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1、学习好资料欢迎下载二元一次方程组讲义题型一：二元一次方程（组）的概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1 的方程。注意： 满足的四个条件：1、都是整式方程；2、只含有两个未知数；3、未知数的项最高次数都是一次；4、含有未知数的项的系数不为0. 二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组。注意： 1）满足的三个条件：1、每个方程都是一次方程；2、方程组具有两个未知数；3、每个方程均为整式方程。 2）方程组的各个方程中，相同字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起，组成方程组。二元一次方程：例 1、下列方程xx263，3xy，42xy
2、，yyx2410，21yx，532xyx，03zyx，1332yx中，二元一次方程有个。例 2、方程14xyax是二元一次方程，则a的取值范围为. 例 3、已知方程132mymmx是关于yx,的二元一次方程，则m的取值范围是. 例 4.若关于 x，y 的方程021nmyx是二元一次方程，则nm的和为. 例 5、若1342bayx是关于 x，y 的二元一次方程，其中3ba，则ba二元一次方程组：例 1、下列方程组中，二元一次方程组的个数是. （1）21122yxyx； （2）211yxyx； （3）211yxxy； （4）01xyx； （5）2111yxyx； （ 6）212zyyx；（7）91
3、14yxyx； （8）1yxxyyx.； （9）2312yyxxyx例 5、若方程组43332bayxxycx是关于yx,的二元一次方程组，则代数式cba的值是题型二：二元一次方程（组）的解的概念精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习好资料欢迎下载二元一次方程: 注意： 1) 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值；2）二元一次方程的解使方程左右两边相等； 3）一般情况下，一个二元一次方程有无数多组解，但并不是说任意一对数值都是它的解，当对解有限制条件时，二元一次方程的解的个数为有限个。二元一次方程组
4、：注意： 1）二元一次方程组的解满足方程中的每一个方程；2）二元一次方程组需用大括号“”表示，方程组的解也要用大括号“”表示； 3）一般常见的二元一次方程组有唯一解，但有的方程组有无数多组解，如422yxyx，有的方程组无解，如63yxyx. 例 1、若22yx是二元一次方程3byax的一个解，则1ba. 例 2、如果nymx是方程02yx的一个解（0m） ，那么（）A、 m 0，n=0 B、m，n 异号C、m，n 同号D、m，n 可能同号，也可能异号例 3、方程组8332yxyx和42byaxbyax同解，求ba、的值。例 4、已知12yx是二元一次方程组18mynxnymx的解，则nm2的
5、算术平方根为. 例 5、若byax是方程 2x+y=0 的解，则236ba. 例 6、已知12yx是二元一次方程组17byaxbyax的解，则ba的值为. 例 7、关于 x，y 的二元一次方程02521ayaxa，当a取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是. 题型三：解多元一次方程（组）的问题解二元一次方程组的方法：代入消元法；加减消元法，整体思想（整体代入法；整体加减法）；换元法、分类讨论法。二元一次方程：例 1、 （2011?柳州）把方程32yx改写成用含x的式子表示y的形式，得y. 例 2、 （2003?黑龙江）写出满足方程92yx的一对整数值. 例 3
6、、二元一次方程103yx的非负整数解共有对精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习好资料欢迎下载例 4、方程731yx的整数解有对. 例 5、方程204yx的非负整数解有. A、 4 组B、5 组C、6 组D、无数组例 6、若0034xyx且，则yxyx5454. 二元一次方程组：例 1、 （2011?淄博）由方程组mymx36可得出x与y的关系式是. 1）代入消元法例 2、 （2011?肇庆）方程组422yxyx的解是. 例 3、 （2011?台湾）若二元一次联立方程式7242yxyx的解为byax,，则ba的值为
7、. 例 4、 （2011?曲靖）方程12yx和72yx的公共解是. 例 5、 用 “代入消元法” 解方程组256624yxyx时，可先将第方程（填序号即可） 变形为，然后再代入例 6、用代入消元法解下列方程组：(1)172305yxyx；（2）4522213yxyxyxx；（3）14766 .0532.0yxyx；（4）82302yxyx（5）15243yxyx. 2）加减消元法：例 1、用加减消元法解下列方程组：（1）42651043yxyx； (2)2832232yxyx；（3）3431332nmnm3）整体思想：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
8、- - - -第 3 页，共 12 页学习好资料欢迎下载例 1、解下列方程组：（1）665537yxyx；（2）400110112358120000yxyxx. 例 2、解下列方程组：（1）151617171819yxyx； (2)602920092011603120112009yxyx例 3、已知方程组521845nmnm的解是34nm，求方程组5232182435yxyx的解。例 4、已知方程组：9.30531332baba的解是：2.13.8ba，则方程组：9.301523131322yxyx的解是. 4）换元法：例 1、解下列方程组：（1）152223510523234yxyxyxyx
9、5）分类讨论法：例 1、若x、y是两个实数，且12yxyyxx，则xyyx等于. 例 2、方程组612yxyx的解的个数为. 例 3、若关于x，y的方程组0201aybxayx没有实数解，则. 三元一次方程组：例 1、已知方程组632yxyx的解满足方程kyx2，则k. 例 2、已知方程组114332kyxkyx的解yx,满足方程35yx，求k的值 .例 3、如果方程组ayaxyx442的解是方程02853yx的一个解，则a. 例 4、若0241432bccba，则cba:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习好资
10、料欢迎下载例 5、在关于321,xxx的方程组313232121axxaxxaxx中，已知321aaa，那么将321,xxx从大到小排起来应该是题型四：二元一次方程（组）与绝对值、同类项的综合运用例 1、已知05231baa，则ab. 例 2、若022253baba，则abba32的值为. 例 3、方程ayx23的解yx、的值也满足02122yxyx，且0aa，求a的值。例 4、如果31253yxyxmmn与是同类项，那么nm和的取值分别是. 例 5、若32213-4baxyyx与是同类项，则a，b. 例 6、解方程组：1327yxyx题型五：模糊以及抄错题问题例 1、小华不小心将墨水溅在同桌
11、小丽的作业本上，结果二元一次方程组中第一个方程y的系数和第二个方程x的系数看不到了，现在已知小丽的结果是21yx你能由此求出原来的方程组吗？例 2、 甲、 乙两位同学一起解方程组232axbycxy，甲正确地解得11xy，乙仅因抄错了题中的c， 解得26xy，求原方程组中bc，的值例 3、甲乙两人解方程组，24,155byxyax，由于甲看错了方程中的a，而得到方程组的解为; 1,3yx乙看错了方程中的b，而得到的解为.4,5yx假如按正确的ba,计算，求出原方程组的解。例 4、已知方程组2242016ycxbyax的解应为108yx，小明解题时把c 抄错了。 因此得到的解是1312yx，精选
12、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习好资料欢迎下载则222cba的值。题型六：由实际问题抽象出二元一次方程组的问题例 1、 （2011?泰安） 某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了 400 元钱购买甲 乙两种奖品共30 件，其中甲种奖品每件16 元，乙种奖品每件12 元，求甲乙两种各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则可列方程. A、400161230yxyxB、400121630yxyxC、400301612yxyxD、400301216yxyx例 2、 （2011?台湾）在早餐店里
13、，王伯伯买5 颗馒头， 3 颗包子，老板少拿2 元，只要50 元李太太买了11颗馒头， 5 颗包子，老板以售价的九折优待，只要90 元若馒头每颗x元，包子每颗y元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系. A、9.09051125035yxyxB、9.09051125035yxyxC、9.09051125035yxyxD、9 .09051125035yxyx例 3、 （2011?宁夏）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数设个位数字为x，十位数字为y，所列方程组正确的是. A、yxxyyx188B、yxyxy
14、x1018108C、yxyxyx18108D、yxyxyx108例 4、 （2010?宁夏）甲、乙两种商品原来的单价和为100 元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%、若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是. A、000000201100401101100yxyxB、00000020100401101100yxyxC、000000201100401101100yxyxD、00000020100401101100yxyx例 5、 （2010?丹东）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、 （5）班的竞技实力相
15、当，关于比赛结果，甲同学说： （ 1）班与（ 5）班得分比为6：5；乙同学说：（1）班得分比（ 5）班得分的2 倍少 40 分若设（ 1）班得 x分， （ 5）班得y分，根据题意所列的方程组应为. A、40256yxyxB、40256yxyxC、40265yxyxD、40265yxyx例 6、 （2010?长春）端午节时，王老师用72 元钱买了荷包和五彩绳共20 个，其中荷包每个4 元，五彩绳每个3元设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题意，下面列出的方程组正确的是. A、724320yxyxB、723420yxyxC、203472yxyxD、204372yxyx例 7、 （2010?巴中）
16、巴广高速公路在5 月 10 日正式通车，从巴中到广元全长约为126km一辆小汽车，一辆货车同时从巴中，广元两地相向开出，经过45 分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6km，设小汽车和货车的速度分别为xkm/h ，ykm/h，则下列方程组正确的是. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习好资料欢迎下载A、64512645yxyxB、612643yxyxC、64512643yxyxD64312643yxyx例 8、 （2008?株洲）“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题：“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有
17、100 只，几多鸡儿几多兔”解决此问题，设鸡为x只，兔为y只，则所列方程组正确的是. A、100236yxyxB、1002436yxyxC、1004236yxyxD、1002236yxyx例 9、 （2008?台州）四川5.12 大地震后，灾区急需帐篷某企业急灾区所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共 2000 顶，其中甲种帐篷每顶安置6 人，乙种帐篷每顶安置4 人， 共安置 9000 人，设该企业捐助甲种帐篷x顶、乙种帐篷y顶，那么下面列出的方程组中正确的是. A、9000420004yxyxB、9000620004yxyxC、90006420004yxyxD、90004620004yxyx例
18、 10、 （2008?荆门） 用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用x，y 表示矩形的长和宽（yx） ，则下列关系式中不正确的是. A、12yxB、2yxC、35xyD、14422yx例 11、 “甲、乙两数之和为16，甲数的 3 倍等于乙数的5 倍” ，若设甲数为x，乙数为y，则列出方程组：（1）yxyx5316； （2）xyyx3516； （ 3）03516xyyx； （4）3516yxxy中，其中正确的有。A、1 组B、2 组C、3 组D、4 组例 12、现用 190 张铁皮做盒子，每张铁皮做8 个盒身或做22 个盒底，
19、而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为. A、yxyx2282190B、xyyx8222190C、xyxy8221902D、xyxy2281902例 13、已知一组数据1，2，4，2，8，7，它的中位数和众数恰好是一个关于x，y的二元一次方程组的解，则这个二元一次方程组是 （写出符合条件的一个即可）题型七：方程及方程组的应用问题思路导航：应用二元一次方程组解决实际问题关键在于正确找出问题中的两个等量关系，列出方程并组成方程组，同时注意检验解的合理性列方程组解应用题的一般步骤 ：（1）审题： 反复阅读题目， 弄清题意， 明确问题中哪些量是已知量，哪些
20、量是未知量， 弄清题目中的等量关系。（2）找等量关系，设未知数，列出代数式：选择两个未知数，用字母表示，用含有未知数的代数式表示其他的未知数，找出题目中明显的灯亮关系和隐含的等量关系；（3）列方程组：根据题目中的等量关系列出方程，并组成方程组；（4）解方程组：求出未知数的值；（5）检验并作答：检验所得的未知数的值是否合理，然后作答。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习好资料欢迎下载1）工作量问题思路导航：工程问题 . 一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题 . 基本等量关系为：工作量工作
21、效率 工作时间；例 1、某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480 台改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10，乙种机器产量要比第一季度增产20该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？例 2、一批机器零件共840 个，如果甲先做4 天，乙加入合做，那么再做8 天才能完成；如果乙先做4 天，甲加入合做，那么再做9 天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？例 3、重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4 天挖完了这块地的一半。后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1 天就挖完了这块地的另一半。乙型挖土机单独挖这块地需要几天？
22、2）行程问题思路导航：行程问题 . 包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程速度时间；例 1、某学校组织学生到100 千米以外的夏令营去，汽车只能坐一半人，另一半人步行. 先坐车的人在途中某处下车步行，汽车则立即回去接先步行的一半人. 已知步行每小时走4 千米，汽车每小时走20 千米（不计上下车的时间），要使大家下午5 点同时到达，问需何时出发. 例 2、甲、乙两从A 地出发，向同一方向前进，甲步行先走1 小时后，乙骑自行车追赶，当乙骑了2 小时后，乙还在甲的后面1.5 千米处，再走1 小时后，乙在甲的前面2.5 千米处，求甲、乙两人的速度例 3、甲、乙两人分别从相距30 千米的 A、 B
23、两地同时相向而行，经过3 小时后相距3 千米，再经过2 小时，甲到 B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2 倍，求甲、乙两人的速度. 例 4. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50 千米的速度行驶，就会迟到24 分钟；如果他以每小时75 千米的高速行驶，则可提前24 分钟到达乙地，求他以每小时多少千米的速度行驶可准时到达. 3）分配问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习好资料欢迎下载思路导航：这类问题要搞清资源的变化情况例 1、现有 190 张铁皮做盒子，每张铁皮可以做8 个盒身或做22 个盒底，
24、一个盒身与两个盒底可以配成一个完整的盒子，问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以恰好制成一批完整的盒子？例 2、某家具厂生产一种方桌，设计时31m的木材可做50 个桌面或做300 条桌腿。现有310 m的木材，求怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，可使生产的桌面、桌腿刚好配套，并指出生产多少张方桌（1 张方桌有一个桌面，4 条桌腿） . 例 3、某服装厂要生产一批服装，已知3 米长的某种布料可做上衣2 件或裤子 3 条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600 米长的这种布料生产这一批服装，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？4）利率问题思想导航：储蓄问题中基本量之
25、间的关系：(1)本息和本金利息本金利率期数，利息 =本金利率期数，利率 =利息本金.例 1、小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000 元钱，一种是年利率为 2.25 的教育储蓄，另一种是年利率为2.25 的一年定期存款，一年后可取出2042.75 元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额20% ，教育储蓄没有利息所得税）例 2、某同学的父母用甲、乙两种形式为其存储了一笔教育储蓄金10 000 元，甲种形式年利率为0025.2，乙种形式年利率为005 .2, 一年后，这名同学得到本息和共10242.5 元，那么该同学的父母为其存储的甲、乙两种形式的教
26、育储蓄金各为多少元？5）盈亏问题例 1、某服装商贩同时卖出两套服装，每套均卖168 元，按成本计算，一套赚了20%另一套亏了20%。则商贩在这次买卖中盈亏了多少？例 2、 新华书店一天内销售两种书籍，甲种书籍共卖得1560 元，为了发展农业科技， 乙种书籍送下乡共卖得1350元，按甲、 乙两种书籍的成本分别计算，甲种书籍盈利0025，乙种书籍亏本0010，试问该书店一天共盈利（亏本）多少元？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习好资料欢迎下载6）数字问题思路导航：abcd 表示一个多位数，它可以表示为：abcd32
27、101010abcd数字型应用题的常见解题思路是抓住数字间或新数、原数间的关系列方程，多以间接设元求解为宜解题时要注意区分数字与数之间的区别例 1、如果一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，那么这样的两位数的个数是（）A、3 B、6 C、5 D、 4 例 2、一个两位数的数字之和是7，这个两位数减去27，它的十位和个位上的数字就交换了位置，则这个两位数是多少？例 3、一个两位数，十位上数字是个位上数字的两倍，把这个两位数个位上数字与十位上数字对调得的新两位数比原两位数小27，求原两位数. 例 3、甲乙两人做加法，甲在其中一个数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，
28、得和为 65，你能求出原来的两个加数吗？7）和、差、倍、分问题思路导航：基本等量关系为：(和差 ) 2大数； (和差 ) 2小数；和倍问题：和 (倍数 +1) 小数小数 倍数大数(或者和小数大数) 差倍问题：差 (倍数 1)小数小数 倍数大数(或 小数差大数) 例 1、有两缸金鱼， 如果从甲缸中取出5 条放入乙缸， 两缸内的金鱼数相等。已知原来甲缸的金鱼数是乙缸的1又 2/3 倍，甲缸原有金鱼多少条？例 2、 有两筐苹果，如果从第一筐拿出9 个放到第二筐，两筐苹果个数相等；如果从第二筐拿出12 个放到第一筐，则第一筐苹果的个数等于第二筐的2 倍。原来每筐各有几个苹果？例 3、在读书活动中，某校
29、将一批书按以下原则分给各班：第一班取走100 本，又取走余下的十分之一：第二班取走 200 本，又取走余下的十分之一.以此类推，最后全部书被各班取走，而且各班所得的书相等，问共多少本书，班数是多少? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习好资料欢迎下载例 1 8）年龄问题例 1、师傅对徒弟说“我像你这样大时，你才4 岁，将来当你像我这样大时，我已经是52 岁的人了” . 问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？例 2、 甲乙两人在聊天，甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4 岁。 ” 乙对甲说： “ 当我的岁数
30、是你现在的岁数时，你将61 岁。 ” 你能算出他们两人各几岁吗？几何问题例 1、 （2011?台湾）如图，将长方形ABCD 分割成 1 个灰色长方形与148 个面积相等的小正方形若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则 AD ：AB= ？（）A、5：3 B、7：5 C、23：14 D、47：29 例 2、小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（）A、106cm B、110cm C、114cm D、116cm 例 3、用 6 块相同的长方形地砖拼成一个矩形，如图所示，那么每个长方形地砖的面积是2cm9）航行问
31、题水逆水顺水静水逆水顺水水静水逆水水静水顺水，vvvvvvvvvvvv2,2-例 1、甲乙两港间的水路长280 千米，一艘轮船从甲港开往乙港，顺水14 小时到达。从乙港返回甲港，逆水20小时到达。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度。例 2、一只小船往返于长江上的AB两地之间，从A到 B需要 6 小时，从B到 A需要 8小时，一个木排从A到 B需要多长时间？例 3、某河有相距45 千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4 分钟后与甲船相距1 千米，预计乙船出发后几小时可与此物相遇。14）方案选择问题例1、班委会
32、决定，由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共22支，送给结对的山区学校的同学，他们去了商场，看到圆珠笔每支5元，钢笔每支6元。（1）若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？（2）若购圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种选购方案。例 2、一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共3520 元；若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可以完成， 需付两组费用共3480 元. 若只选一个组单独完成，从节约开支角度考虑，这家商店应选择哪个组？例 2 例 3 精选学习资料 - - - - -
33、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习好资料欢迎下载例 3、 （2011?湘潭）九年级某班组织班团活动，班委会准备买一些奖品班长王倩拿15 元钱去商店全部用来购买钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔2 元/支，笔记本1 元/本，且每样东西至少买一件（1）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；（2）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的钢笔与笔记本数量相等的概率例 4、已知某电脑公司有A 型、 B 型、 C 型三种型号的电脑，其价格分别为A 型每台 6000 元， B 型每台 4000元， C 型每台 2500 元，我市东坡中学计划将100500 元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共 36 台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页
