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1、应用高等数学教案第一章函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则。 同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念连续，和连续函数的若干重要性质。具体的要求如下：1 理解极限的概念。2 掌握极限四则运算法则。3 了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。4 了解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。5.理解函数在一点连续的概念。6. 了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理、零点定理和最大、最小值定理）。绪论数学：
2、数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。关于数学应用和关于微积分的评价：华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17 世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。张顺燕数学与文化在北大数学文化节上的报告：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。, 有了微积分，人类才有能力把握运动和
3、过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机， 宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了。初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学工具解决实际问题常常只能在有限的范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页内孤立的来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获
4、得最终的结果。学习高等数学应注意的方法：上课认真听讲（最好能预习），积极参与课堂讨论、研究，课后及时复习；透彻理解概念，熟练掌握重要定理、公式、运算法则，做适量练习；应用所学知识解决实际问题；归纳总结，不断提高，建构起高等数学适应体系。第一节函数、第二节初等函数1.掌握区间、邻域的概念。2.了解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题的函数关系式。3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。4.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念。5.掌握基本初等函数的性质及其图形。一邻域开区间( , )(,)U aaa，以 a 为中心的邻域( , )(, )( ,)U aaaa a，
5、以 a 为中心的去心邻域二函数：定义 1（P3）)(xfy，)(xy，)(xyy， ,定义域，函数值，值域。函数的两个要素：对应法则、定义域。三分段函数10,540,3)(xxxxxfy0x称为“分界点” 。2符号函数0,10, 00, 1sgnxxxxy3取整函数xy，3.1=3 ，-3.1=-4 。四反函数的定义：设有函数),(xfy其定义域为W，如果对于W中的每一个y值，都可以从关系式),(xfy确定唯一的x值（Dx）与之对应，这样所确定的以y为自精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 26 页变量的函数)()(1yfxy
6、x或叫做函数)(xfy的反函数， 它对定义域为W，值域为D。习惯上，函数的自变量都用x表示，氢反函数通常表示为).(1xfy五函数的几种特性1有界性：设)(xfy，定义域为D，xD，0M，恒有Mxf)(。则称函数在 D 上有界。否则称函数在D 上无界。xxf1)(，在 1，+)，有界；在 (0,1)，无界。2单调性：设)(xfy，定义域为D，21,xxD，当21xx时)()(21xfxf，单调递增当21xx时)()(21xfxf，单调递减单调递增与单调递减的函数统称为单调函数。3 奇偶性：)()(xfxf偶函数)()(xfxf奇函数4周期性：xD，TxD，)()(xfTxf例 1狄里克莱函数为
7、无理数为有理数xxxDy, 0, 1)(。狄里克莱函数是周期函数，但它没有最小正周期。2符号函数0,10, 00, 1sgnxxxxy3取整函数xy，3.1=3 ，-3.1=-4 。六复合函数)(ufy，)(xu)(xfy例 3将下列函数“分解”成“简单”的函数：2sinxy，xy2sin，xeyarctan七基本初等函数与初等函数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页1、 常数函数)( 为常数CCy2、 幂函数)( 为实常数xy3、 指数函数), 1,0(为常数aaaayx4、 对数函数), 1,0(log为常数a
8、aaxya5、 三角函数xyxyxyxyxyxycsc,sec,cot,tan,cos,sin6、 反三角函数：xarcyxyxyxycot,arctan,arccos,arcsin初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限复合步骤所构成，并且可以用一个式子表示的函数叫做初等函数。八双曲函数与反双曲函数2sinhxxeexy，2coshxxeexy，作业 P2021 习题2（3） 、 （4） 、 （6） ；5；7。第四节数列的极限数列极限的定义数列的定义：数列实质上是整标函数)(nfxn，n正整数集N（i）nxn1：1，21，31，, ，n1，,0 （ii）nxnn1)1(1：2，21
9、，34，, ，1+nn 1)1(，,1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页确定nxn11：要使1nx100；要使1nx10000；要使1nx1。（iii ）1) 1(nnx：1，-1，1， , ，1)1(n，,不存在数列极限描述性定义（P27） ：如果当n无限增大时，数列nx无限接近于一个确定的常数a，那么a就叫做数列nx的极限，或称数列nx收敛于a，记作axnnlim或当.,axnn时数列极限定义：如果存在常数a，使得对于任意给定的正数（无论它多么小） ，总存在正整数 N，只要 nN ，绝对值不等式axn恒成立，
10、则称数列nx 以常数a为极限，记为nnxlim=a（或axn，n） 。数列极限的分析 （N） 定义：设Ra，0，0N， 当Nn时，axn恒成立，则将数列nx以常数a为极限，记为nnxlim=a（或axn，n） 。例1证明数列2，21，34，43，, ，nnn 1) 1(，, 的极限是1。证：分析 令nx=nnn 1)1(，记 a=1，要使axn=1) 1(1nnn=n1=n1，取 N=1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 26 页 证 明 0，1N， 当nN时 ， 恒 有1) 1(1nnn， 故nnnn1) 1(l i m
11、=1。例2若21)(nnin sxn，证明：0limnnx。证： 分析 axn=0)1(sin2nn=2)1(sinnn2)1(1n11nn1，要使axnN 时，01)(nnsin2恒成立，故01)(nnsinlim2n。例3设1q，证明数列： 1，q，2q， , ，1nq， , 的极限是0。证：分析 令1nnqx，记 a=0，由于01nq=1nq=1nq，要使axn，只要1nq，只要lnln) 1(qn，只要qlnln1-n，只要1lnlnqn，取 N=1lnlnq。证明 0，1lnlnqN，当 nN 时，恒有01nq， 故1limnnq=0 （当1q时） 。例4 数列 nx 有界，又0li
12、mnny，证明nnnyxlim=0。证：0M，对一切n 均有Mxn，又0，对于01M，0N，当nN 时，恒有0nnyx，1MyMyxnnn，所以nnnyxlim=0。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 26 页收敛数列的性质性质 1（有界性）收敛数列一定有界。注：有界数列不不一定收敛。性质 2（唯一性）如果数列收敛，那么它的极限是唯一的。数列极限的运算法则如果axnnlim，bynnlim，那么（1）)(limnnnyxnnxlim+baynnlim（2）nnnyxlimnnxlimbaynnlim（3）nnnyxlim)0
13、(limlimbbayxnnnn特别地，如果C 为常数，那么由（2）得nnCxlimCnlimCaxnnlim无穷递缩等比数列的和（P30）qaqaqaqaaSn11112111化循环小数为分数例（ P29 例 3）作业 P32 第 2 题（ 1） 、 （3） 、 （ 6） 、 （8） ；第 3 题（ 3） 、 （4） ；第 4 题（ 2）第五节函数的极限一、函数在当x时极限函数极限的描述性定义：设函数)(xf当|x|a时有定义（a为某个常数） ，如果当自变量x的绝对值无限增大（记作x）时，函数)(xf无限接近于某确定的常数A，则称A为函数)(xf当x时的极限，记作精选学习资料 - - - -
14、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页Axfn)(lim或当x时，Axf)(函数在当x时（X）定义：0，0X，当Xx时，axf)(恒成立，Axfx)(lim注意：XxXx或Xx)(lim)(lim.3)(lim.2)(lim.1)(limxfxfxfxfaxfxxxxx存在存在二、函数在有限点处的极限引例：11)(2xxxf，当1x时，1)(xxf，1x时，2)(xf2)(lim1xfx研究：)(xf在点0x的某个去心邻域内有定义，当0xx时，axf)(定义：如果存在常数a，使得对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，当00xx时，axf
15、)(恒成立，记axfxx)(lim0。0，0，当00xx时，axf)(恒成立。例1证明下列极限： （1）CCxx0lim； （2）00limxxxx； （3）0sinlim0xx。证： （1）分析 这里0)(CCaxf，0恒成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页证明 0，任取一个正数，当00xx时，0CC恒成立，证之。（2）分析 由于0)(xxaxf，只要0xx，取证明 0，当00xx时，0xx恒成立，故00limxxxx（ 3 ） 分 析 由 于xxaxfs i n0s i n)(， 要 使0xx， 只 要xs
16、i n，只要arcsinarcsinx，即a rcs in00x，取a r c s in证明 0，arcsin， 当x0，0sin x恒成立，故0sinlim0xx例2证明21241lim221xxx。证： 分析 21x，21x，012x由于axf)(=1224412xxx=12) 12(2xx=12x要使axf)(， 只要12x，即)21(2 x，只要221x， 取2证明 0，2，当)21(0x时，212412xx恒成立，证之。例3证明1lim0xxe。证： 分析 由于1)(xeaxf，要使1xe，只要11xe，只要)1ln()1ln(x， 即)1l n (0)1l n (x， 取)1l n
17、 (,)1l n (m i n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页证明 0，)1ln(,)1ln(min，当00x时，1xe恒成立，证之。左极限)0()(lim)(lim0000xfxfxfxxxx右极限)0()(lim)(lim0000xfxfxfxxxx极限存在右极限左极限右极限存在左极限存在.3.2.1例4当2x时，讨论2,2,)(xexxxfx的极限三、极限的性质)(lim)(limlim0xfxfxxxxnn具有四个性质，下面证其中一种极限性质，余可类似证明之。性质 1极限的 唯一性 ：如果)(lim0xf
18、xx存在，则极限唯一。证：反证法。设axfxx)(lim0，bxfxx)(lim0，且ab。02ab，01，当100xx时，有2)(abaxf；02ab，02，当200xx时，有( )2baf xb。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页取,min21，上面两式均成立，由( )( )( )( )22bababaf xaf xbfxafxbba矛盾！性质 2有极限函数的局部有界性：如果)(lim0xfxx存在， 则在点0x的某个去心邻域内，函数)(xf有界。证：令)(lim0xfxx=a，由定义，0， （对于=1） ，
19、0，当0(,)xUx，axf)(，( )( )( )f xf xaaf xaaa。推论：收敛数列必有界；无界数列必发散。性质 3有极限函数的保号性：如果axfxx)(lim0且0a（或0a） ，则在点0x的某个去心邻域内，函数0)(xf（或0)(xf） 。证 ： 不 妨 令0a， 取2a，0， 当0(,)xUx时 ，axf)(，axfa)(，022)(aaaaxf。性质 4函数极限的归并性：设)(lim0xfxx存在，又设nx是函数)(xf的定义域中的这样一个数列，它满足：0xxn（n=1，2， , ），且)(lim)(lim0xfxfxxnn。证：设axfxx)(lim0，0，0，当0(,
20、)xU x，恒有axf)(，即( )( , )f xU a。由于0limxxnn，故知数列nx只有有限多项在( , )U a之外，根据数列极限的定义得)(lim)(lim0xfaxfxxnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 26 页例1数列) 1(1n是发散的。为什么？从概念可得出。例2证明当0x时，xsin没有极限。证：取两个收敛于0 的数列：1sinlim,021210sinlim,01nnnnnnxnxxnx极限不存在不存在)(lim)(lim00xfxfxxxx例3对于数列nx， 若)(12kaxk，)(2kax
21、k，证明)(naxn证：0，01N，当12121Nk时，axk 120，02N，当222Nk时，axk20，2, 12max21NNN，当Nn时，恒有axn，即axnnlim作业： P38 T1（1） 、92） （ 3） 、 （7） 、 （8） 。 T5。第六节函数极限的运算法则、两个重要极限一、函数极限的四则运算法则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 26 页定理 1：设Axf)(lim，Bxg)(lim。则（1）)(lim)(lim)()(limxgxfBAxgxf；（2）)(lim)(lim)()(limxgxfBA
22、xgxf；（3）当0b时，)(lim)(lim)()(limxgxfBAxgxf。推论 1、常数因子可以提到极限符号外面去，即).(lim)(limxfCxCf推论 2 如果)(limxf存在，则kkxfxf)(lim)(lim)( 为 自 然 数k注：上述法则对于x时的情形也是成立的。例 1求下列极限：（1）164lim24xxx；（2）4532lim21xxxx例 2求下列极限：（1）137243lim233xxxxxx（2）137243lim232xxxxxx（3）137243lim23xxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
23、 13 页，共 26 页例 3设0a，求333limaxaxax。解：0)()()()()()()(3233232323323332333233333aaxxaxaaxxaxaxaxaxaxaxaxax二、极限存在准则准则、如果数列nx、ny、nz满足下列条件：（1） 、（2）那么数列nx的极限存在，且.limaxnn准则、单调有界数列必有极限。第一个重要极限：.1sinlim0xxx例1求下列极限：（1）xxxtanlim0（2）220202sin2limcos1limxxxxxx（3）lxmxxsinsinlim0例2求xxxarcsinlim0第二个重要极限：exxx11lim精选学习资
24、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 26 页例3求下列极限：（1）xxxtanlim0（2）220202sin2limcos1limxxxxxx（3）lxmxxsinsinlim0例4求xxxarcsinlim0作业： P43 T1（1） 、 （3） 、 （5） 、 （7） 。T2（2） （4） 、 （ 6） 。T（1） 、 （2） 。第七节、无穷小与无穷大一、无穷小1、无穷小的定义定义：以0 为极限的函数（变量） ，称为无穷小量。定理： 在自变量同一变化过程中，函数 f(x)有极限A的充分必要条件是)()(xAxf，其中( )x是
25、无穷小量。2、无穷小的性质性质 1、有限个无穷小量之和是无穷小量；证： （1）设0lim( )0xxx，0)(lim0xxx0，01，当100xx时，( )2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页0，02，当200xx时，2)(x120min,( )( )22xxxx取当0时，性质 2、有限个无穷小的乘积仍为无穷小。性质 3、有界函数与无穷小量之积是无穷小量。推论：常数与无穷小量之积是无穷小量。例 1求xxx1sinlim0。二、无穷大1、无穷大的定义定义2、如果当)(0xxx时，函数)(xf的绝对值无限增大，那么
26、称)(xf为当)(0xxx时的无穷大量，简称无穷大，记为)(lim()(lim0xfxfxxx定义 2、0M（不论它多么大） ，0，当00xx时，恒有Mxf)(，认为)(lim0xfxx2、无穷大与无穷小的关系定理：在自变量的同一变化过程中，（1）若)(xf是无穷大量，则)(1xf是无穷小量；反之（ 2）若)(xf是无穷小量，则)(1xf是无穷大量。三、无穷小的比较精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页引入02lim20xxx，2302limxxx，3232lim220xxx，1sinlim0xxx定义：在自变量同一
27、变化过程中，如果，均为无穷小量，若10lim，称是比高阶的无穷小量，记为)(；2lim，称是比低阶的无穷小量；3Clim（0C） ，称与是同阶无穷小量；4特别地当C=1 时，即1lim，称与是等价无穷小量，记为例 121)cos1tan(lim)cos1(tanlimsintanlim203030xxxxxxxxxxxxx21cos1lim20xxx，称xcos1是 x 的二阶无穷小。四、等价无穷小量的性质性质 1、与是等价无穷小的充分必要条件为).(性质 2、设，是无穷小量， 且，如果alim，则alim证：lim1lim11limlim。例 2求下列极限（1）)3tan(5sinlim0x
28、xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页（2）xxxxarcsinsin)1(lim0（3）1ln)1ln(lim)1ln(lim100exxxxxx（4）xexx1lim0（5）xxx550sinsinlim（6）xxxxx/sin/arcsinlim0常见的等价无穷小有：当0x时， （1）;sinxx（2）;tanxx（3）;arctanxx（4）221cos1xx； （5）xnxn11。作业： P51 T2（1） 、 （2） 、 （5） 、 （8） 。T3 第八节函数的连续性一、函数的连续性1、函数的改变定义
29、1、如果变量u从初值1u谈到2u，那么终值与初值的差12uu叫做变量u的改变量（或增量），记作u，即u=12uu。改变量u可以是正的，也可以是负的。2、 函数的连续性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页定义 2：设函数)(xfy在点0x的某一邻域内有定义，若)(lim0xfxx存在，且其极限值等于)(0xf，即)()(lim00xfxfxx，称函数)(xf在点0x处连续，点0x是)(xf的连续点。即：0，0，当0xx时，恒有)()(0xfxf。记xxxxxx000)(，)()(00xfxxfy定义 3：0lim0y
30、x，函数)(xf在点0x处连续，)()(lim00xfxfxx函数值极限值存在有意义处有定义在. 3)(lim. 2)(. 100；xf）；（xxxfxx连续)()(lim. 2)()(lim.10000xfxfxfxfxxxx右连续左连续如果函数在区间上的每一点处连续，则称为区间上的连续函数，基本初等函数在定义区间内连续。3、函数的间断点如果函数)(xf在点0x处不连续， 则称0x是)(xf的不连续点或间断点。如果函数)(xf有下列三种情形之一：（1）在点0x处无定义，即)(0xf不存在；（2）)(lim0xfxx不存在；（3）)(lim0xfxx及)(0xf都存在，但)(lim0xfxx)
31、(0xf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 26 页则0x就是)(xf的间断点。例 1研究下列函数在指定点的连续性：（1）xxysin，点 x=0；（2）1,211,)(xxxxf当当；点 x=1；（3）0, 10,00, 1)(2xxxxxxf，点 x=0。例 2xytan，点2x。例 3xy1sin，点 x=0。例 4、证明函数)(xf=xsin在),(内是连续的。证明：x),(，当x有增量x时，对应的函数的增量为)2co s(2s i n2s i n)s i n (xxxxxxy，注意到|)2(cosxxx|1。得|
32、2sin|2|sin)sin(|xxxxy因为对于任意的角度，当0时有，|sin|，所以有|2sin|2|sin)sin(|0xxxxxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 26 页因此，当0x时，由夹逼准则得.0|y这就证明了)(xf=xsin对于x),(是连续的。振荡间断点无穷间断点第二类间断点右左跳跃间断点右左可去间断点左右极限均存在一类间断点第间断点，xf，）（)(二、初等函数的连续性定理 1、如果函数)(xf与)(xg在点0x处连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）也都在点0x处连续。定理2、如果函数)(x
33、u在点0xx处连续，且)(00xu，函数)(ufy在点0uu处连续，那么复合函数)(xfy在点0xx处连续。定理 3、一切初等函数在其定义区间都是连续的。三、闭区间上连续函数的性质定理4： （有界性及最大值最小值定理）闭区间上的连续函数在该区间上有界，且一定有最大值和最小值。,babaCf，使得)()(max,fxfbax，)()(min,fxfbax定理 2： （零点定理）若函数)(xf在闭区间 a,b上连续，且f(a), f (b) 异号，则f (x)在开区间 (a,b) 内至少有一个零点。,baCf，且),(0)()(0baxbfaf，使得0)(0xf。定理 3： （介值定理）设函数)(
34、xf在闭区间 a,b上连续，且)()(bfaf，则对介于)(af与)(bf之间的任何实数，在区间 (a,b)内至少存在一点0x，使得)(0xf。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 26 页证明：作辅助函数)()(xfxF，满足定理2 的条件：在a,b上连续，且0)(0)()()()(0xFbfafbFaF，即0)(0xf，)(0xf。推论 1：闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。推论 2：闭区间上不为常数的连续函数把该区间映为闭区间。切记：若不是闭区间，或不是连续函数，上述性质均不成立！例 1证明方程0
35、xex在区间 (-1,1)内有唯一的根。证：讨论函数xexxf)(，闭区间 -1,1。先证明存在性；再证明唯一性指出xexxf)(为单调函数例 2证明方程0312111xxx有分别包含于（1，2） ， （2，3） ，内的两个实根。证：由方程可知1x，2x，3x，故原方程之同解方程为0)2)(1()3)(1()3)(2(xxxxxx引入辅助函数)2)(1()3)(1()3)(2()(xxxxxxxF易知 F(x) 在),(上连续，故可分别在闭区间1 ，2 ，2 ， 3 上讨论之。作业： P60 T1；T2；T3（1） 、 （3） ；T4（2） 。第一章习题课一、内容小结1、函数的定义，反函数、复
36、合函数的定义，函数的几种特性，基本初等函数，基本初等函数。2、数列极限的定义、性质。3、函数极限的定义：,)(lim0Axfxs,)(lim0Axfxs,)(lim0Axfxs,)(limAxfx,)(limAxfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 26 页,)(limAxfx函数极限的性质： （1）如果函数,)(lim0Axfxs则)(xf在点0x的去心邻域内是有界的。（2）如果)(lim0xfxs存在，那么这极限是唯一的。4、无穷小、无穷大：无穷小：0)(limxf；无穷大：)(limxf；无穷小的运算性质，无穷小与
37、无穷大的关系；无穷小阶的比较。等价无穷小的性质与其在极限计算中的应用。5、极限存在准则、两个重要极限：.1sinlim0xxxexxx11lim.exxx101lim6、函数的连续性与性质设函数)(xf在点0x的某邻域内有定义，如果)()(lim00xfxfxx|)()(|,|,0,000xfxfxx有时当如果0)()(limlim000xfxxfyxx，那么就称函数)(xf在点0x下连续。左连续 )()(00xfxf；右连续)()(00xfxf。区间上连续函数：在区间上每一点都连续的函数称为该区间上的连续函数。间断点：有下列三种情形之一（1）在0x处)(xf无定义；（2）在0x有定义，但)(
38、lim0xfxx不存在；（3）在0x有定义，)(lim0xfxx存在，但)()(lim00xfxfxx。则函数)(xf在点0x处间断。间断点分类：)(xf在0x间断，)(0xf与)(0xf分别存在， 则称0x为)(xf的第一类间断点，否则称为第二类间断点。重要结论： 基本初等函数在其定义域内是连续的。一切初等函数在其定义区间都是连续的。闭区间上连续函数的性质（1）最大值、最小值及有界性定理。（2）零点定理（3）介值定理7、 运算法则（1）无穷小的运算性质有限个无穷小的和仍为无穷小；有限个无穷小的积仍为无穷小；有界函数与无穷小的积为无穷小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
39、纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 26 页（2）极限的四则运算法则。（3）复合函数的极限运算法则：设函数)(xgfy是由函数)(ufy与)(xgu复合而成的，)(xgf在点0x的某去心邻域内有定义，若0)(lim0uxgxx，Aufuu)(lim0。且存在),(0000xU当时，有0)(uxg，则Aufxgfuuxx)(lim)(lim00。（4）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数。（5）若)(ufy在点0u处连续，)(xgu在点0x连续，gfDxU)(0， 且00)(uxg，则复合函数)(xgfy在点0x连续，且)()()(lim)(lim0000xgfuf
40、ufxgfuuxx。关于极限计算的几点说明1极限的计算，首先区分谁是变量，谁是常量，同时搞清变量的变化过程；2区分极限是定型的还是未定型的。定型的极限直接进行计算；未定型的极限，则要研究如何将其转化为定型的极限；3未定型的极限转化为定型的极限方法，最基本的有四种：（a）利用初等变形的方法：消去零因子， 根式有理化， 分离为无穷小，变量代换，恒等变换等进行转化。（b）利用两个重要极限进行转化。（c）利用等价无穷小量代换利用洛必达法则，以后讲。例 1、)1311(lim31xxx例 2、若3) 1sin(lim221xbaxxx，求 a,b 的值。解：当1x时，1) 1sin(22xx，且0)(l
41、im21baxxx10,=(1)abba222(1)(1)(1)1(1)(1)(1)(1)xaxbxaxaxxaxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 26 页2212lim3124,5xxaxbaxab例 3、函数),(cos 在xxy内是否有界？这个函数的是否为x时的无穷大？为什么？解：函数),(cos 在xxy内无界，但不是x时的无穷大。理由如下：取数列)3 ,2 , 1(2nnxn，当n时，nx，这时)(22cos2)(nnnnxfn，所以这个函数无界。取数列)3 ,2, 1(22nntn，当n时，nt，这时
42、)(00)22cos()22()(nnntfn，所以这个函数不是无穷大. 例 4、求极限.s i nt anlim30xxxx解：3030sincossinlimsintanlimxxxxxxxxx220302sin2cos1sinlimcos)cos1 (sinlimxxxxxxxxxxx2122sinlimcos1limsinlim212000xxxxxxxx. 例 5、设. 0; 0,1sin)(2xxaxxxxxf要使函数)(xf在内连续，应当怎样选择?a解：因为函数)(xf在0 ,(与),0(内均为初等函数，所以函数)(xf在0,(与蒙古),0(内均为连续函数。afxxfaxafxx)0(, 11sinlim)0(,)(lim)0(020精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 26 页要函数在0x处连续，则.1),0()0()0(afff故当1a时，函数)(xf在0x处连续；从而当1a时，函数)(xf在),(内连续。补充作业：1、 证明：函数xxxfsin1)(在区间1 , 0(上无界，但不是0x是时的无穷大。2、)1sin1)(11(tansinlim320xxxxx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 26 页
