚，矩阵，在此条件下计算单刚，则用非协调元也是收敛的。则用非协调元也是收敛的。一些结论53哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析5-7 5-7 结论与讨论结论与讨论5-7-1 5-7-1 几点结论几点结论 三角形和矩形单元及等参元都是协调元，理三角形和矩形单元及等参元都是协调元，理论分析和算例都表明，协调元一定收敛，非论分析和算例都表明，协调元一定收敛，非协调元满足一定条件也是收敛的，而且有时协调元满足一定条件也是收敛的，而且有时收敛的速度更快。收敛的速度更快。 三角形单元用面积座标描述较简便，而四边三角形单元用面积座标描
27、述较简便，而四边形单元用正则座标描述，公式统一简便。形单元用正则座标描述，公式统一简便。54哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析 等参元可以是曲边单元，同样也可分为两大类，等参元可以是曲边单元，同样也可分为两大类，即三角形类和四边形类，选什么样的单元作母单即三角形类和四边形类，选什么样的单元作母单元即产生什么样的等参元。正则母单元的形函数元即产生什么样的等参元。正则母单元的形函数是构造等参元的必备条件。是构造等参元的必备条件。 母单元的形函数，可用试凑法或统一法由低阶母单元的形函数，可用试凑法或统一法由低阶( (常应变三角形和双线性矩形常应
28、变三角形和双线性矩形) )单元的形函数来得单元的形函数来得到。对于书上已介绍之外更高阶的母单元形函数，到。对于书上已介绍之外更高阶的母单元形函数，直接试凑可能遇到困难，而按统一方法虽然稍麻直接试凑可能遇到困难，而按统一方法虽然稍麻烦些但不会有任何困难。烦些但不会有任何困难。55哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析 等参元单元刚度矩阵和等效荷载计算公式中被等参元单元刚度矩阵和等效荷载计算公式中被积函数都十分复杂，一般只能采用数值积分方积函数都十分复杂，一般只能采用数值积分方法获得近似积分结果。法获得近似积分结果。 等参元等参元( (子单元子单
29、元) )几何形状、位移模式都是由几何形状、位移模式都是由对应的母单元形函数插值构造的。母单元的点对应的母单元形函数插值构造的。母单元的点对应子单元点。但由子单元指定点一般不可能对应子单元点。但由子单元指定点一般不可能求得母元对应的点。求得母元对应的点。 等参元当等参元当detJ=0时将失效，因此在离散化时时将失效，因此在离散化时要注意避免出现要注意避免出现detJ=0的一些情况。的一些情况。56哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析5-7-2 5-7-2 几点讨论几点讨论 协调的单元其位移解答一般都小于精确解协调的单元其位移解答一般都小于精确
30、解( (真真实解答实解答) )，也即协调单元的刚度比实际值大。，也即协调单元的刚度比实际值大。请考虑为什么请考虑为什么?(?(提示：所设位移模式一般并提示：所设位移模式一般并非实际位移。非实际位移。) ) 完备而非协调的单元可能是收敛的，请同学完备而非协调的单元可能是收敛的，请同学们考虑，整体分析保证结点平衡，当单元变们考虑，整体分析保证结点平衡，当单元变小小( (结点增多结点增多) )时，显然平衡的点增加，单元时，显然平衡的点增加，单元趋于零时物体每一点都趋于平衡。那么从解趋于零时物体每一点都趋于平衡。那么从解答的唯一性考虑，非协调元应满足什么样的答的唯一性考虑，非协调元应满足什么样的条件才是收敛的呢条件才是收敛的呢? ?57哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析 和常应变三角形单元和矩形双线性单元对应，和常应变三角形单元和矩形双线性单元对应，作三维物体有限元分析时，有作三维物体有限元分析时，有4 4结点常应变四结点常应变四面体单元和面体单元和8 8结点的长方体单元。建议自行建结点的长方体单元。建议自行建立形函数，并导出单元刚度矩阵。立形函数，并导出单元刚度矩阵。End58哈尔滨工业大学05结构力学平面有限元课件
