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1、1 指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点 1：指数函数函数(01)xyaaa且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R知识点 2：指数函数的图像和性质知识点 3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图所示，则01cdab，在y轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，在y轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大即无论在y轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内， “底大图高”知识点 4：指数式、指数函数的理解 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算精选学习资料 - - - - - - - - -
2、 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页2 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像1222 3 ,3,21xxxyyxyy等函数均不符合形式01xyaaa且，因此，它们都不是指数函数 画指数函数xya的图像，应抓住三个关键点：11, 0,1 ,1,aa二、同步题型分析题型 1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例 1：已知函数，且（ 1）求 m 的值；（
3、2）判定 f（x）的奇偶性；（ 3）判断 f（x）在（ 0，+）上的单调性，并给予证明考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明专题：计算题分析：（ 1）欲求 m 的值，只须根据f（4）=的值，当x=4 时代入 f（x）解一个指数方程即可；（ 2）求出函数的定义域x|x 0 ，利用奇偶性的定义判断f（x）与 f（ x）的关系，即可得到答案；（ 3）利用单调性的定义证明即可任取0 x1x2，只要证明f（ x1） f（x2） ，即可解答：解： （1）因为，所以，所以 m=1（ 2）因为 f（x）的定义域为x|x 0 ，又，所以 f（ x）是奇函数（3）任取x1x20，则，因
4、为 x1x2 0，所以，所以 f（x1） f（x2） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页3 所以 f（ x）在（ 0，+）上为单调增函数点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题例 2：已知函数，（ 1）讨论函数的奇偶性；（ 2）证明： f（x） 0考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质专题：计算题分析：（ 1）由 2x10 解得义域为 x|x 0 ，关于原点对称 f（x）=
5、（） （ x）= （）x=f （x） ，故该函数为偶函数（ 2 ） 任 取xx|x 0 ， 当x 0时 ， 2x 20=1且x 0 ， 故， 从 而当 x0 时， x0，故 f（ x） 0，由函数为偶函数，能证明f（ x） 0 在定义域上恒成立解答：解： （1）该函数为偶函数由 2x10 解得 x0 即义域为 x|x 0 关于原点对称（2 分）f（ x）=（） （ x） =（+）x=（）x=（）x=（）x=f （x） （6 分）故该函数为偶函数（7 分）（ 2）证明：任取xx|x 0当 x 0 时， 2x20=1 且 x0， 2x 10，故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
6、归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页4 从而（ 11 分）当 x 0 时， x0，f （ x） 0，（12 分）又因为函数为偶函数，f （x）=f（ x） 0， （13 分）f （x） 0 在定义域上恒成立（14 分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）0解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用例 3：已知函数y=ax（a 0 且 a1 ）在 1，2上的最大值与最小值之和为20，记（ 1）求 a的值；（ 2）求 f（x）+f（1x）的值；（ 3）求的值考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域专题：综合题；函数的性质及应用分析：（ 1）由 y=ax 单调得
7、 a+a2=20，由此可求a；（ 2）写出 f（x） ，代入运算可得；（ 3）借助（ 2）问结论分n 为奇数、偶数讨论可求；解答：解： （1）函数 y=ax（a0 且 a1 ）在 1，2上的最大值与最小值之和为20，且 y=ax 单调， a+a2=20 ，得 a=4，或 a= 5（舍去）；（ 2）由（ 1）知，=1；（ 3）由（ 2）知 f（x）+f（1x）=1，得n 为奇数时，= 1=；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页5 n 为偶数时，=+f（）=；综上，=点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题题
8、型 2：指数函数的图像变换例 1：已知函数y=|2x2|（ 1）作出其图象；（ 2）由图象指出函数的单调区间；（ 3）由图象指出当x 取何值时，函数有最值，并求出最值考点：指数函数的图像变换专题：综合题；函数的性质及应用分析：（ 1）函数 y=|2x2|图象是由y=2x 的图象向下平移2 个单位， 再将 x 轴下方的部分翻着到x 轴上方得到（ 2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间（ 3）数形结合可得，当x=1 时， ymiin=0 解答：解： （1）函数 y=|2x2|图象是由y=2x 的图象向下平移2 个单位，再将x 轴下方的部分翻着到x 轴上方得到，如图所示：（ 2）结合函数的图象
9、，可得函数的减区间为（ ，1，增区间为（1，+） （ 3）数形结合可得，当x=1 时， ymiin=0 点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页6 题型 3：指数函数单调性例 1：已知函数f（x）=a?2x+b?3x，其中常数a，b 满足 a?b0（ 1）若 a?b 0，判断函数f（x）的单调性；（ 2）若 a=3b，求 f（x+1） f（x）时的 x 的取值范围考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质专题：函
10、数的性质及应用分析：（ 1）分 a0，b0 和 a0，b0 两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（ 2）当 a=3b 时， f（x）=3b?2x+b?3x=b（3x3?2x） ，分 b0，b0 两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解： （1）当 a0，b 0 时，任意 x1，x2R ，且 x1x2，则 f（x1） f（x2） =a（）+b（） ，a0，b0，a （） 0，b（） 0，f （x1） f（x2） 0，即 f（x1） f（x2） ，故函数 f（x）在 R 上是增函数；当 a 0，b0 时，同理，可判断函数f（x）在 R 上是减函数；（ 2）当 a=3b 时， f
11、（x）=3b?2x+b?3x=b（ 3x3?2x） ，则 f（x+1） f（x）即化为 b（3x+13?2x+1） b（3x3?2x） ，若 b 0，则有 3x+13?2x+13x3?2x，整理得，解得 x1；若 b 0，则有 3x+13?2x+13x3?2x，整理得，解得 x1；故 b 0 时， x 的范围是x1；当 b0 时， x 的范围是x1点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题例 2：已知定义在（1，1）上的奇函数f（ x） 在 x（ 1，0）时， f（x）=2x+2 x（ 1）试求 f（x）的表达式；（ 2）用定义证明f（x）在（ 1，0）
12、上是减函数；（ 3）若对于x（0，1）上的每一个值，不等式t?2x?f（ x） 4x1 恒成立，求实数t 的取值范围考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合专题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页7 计算题；函数的性质及应用分析：（ 1）由 f（x）是定义在（1， 1）上的奇函数可得f（0）=0，x（0，1）时， f（x）=f（ x）=（ 2x+2x） ；从而写出f（x）的表达式；（ 2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（ 3）对于 x（0，1）上的每一个值，不等式t?2x?f（x） 4x1 恒成立转化为对于
13、x（0，1）上的每一个值，不等式t恒成立，从而可得解答：解： （1）f （x）是定义在（1，1）上的奇函数，f （0）=0，设 （ 0，1） ，则 x（ 1，0） ，则f（x）= f（ x）=（ 2x+2x） ，故 f（x）=；（ 2）任取 x1，x2（ 1，0） ，且 x1x2，则 f（x1） f（x2）=+（+）=， x1 x20，0， 01，故 f（x1） f（x2） 0，故 f（x）在（ 1，0）上是减函数；（ 3）由题意， t?2x?f（x） 4x1 可化为t?2x?（ 2x+2 x） ） 4x1，化简可得， t，令 g（ x）=1+， x （0， 1） ，g （x） 1+=0，故对
14、于 x（0，1）上的每一个值，不等式t?2x?f（x） 4x1 恒成立可化为t 0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页8 点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题例 3：已知函数f（x）=|2x1 1|， （xR） （ 1）证明：函数f（x）在区间（ 1，+）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（ ， 1）上的单调性；（ 2）若函数f（ x）的图象与直线y=t 有两个不同的交点A（m，t） ，B（n，t） ，其中 mn，求 m+n的取值范围考点：指数函数综合题专题：计算题；证明题分析：（
15、1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（ 2）由（ 1）可知，函数的值域为（0， 1） ，要使函数f（x）的图象与直线y=t 有两个不同的交点，故有 t （0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t 有两个不同的交点，所以A（m，t） ， B（n，t）分别位于直线x=1 的两侧，由mn，得 m 1n，故可以求出m+n，进而由t （0，1） ，可求 m+n 的取值范围解答：解 ：（1 ） 证 明 ： 任 取x1 （1 ， + ），x2 （ 1 ， + ），且x1 x2 ，=，x1x2， ，f （x1） f（x
16、2） 所以 f（ x）在区间（ 1， +）上为增函数 （5 分）函数 f（ x）在区间（ ，1）上为减函数 （6 分）（ 2）因为函数f（x）在区间（ 1，+）上为增函数，相应的函数值为（0，+） ，在区间（ ，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1） ，由题意函数f（x）的图象与直线y=t 有两个不同的交点，故有 t （0，1） ， （8 分）易知 A（m，t） ，B（n，t）分别位于直线x=1 的两侧，由mn，得 m1 n，故 2m110， 2n 110，又 A，B 两点的坐标满足方程t=|2x 11|，故得t=1 2m1，t=2n11，即 m=log2（ 22t） ，n=log2（2+2
17、t） ， （12 分）故 m+n=log2 （22t）+log2（2+2t）=log2（44t2） ，当 0 t1 时， 044t24， log2（44t2） 2因此， m+n 的取值范围为（ ，2） （17 分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页9 三、课堂达标检测检测题 1：已知函数f（x）=（其中 e=2.71828是一个无理数） （ 1）求函数
18、f（ x）的定义域；（ 2）判断奇偶性并证明之；（ 3）判断单调性并证明之考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断专题：计算题；证明题分析：（ 1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数（ 2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（ x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数（ 3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系
19、解答：解： f（x）=1（ 1）e2x+1恒大于零， xR（ 2）函数是奇函数f （ x）=又由上一问知函数的定义域关于原点对称，f （x）为奇函数（ 3）是一个单调递增函数设 x1，x2R 且 x1x2则 f（x1） f（x2）=1= x1 x2，f （x1） f（x2） 0即 f（x1） f（x2）f （x）在 R 是单调增函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页10点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目检测题 2：已知函数f（x）=
20、2ax+2（a为常数）（ 1）求函数f（ x）的定义域（ 2）若 a=1， x（1，2，求函数f（x）的值域（ 3）若 f（x）为减函数，求实数a 的取值范围考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点专题：常规题型；转化思想分析：（ 1）利用指数函数的定义域来考虑（ 2）利用函数f（x）在（ 1，2上的单调性求函数的值域（ 3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2 必须为减函数解答：解： （1）函数 y=2ax+2 对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R（ 2）因为 a=1，所以 f（x） =2x+2易知此时f（x）为增函数又因为 1x2 ，所以 f（1） f（x
21、）f（2） ，即 8 f（x）16 所以函数f（x）的值域为（8，16（ 3）因为 f（x）为减函数，而y=2u 是增函数，所以函数u=ax+2 必须为减函数所以得a 0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想检测题 3：设 f（x）的定义域是（ ，0） （0，+） ，且 f（x）对任意不为零的实数x 都满足 f（x）=f（ x） 已知当 x0 时（ 1）求当 x 0 时， f（x）的解析式（2）解不等式考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质专题：常规题型分析：（ 1）求当x0 时， f（ x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在
22、哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（ x）=f（x）解出 f（x）即可（ 2）解不等式f（x），分 x0 和 x0 两种情况，根据求得的解析式求解即可解答：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页11解： （1）当 x0 时， x0，=又 f（ x）=f（x）所以，当x0 时，（ 2）x0 时，化简得 ，解得 1 2x40 x2当 x 0 时，解得 2x1（舍去）或x 2解集为 x|x 2 或 0x2点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来解不等式也要分段求解，注意x 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
