《2022年立体几何证明垂直专项知识点及练习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年立体几何证明垂直专项知识点及练习（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、立体几何证明 - 垂直一. 复习引入1. 空间两条直线的位置关系有：_,_,_三种。2. （公理 4）平行于同一条直线的两条直线互相_. 3. 直线与平面的位置关系有_,_,_ 三种。4. 直线与平面平行判定定理: 如果_的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行5. 直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 _. 6. 两个平面的位置关系 :_,_. 7. 判定定理 1：如果一个平面内有 _ 直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 . 8. 线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面_. 9. 如果两个平行平面同时
2、和第三个平面相交，那么它们的_平行. 10. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_于另一个平面 . 二知识点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义判定语言描述如果直线 l 和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面互相垂直，记作 l一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则这条直线与该平面垂直. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页图形条件b 为平面内的任一直线， 而 l 对这一直线总有 l l m，l n， m nB，m，n结论ll要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面
3、内的所有直线”， 这与“无数条直线”不同 （线线垂精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一个平面， 那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行. 图形条件结论知识点三、二面角.二面角： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB. （简记PABQ）二面角的平面角的三个特征: .点在棱上.线在面内.与棱垂直.二面角的平面
4、角： 在二面角l 的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角 . 作用：衡量二面角的大小；范围：000180. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页P E D
5、C B A 结果 =l -l- =90o （垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）三常用证明垂直的方法立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。（3）利用勾股定理。（4）利用直径所对的圆周角是直角(1) 通过“平移” , 根据若则a/ /b, 且b平面,a平面1在四棱锥 P-ABCD 中， PBC 为正三角形， AB 平面 PBC ，AB CD ，AB=21DC ，中点为PDE. 求证： AE 平面 PDC. 2如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，
6、 PA底面 ABCD ，PDA=45，点 E 为棱 AB 的中点求证：平面PCE平面 PCD；（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质EFBACDP（第2 题OACBPD.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页3、在三棱锥 PABC 中，2ACBC，90ACBo， APBPAB， PCAC （）求证： PCAB；（3）利用勾股定理4.如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1 的正方形，,1,2.PACD PAPD求证: PA平面 ABCD ；（4）利用直径所对的圆周角是直角5、如图， AB 是圆 O 的直径， C 是圆周上一
7、点， PA平面 ABC. （1）求证：平面 PAC平面 PBC；课堂及课后练习题：1. 判断下列命题是否正确，对的打“” ，错误的打“”。（1）垂直于同一直线的两个平面互相平行（）（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行（）（3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直（）2. 已 知 直 线a,b和 平 面， 且,ab a则b与的位置 关 系是_. 3.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，ABPAD平面,/ /ABCD ,PDAD , E 是 PB的中点， F 是 CD上的点，且12DFAB, PH 为PAD 中 AD 边上的高。_ D_ C_ B_ A_ PA C B P
8、 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页CADBOE（1）证明：PHABCD平面；4.如 图 所 示 , 四 棱 锥 PABCD 底 面 是 直 角 梯 形,2,BAADCDADCDABPA底面 ABCD, E 为 PC 的中点 , PAAD。证明: BEPDC平面; 5. 如图，在三棱锥 PABC 中， PAB是等边三角形， P AC=PBC=90 o证明： ABPC6. 如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，2,2.CACBCDBDABAD（1）求证： AO平面 BCD；（2）求异面直线 A
9、B 与 CD 所成角的大小；7.如图，四棱锥SABCD中，BCAB,BCCD，侧面SAB为等边三角形，2,1ABBCCDSD证明：SDSAB平面; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页8.如图，在圆锥PO中，已知PO=2，O 的直径2AB,C 是狐 AB 的中点，D为AC的中点证明：平面POD平面PAC; 课堂及课后练习题答案：1 （1） （2） （3）2.b/b或者3. 证明：因为 PH 为PAD 中 AD 边上的高，所以 PHAD ，又因为ABPAD平面，所以 ABPH ，=ABAD AI，所以PHABCD平面4.
10、分析：取 PD 的中点 F，易证 AF/BE, 易证 AF平面 PDC ，从而BEPDC平面.5.证明：因为PAB是等边三角形，90PACPBC, 所以 Rt PBCRt PAC , 可得 ACBC 。如图，取 AB 中点 D ，连结 PD , CD , 则 PDAB, CDAB, 所以 AB平面 PDC , 所以 ABPC 。6.（1）证明：连结 OC ,.BODO ABADAOBDQ,.BODO BCCDCOBDQ在AOC 中，由已知可得1,3.AOCO而2,AC222,AOCOAC90 ,oAOC即.AOOC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页,BDOCOQIAO平面 BCD7. （I）取 AB 中点 E，连结 DE，则四边形 BCDE 为矩形， DE=CB=2，连结 SE，则,3.SEAB SE又 SD=1，故222EDSESD，所以DSE为直角。由,ABDE ABSE DESEEI，得AB平面 SDE，所以ABSD。SD 与两条相交直线AB、SE 都垂直。所以SD平面 SAB。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
