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1、第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第十章 一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想, 采用可得求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 设 为光滑曲面,“乘积和式极限” 都存在,的曲面积分其中 f (x, y
2、, z) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积函数, 叫做积分曲面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.则有 线性性质.在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理: 设有光滑曲面f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有二、对面积的曲面积分的
3、计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明证明: 由定义知机动 目录 上页 下页 返回 结束 而(光滑)机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:可有类似的公式.1) 如果曲面方程为2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分. (见本节后面的例4, 例5) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解解: :机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:若 是球面被平行平面 z =h 截出的上下两部分, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算其中 是由平面坐
4、标面所围成的四面体的表面. 解解: 设上的部分, 则与 原式 = 分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设计算解解: 锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的投影域为则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 若例3 中被积函数改为计算结果如何 ? 例例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.解解: 设 的方程为利用对称性可知重心的坐标而用球坐标思考题思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?例3 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算解解: 取球面坐标系, 则机动 目录 上页 下页 返回
5、 结束 例例6. 计算其中 是球面利用对称性可知解解: 显然球心为半径为利用重心公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 计算其中 是介于平面之间的圆柱面分析分析: 若将曲面分为前后(或左右)则解解: 取曲面面积元素两片, 则计算较繁. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求椭圆柱面位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S . 解解: 取机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km,机动 目录 上页 下页 返回 结束 运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积
6、与地球表面积的比. (地球半径 R = 6400 km )解解: 建立坐标系如图, 覆盖曲面 的半顶角为 , 利用球坐标系, 则卫星覆盖面积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为由以上结果可知, 卫星覆盖了地球 以上的面积, 故使用三颗相隔角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面. 说明说明: 此题也可用二重积分求 A (见下册P109 例2) . 内容小结内容小结1. 定义:2. 计算: 设则(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习P158 题1；3；
7、4(1) ; 7 解答提示解答提示:P158 题1.P158 题3. 设则P184 题2机动 目录 上页 下页 返回 结束 P158 题4(1). 在 xoy 面上的投影域为这是 的面积 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 P159 题7. 如图所示, 有机动 目录 上页 下页 返回 结束 P184 题2. 设一卦限中的部分, 则有( ).( 2000 考研 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P158 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8第五节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 已知曲面壳求此曲面壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量 M . 解解: 在 xoy 面上的投影为 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设 是四面体面, 计算解解: 在四面体的四个面上同上平面方程投影域机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束
