状态空间法课件

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1、自自动控制原理控制原理第一章第一章 状状态空空间法法一一. .问题的引出的引出 1 -1 -古典控制理古典控制理论的局限性的局限性 1 1、仅适用于适用于SISOSISO的的线性定常系性定常系统( (外部描述，外部描述，时不不变系系统) ) 2 2、古典控制理、古典控制理论本本质上是复上是复频域的方法域的方法.(.(理理论) ) 3 3、设计是建立在是建立在试探的基探的基础上的上的.(.(应用用) ) 4 4、系、系统在初始条件在初始条件为零零, ,或初始松或初始松驰条件下条件下, ,才能采用才能采用传递函数函数. .控制系控制系统的状的状态空空间描述描述而而实际上大多数系上大多数系统表表现为

2、: : 1 1、多、多输入，多入，多输出出. .（抽象定（抽象定义，系，系统具有具有合格性）合格性） 2 2、时变. .（总是可找到一些参数是随是可找到一些参数是随时间变化的）化的） 3 3、非、非线性性. .（泛指运（泛指运动本身的非本身的非线性特征）性特征） 4 4、复、复杂性，复性，复杂任任务和高精度和高精度. . 因此古典控制理因此古典控制理论解决解决问题受到限制受到限制, ,需要需要寻找找新的解决方法新的解决方法. .这种方法或理种方法或理论应要求要求: : 1 1、描述多、描述多输入入/ /输出复出复杂系系统的方法和理的方法和理论基基础. . 2 2、具有可、具有可计算的形式算的形

3、式. . 3 3、解析式、解析式设计 4 4、能描述系、能描述系统内部状内部状态和和终端行端行为( (内部描述内部描述).). 5 5、系、系统t=0t=0松松驰状状态, ,非松非松驰状状态, ,或非或非线性性时变等情况下的适用性等情况下的适用性. . 结论 -对研究内容的界定和限制研究内容的界定和限制 所以所以对于一个多于一个多输入入/ /输出系出系统来来说: : 1 1、采用在、采用在时域内域内进行建模，且由于是行建模，且由于是对实际物物理系理系统进行模型描述，因而模型中的所有行模型描述，因而模型中的所有变量和量和函数均假定函数均假定为实数数 x x 。 2 2、数学描述的主要手段是微分方

4、程，并、数学描述的主要手段是微分方程，并应充充分利用系分利用系统的内部描述法来建立微分方程，以的内部描述法来建立微分方程，以充分表述系充分表述系统的内部特性的内部特性. . 3 3、适用于非初始松、适用于非初始松驰或非零初始条件的系或非零初始条件的系统状状态. . 4 4、主要研究、主要研究线性性连续时不不变系系统. .二二. .问题的引出的引出 2 -2 -状状态空空间分析方法分析方法 通通过一个一个实例引出状例引出状态空空间分析方法的基本概分析方法的基本概念念. . 例例: :设有如有如图所示网所示网络 显然然, ,若流若流经电感的初始感的初始电流及流及电容两端的初始容两端的初始电压已知已

5、知, ,则在任何在任何电压驱动下下, ,网网络的行的行为能唯一能唯一地确定。地确定。 从从u u到到y y的网的网络传递函数求得函数求得为: : (1) 故故该网网络的脉冲响的脉冲响应为: :(1) 现将将输入入电压u ,)u ,)施加于网施加于网络, ,且网且网络设定定为时不不变的的. . (1) (1)若在若在 时刻系刻系统是松是松驰的的, ,则其其输出出为: : (2) (2)(2)若在若在 时刻非松刻非松驰（ 前有前有输入，系入，系统有能量有能量储存），存），则系系统输出出为: : (3) 显然在然在 以前施加于系以前施加于系统的的输入能通入能通过电容和容和电感的能量存感的能量存储对

6、之后的之后的输出出产生影响生影响. . 现在我在我们考考虑由未知由未知输入入u(-, u(-, 对y ,)y ,)的影响的影响, ,即即 （4） 其中其中: : 注意到注意到 和和 与与t t无关无关, ,因此如果因此如果 和和 已已知知, ,则由未知的由未知的输入入u(-, u(-, 引起的在引起的在t t 之之后的后的输出就完全可以确定。出就完全可以确定。由式（由式（3 3）得到）得到 并利用式（并利用式（4 4）的）的结果，得果，得 （5） 对式式(3)(3)取关于取关于t t的的导数数, ,并利用并利用得到得到: :连同同g(0)=0,g(0)=0,就意味着有就意味着有(6)(6)联立

7、式立式(5)(5)和式和式(6),(6),得到得到 从而若网从而若网络在在 时刻非松刻非松驰则输出由下式出由下式给出出: : 结论: :若若 和和 已知已知( ( 时刻系刻系统的一种状的一种状态),),即使网即使网络在在 时刻非松刻非松驰, ,它在它在t t u ,) u ,) 之后的之后的输出也能唯一的被确定出也能唯一的被确定. .显然是由然是由 和和 ，u ,)u ,)共同唯一地确定共同唯一地确定. .因此因此 和和 可以作可以作为网网络的状的状态, ,同同样也可用也可用 和和 作作为网网络的状的状态, ,而而这两两组数的原函数是微分数的原函数是微分方程的方程的变量量. .从例子中也可以看

8、出来从例子中也可以看出来, ,在无限区在无限区间(-, (-, 上上的的输入入, ,其作用效果已其作用效果已综合在合在 , , 和和 , , 两个数中两个数中, ,因此状因此状态概念非常有意概念非常有意义和有和有效效. .从上述例子可得到如下结论: 1 1、系、系统状状态不是唯一的不是唯一的. . 2 2、状、状态的的选择与物理量有关与物理量有关, ,一般一般应该是相互是相互 独立的独立的储能元件的物理量能元件的物理量. . 3 3、每一瞬、每一瞬时的状的状态可以是可以是仅由有限个数的集合由有限个数的集合组成成. . 定定义1.1.状状态 系系统在在时刻刻 的状的状态乃是乃是时刻刻 的一种信息

9、量的一种信息量, ,它与它与输入入u ,)u ,)唯一地确定系唯一地确定系统 t t 时的的行行为。 注：系注：系统行行为指包括状指包括状态在内的系在内的系统的所有响的所有响应。 状状态即指某一即指某一时刻的刻的, ,可以表征系可以表征系统特征或行特征或行为的数。而的数。而该数的原函数数的原函数则可称可称为状状态变量量, ,而而这种种函数不但可以描述某一函数不但可以描述某一时刻的行刻的行为，并可在，并可在 ,) ,)内描述行内描述行为, ,为此定此定义状状态变量是量是: : 定定义2.2.状状态变量量 状状态变量是确定系量是确定系统状状态的最小一的最小一组变量量, ,如果以如果以最少的最少的n

10、 n个个变量量 可以完全描述系可以完全描述系统的行的行为 ( (即当即当t t 时输入和入和在在t= t= 初始状初始状态给定后定后, ,系系统的状的状态完全可以确定完全可以确定),),那那么么 是一是一组状状态变量量. . 定定义3.3.状状态向量（有限个数的状向量（有限个数的状态变量的集合）量的集合） 如果将状如果将状态变量量 作作为向量向量x(t)x(t)的各个分量的各个分量, ,则称称x(t)x(t)为状状态向量向量, ,一旦一旦给定定 时刻的状刻的状态向量向量, , 则它与它与输入入u ,)u ,)唯一地确定唯一地确定系系统在在t t 时的状的状态x(t)x(t)。 定定义4.4.状

11、状态空空间 若状若状态向量向量x(t),x(t),可唯一地由可唯一地由 空空间中一中一组规范范正交基底正交基底( (单位坐位坐标向量向量) )线性性组合表示合表示, ,则状状态向向量量x(t)x(t)是是n n维状状态空空间( ,n)( ,n)中的一个向量中的一个向量, ,所有所有状状态向量向量x(t)x(t)集合集合组成成n n维的状的状态空空间( ,n)( ,n) 或定或定义为: : 通常状通常状态变量均量均为有有实际意意义的的实数数值, ,因此状因此状态向量的取向量的取值空空间是有限是有限维实向量空向量空间, ,称称为状状态空空间。 总结: : (1)(1)根据状根据状态变量的定量的定义

12、, ,状状态变量量应选取系取系统中中相互独立相互独立储能元件的物理量能元件的物理量, ,独立独立储能元件的个数即能元件的个数即为状状态变量个数量个数. . (2) (2)状状态变量量选取不唯一取不唯一, ,有有时选取状取状态变量量仅为数学描述所需数学描述所需, ,而非明确的物理意而非明确的物理意义。 (3)(3)状状态变量是系量是系统的内部的内部变量量, ,一般情况下一般情况下输出出是状是状态的函数的函数, ,但但输出出总是希望可量是希望可量测的。的。 (4)(4)仅讨论有限个状有限个状态变量的系量的系统。 (5)(5)有限个数的状有限个数的状态变量的集合量的集合, ,称称为状状态向量。向量。

13、 (6)(6)状状态向量的取向量的取值空空间称称为状状态空空间。 例例2,2,设下下图的的RLCRLC网网络, ,如果如果电流流i( ),i( ),电容容电压 ( )( )的初始的初始值和和t t 时的的输入入电压均已知均已知, ,则t t 时网网络的状的状态完全由完全由i(t), (t)i(t), (t)确定确定. .因因此可将此可将i(t)i(t)和和 (t)(t)作作为这个系个系统的一的一组状状态变量量. . ( (注意注意: :这个系个系统, ,也可将也可将 (t)(t)和和R*i(t)R*i(t)选为一一组状状态变量量) ) 设i(t)i(t)和和 (t)(t)作作为一一组状状态向量

14、向量, ,则描述描述系系统的的动力学方程力学方程: :用向量矩用向量矩阵形式表示形式表示, ,则上述方程可表示上述方程可表示为: : (1) (1) 若若设 , ,则上式可上式可简化化为: : , 当当输出出选定后定后, ,则可以量可以量测的的输出出, ,总是可以通是可以通过状状态变量和量和输入的入的线性性组合得到合得到. . y=Cx+Du (2) 此例中此例中 D=0, ,D=0, ,即即由此，我由此，我们可以得出，可以得出，现代控制理代控制理论或状或状态空空间分析方法是建立在系分析方法是建立在系统采用有限个一采用有限个一阶微分微分方程描述的基方程描述的基础上，而有限个一上，而有限个一阶微

15、分方程微分方程组成了向量成了向量矩矩阵方程，因而从本方程，因而从本质上来上来说，现代控制理代控制理论的分析方法是的分析方法是时域分析方法域分析方法. .控制系控制系统的状的状态空空间描述描述-线性系性系统的状的状态空空间表达表达式式状状态空空间表达式是描述系表达式是描述系统行行为的数学模型的数学模型, ,它包括它包括输出方程和状出方程和状态方程方程, ,状状态方程由有限个一方程由有限个一阶微分方微分方程程组成成, ,而而输出方程出方程则是状是状态向量和向量和输入的函数入的函数. .1.1.状状态方程方程x(t)是n*1维向量,A(t)是n*n维向量,B(t)是n*r维向量,u(t)是r*1维向

16、量,(1)(1)如果是如果是线性定常系性定常系统, ,则 是常系数矩是常系数矩阵, ,则状状态方程可写方程可写为: :(2)(2)如果是如果是单输入系入系统, ,则状状态方程描述了方程描述了 时刻和状刻和状态 和和输入入 所决定的系所决定的系统在在 的行的行为. .2.2.输出方程出方程输出方程是在指定出方程是在指定输出出变量情况下量情况下,(,(输出出变量量往往是往往是选取可以量取可以量测的物理量的物理量) )其其输出出变量与量与状状态变量以及量以及输入入变量之量之间的关系的关系. . 用用其中其中: : 是是m*1m*1维向量向量, , , 是是m*nm*n维向量向量, , , 是是m*r

17、m*r维向量向量, , , 3.3.状状态空空间表达式表达式 1)1)线性性时变系系统: : 2) 2)线性性时不不变系系统: : 在通常情况下，大多数在通常情况下，大多数还是研究是研究线性是不性是不变 系系统，即，即线性定常系性定常系统，因此本，因此本课程的主要研究程的主要研究对象是象是线性定常系性定常系统。4.4.状状态空空间描述的描述的结构构图( (或称状或称状态变量量图) )例例: :根据上例画出根据上例画出结构构图. .解解: :先将例子写成下述形式先将例子写成下述形式 则结构构图为: :画法: 1)1)根据状根据状态方程从方程右方程从方程右边开始画起开始画起. . 2) 2)通通过

18、积分分环节得到状得到状态. . 3) 3)通通过状状态反反馈的的组合得到状合得到状态的微分的微分 4)4)通通过状状态的的组合得到合得到输出出. .5.5.输入入/ /输出描述和状出描述和状态变量描述的比量描述的比较 (1)(1)系系统的的输入入/ /输出描述出描述仅揭示系揭示系统在初始在初始松松驰的假定下的假定下输入入输出出间的关系的关系. .因此因此对非松非松驰系系统不能采用不能采用这种描述种描述. .尤尤为重要的重要的问题, ,此此描述不能揭示非初始松描述不能揭示非初始松驰时系系统将将发生的行生的行为, ,也不能揭示系也不能揭示系统的内部行的内部行为. . (2) (2)对于甚于甚为复复

19、杂的的线性系性系统, ,求其求其动态方程方程描述是很繁的描述是很繁的, ,在此情况下在此情况下, ,借助于直接借助于直接测量求量求取取输入入/ /输出描述可能稍容易一些出描述可能稍容易一些. . (3)(3)状状态变量法中的各种量法中的各种结果均能以果均能以传递函数法函数法得到得到. . (4) (4)状状态空空间表达式能表达式能够推广到推广到时变情形情形, ,且且这种状种状态空空间描述方程可适用于多种描述方程可适用于多种现代代设计方方法法. . (5) (5)在非在非线性系性系统的研究中的研究中, ,可以根据不同的方可以根据不同的方法法, ,而采用上述两种描述方法中的一种而采用上述两种描述方

20、法中的一种. . (6) (6)采用状采用状态空空间描述的形式描述的形式, ,可方便地可方便地进行行计算机仿真算机仿真. . 三三. .状状态空空间表达式的建立表达式的建立根据系根据系统的物理机理的物理机理, ,直接写出状直接写出状态空空间表达式表达式, ,如例如例2.2.方法方法: :依据有关物理定律依据有关物理定律, ,或直接建立所或直接建立所选择状状态变量的一量的一阶微分方程微分方程组. .或将得到的微分方或将得到的微分方程化程化为所所选状状态变量的一量的一阶微分方程微分方程组. . 讨论: : (1)(1)这种方法要求系种方法要求系统是完全可数学描述的是完全可数学描述的, ,即即结构和

21、参数必构和参数必须是确定的物理系是确定的物理系统. . (2) (2)系系统是能描述的是能描述的简单物理系物理系统. .在一般情在一般情况下况下, ,只有只有简单的物理系的物理系统才能直接建立按所才能直接建立按所选择状状态变量的一量的一阶微分方程微分方程. . (3) (3)复复杂物理系物理系统, ,在在这种情况下种情况下, ,对系系统的的描述可能是描述可能是n n阶的的线性微分方程性微分方程, ,故而需将高故而需将高阶微分方程微分方程转成一成一阶微分方程形式微分方程形式. .根据系根据系统微分方程建立状微分方程建立状态空空间表达式表达式. .1.1.输入入项中中不不含含输入入导数数项的的线性

22、性系系统空空间状状态表达式表达式系系统描述描述为: : (1) 讨论: :状状态如何如何选择对方程方程(1),(1),若已知若已知 和和 则可完全确定系可完全确定系统在在 的行的行为, ,故而可故而可选取取 n n个状个状态作作为状状态变量量. .注意到注意到, ,从数学上从数学上讲, ,这种方法是方便的种方法是方便的, ,但在但在实际情况下情况下, ,输出中可能存在噪声效出中可能存在噪声效应, ,因而高因而高阶微分是微分是不准确的不准确的, ,这是需要注意的是需要注意的. .解解: :设则方程方程(1)(1)可写成可写成: :(2) 或写成矩或写成矩阵形式形式: :其中其中输出方程出方程:

23、:显然然这种种结果很容易地推广到果很容易地推广到r r个个输入入( (但不含但不含输入的入的导数数项) )的情形中的情形中, ,以一个例子以一个例子说明明. .例例: : 设 为系系统的微分方程的微分方程其中其中y y为输出出, , 为输入入, ,试求状求状态空空间表达式表达式. .解解: :设则及及即即: :其中其中 2.2.输入中含有入中含有导数数项的的n n阶线性系性系统的状的状态空空间表达式表达式. .系系统方程方程: : (3)讨论: : 1) 1)选择状状态变量量 显然然 以及以及 和和 就可唯一确定就可唯一确定 时的行的行为. . 2) 2)不能不能单纯将将输入入, ,输出作出作

24、为状状态变量量, ,必必须用用输入入/ /输出的出的线性性组合作合作为状状态变量量, ,且且为了得了得到状到状态空空间的的简约形式形式, ,状状态变量的量的选择必必须能消去状能消去状态方程中方程中输入入u u的的导数数项. .用两个方法来解决用两个方法来解决问题: : (1) (1)将方程将方程(3)(3)写成微分算子的形式写成微分算子的形式, ,即令即令 为微分算子微分算子, ,则原方程可写成原方程可写成 （4 4）y(t)y(t)亦可表示亦可表示为: : （5） 设一新一新变量量v(t),v(t),并令并令 (6)(6) 将上式写成微分形式将上式写成微分形式, ,则为: :(7) 取状取状

25、态变量量则上式又可写成状上式又可写成状态方程方程 (8) 将式将式(6)(6)代入式代入式(5)(5)得到得到输出方程出方程即即 或或 (9)(9)式式(8)(8)和式和式(9)(9)组成状成状态空空间表达式表达式显然然, ,上述上述结果亦可方便地推广到多果亦可方便地推广到多输入入, ,多多输出的情形出的情形. .(2)(2)选取合适的状取合适的状态变量以消去量以消去输入入项中的中的导数形式数形式. .设状状态变量量为: : 式中式中这样微分方程式微分方程式(3)(3)可以写成下述状可以写成下述状态空空间表表达式达式. .上述两情况下上述两情况下, ,具有具有A A阵形式的矩形式的矩阵称称为相

26、伴相伴标准形矩准形矩阵或称友或称友阵. .四四. .状状态空空间表达式表达式( (或或动态方程方程) )的的线性性变换. .对于状于状态空空间表达式来表达式来说, ,由于状由于状态变量量选择的非唯一性的非唯一性, ,因此所得到的因此所得到的动态方程形式是不方程形式是不一一样的的, ,但由于是描述的同一系但由于是描述的同一系统, ,故而故而动态方方程不程不论形式如何形式如何, ,它它们对系系统行行为的描述的描述应该提供同提供同样多的信息。多的信息。1.1.系系统状状态空空间表达式的非唯一性表达式的非唯一性. .对于于选定的状定的状态变量量x,x,则线性定常系性定常系统为: : (11)若存在非奇

27、异矩若存在非奇异矩阵P, ,P, ,使使 或或 则式式(11)(11)变为 (12) (12) 其中其中 , ,初始条件初始条件变换式式(12)(12)表明了状表明了状态空空间表达式的非唯一性表达式的非唯一性, ,而其根本而其根本原因在于原因在于 , ,即状即状态选取的非唯一性，因取的非唯一性，因为总是可找到非奇异的是可找到非奇异的P,P,使得使得讨论: : (1)x (1)x和和 为同一向量在同一向量在线性空性空间是关于不同基底是关于不同基底的不同表示的不同表示, ,其中其中P P也称也称为基底基底变换矩矩阵。 (2)A(2)A也被称也被称为线性算子性算子( (自身映射自身映射),),对于同

28、一算于同一算子子A,A,对于不同基底也有不同表示于不同基底也有不同表示( (如如 ) )，但，但A A和和 是相似的是相似的, ,即即满足足 显而易而易见, ,同一算子关于不同基底的所有矩同一算子关于不同基底的所有矩阵表示都是相似的表示都是相似的. . 问题: : (1) (1)既然一个既然一个线性算子有多种表示性算子有多种表示, ,是否有可能是否有可能选一一组基底以使算子基底以使算子A A的表达最的表达最为简洁. . (2) (2)在不同基底下在不同基底下, ,线性算子具有不同的表示性算子具有不同的表示, ,那那么它么它们的特征的特征值是否是否发生了生了变化化. .2.2.系系统特征特征值的

29、不的不变性性(1)(1)特征特征值定定义, ,特征向量的定特征向量的定义定定义: :设A A为将将 映射到自身的映射到自身的线性算子性算子 若存在若存在C C 中的非零向量中的非零向量X X 及及C C 中的中的标量量, , 使得使得 则称称为A A的特征的特征值, , 任何任何满足足 的非零向量的非零向量X X称称为A A的特征向量的特征向量. . 按定按定义, ,为了了寻找关于找关于A A的特征的特征值, , 将将 写成写成 其中其中I I 是是 的的单位位阵, , 对于方程于方程 是是齐次方程次方程组，且，且 也是也是 的，的，该方程当且方程当且仅当当 方程才有非零解。故当且方程才有非零

30、解。故当且仅当当 是是 的根的根时, ,标量量 才是才是A A的特征的特征值, ,显然然A A阵共有共有n n个个特征根特征根, ,当然它当然它们未必是相异的未必是相异的. .(2)(2)特征特征值的不的不变性性 易易证明明这一一结论3.3.化化A A阵为对角角阵( (化状化状态方程方程为对角角线规范形范形) )( (特征特征值互异的情况下互异的情况下) )这里里, ,实际上是上是为回答上述的第一个回答上述的第一个问题-使使A A表示最表示最简洁. .首先研究在首先研究在A A的特征的特征值是互异的情形下是互异的情形下: : 不加不加证明地明地给出下述出下述结论. .若若线性算子性算子A A或

31、或A A阵具有互异的特征具有互异的特征值, ,则在在选择特征向量作特征向量作为基底的情况下基底的情况下, ,算子算子A A或或A A阵的的表示是一表示是一对角角阵, ,对角角线上的元素即上的元素即为其特征其特征值. .具体来具体来说: :对于状于状态方程方程 若若A A的特征的特征值互异互异, , 互异互异, ,则存在存在非奇异矩非奇异矩阵P,P,进行行变换 , ,变换后的状后的状态方程方程为其中其中A A为对角角阵, ,即即且且P P由由A A阵的特征向量的特征向量 组成成 满足足易易证 组成的向量是成的向量是线性无关的性无关的. .上述方法成立的一个重要基上述方法成立的一个重要基础是需是需

32、证明明 线性无关性无关, ,若作若作为基底基底, ,则 是是A A关关于基底的表示。于基底的表示。一种特殊情况一种特殊情况, ,若若A A为友友阵时, ,则可直接可直接给出出变换阵P P称称P P 为范德蒙矩范德蒙矩阵, ,它能使友它能使友阵A A, ,作相似作相似变换后得后得4.4.化状化状态方程方程为约当当规范形范形( (化化A A阵为约当形矩当形矩阵) )这种种情情形形实际是是A A阵特特征征值有有重重根根的的情情形形.-.-如如果果A A阵有重根有重根则只能化成只能化成约当形矩当形矩阵约当当规范形的推范形的推导比比较复复杂, ,我我们这里不加里不加证明地明地给出下述出下述结论: :设A

33、 A的特征的特征值有有q q个重根个重根, ,其余其余( (n-qn-q) )个根个根为互异根互异根, ,将将A A阵化化为约当当规范形的形式范形的形式为: :相相应的的变换矩矩阵 其中其中 是是对应于于n-qn-q个互异个互异单根的特征向根的特征向量量, ,求法同求法同对角角规范形。范形。 是是对应于于q q个重根的各特征向量个重根的各特征向量, ,它它们的的计算按下式算按下式. .其中其中. . 是是 的特征根的特征根对应的特征向量的特征向量, , 称称为广广义特征向量特征向量显而易而易见在在这种种变换下下, ,状状态方程的方程的约当当规范范形形为五五. .状状态空空间表达式与表达式与传递

34、函数函数阵间的的变换注意注意: :该变换仅适用于零初始松适用于零初始松驰的的线性定常性定常系系统. .传函矩函矩阵的概念的概念显而易而易见, ,单输入入/ /单输出定常系出定常系统的的传函概念函概念和方法和方法, ,亦可推广到多亦可推广到多输入入/ /多多输出的定常出的定常线性性系系统, ,此此时传函函则是以一个矩是以一个矩阵来表示来表示, ,该矩矩阵称称为传函矩函矩阵. . 例如下例例如下例, ,例了描述了两个例了描述了两个输入入/ /输出系出系统的的传递函数表示法函数表示法. .根据上根据上图, ,可以写出系可以写出系统的的输入入/ /输出描述的数出描述的数学模型学模型. .写成矩写成矩阵

35、形式形式或或简写写为称称 为输出向量出向量 与与输入向量入向量 之之间的的传函矩函矩阵, ,显然我然我们可以将可以将 推广到推广到m*rm*r的的情形情形, ,即即r r个个输入入,m,m个个输出出. .状状态空空间表达式与表达式与传函函阵之之间的关系的关系 (1)(1)线性定常系性定常系统单输入入/ /单输出的出的传递函数函数 设动态方程方程对动态方程作零初始条件下的拉氏方程作零初始条件下的拉氏变换得到得到令令 ，并解方程，并解方程, ,得到得到由于由于 则讨论: : 1). 1).如果如果 中不存在零点中不存在零点对消消, ,则A A的特征的特征值是是 的极点。的极点。 2).2).此此时

36、 是一是一维的的. . (2)(2)线性定常多性定常多输入入/ /多多输出系出系统的的传函矩函矩阵仿前例仿前例, ,对动态方程方程进行拉氏行拉氏变换( (零初始条件零初始条件) )从而得到从而得到显然然传函矩函矩阵 (3)(3)多多输入入/ /多多输出出传函的特点函的特点 （a a）输入入/ /输出出传函描述的最大特点是清函描述的最大特点是清楚地反映了每个楚地反映了每个输入分量入分量对输出分量的影响出分量的影响, ,如果如果 是是对角形的角形的, ,则称系称系统是解耦的。是解耦的。 （b b）传函矩函矩阵的不的不变性性 对同一系同一系统, ,尽管状尽管状态空空间表达式可以有多表达式可以有多样性或非唯一性性或非唯一性, ,但但传函是唯一的。函是唯一的。