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1、4-3二维正态分布二维正态分布记为记为(X ,Y )定义定义 设二维连续随机变量设二维连续随机变量(X,Y)(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为其中其中 是分布参数是分布参数这种分布叫做这种分布叫做二维正态分布二维正态分布。二维正态分布的分布曲面它的形状类似山岗，在点二维正态分布的分布曲面它的形状类似山岗，在点达到最高峰，如下图所示达到最高峰，如下图所示二维正态分布维正态分布(X,Y)(X,Y)的概率密度函数的概率密度函数f(x,y)满足满足:l性质性质(2)(1) X(1) X与与Y Y的边际概率密度函数分别为的边际概率密度函数分别为其中其中 证明证明:(1):由由可得可得X的边缘概率
2、密度的边缘概率密度置换积分变量置换积分变量 ，得到，得到由于对称性，可知由于对称性，可知 因为因为 (2) X服从正态分布服从正态分布,所以所以所以，由第四章第一、二节的知识可知，所以，由第四章第一、二节的知识可知，Y也服从正态分布，且其期望为也服从正态分布，且其期望为 ,标准差为标准差为 X服从正态分布，且其期望为服从正态分布，且其期望为 ,标准差为标准差为下面计算二维正态分布的下面计算二维正态分布的中中X与与Y的相关系数的相关系数相关系数公式为相关系数公式为所以所以二维正态分布的中二维正态分布的中X与与Y的相关系数的相关系数R(X,Y)其中其中 化为累次积分，得到化为累次积分，得到其中其中
3、 置换积分变量置换积分变量 ，得到，得到代入代入得到得到 置换积分变量置换积分变量 得到得到求证求证: X: X与与Y Y独立独立 r=0 r=0例例设设(X ,Y )把r=0代入，得证明证明 X与Y独立“” X X和和Y Y相互独立相互独立 ( (x,y) ) R R2 2. .有有 对比两边对比两边 r=0 r=0特别特别, ,取取 代入上代入上式有式有 即即: :例例1 1 设设X X和和Y Y相互独立，并且都服从标准之态分相互独立，并且都服从标准之态分布，求它们的平方和布，求它们的平方和Z=XZ=X2 2+Y+Y2 2的概率密度的概率密度分析：要求分析：要求 Z=XZ=X2 2+Y+Y
4、2 2的概率密度，必须事先知的概率密度，必须事先知道二维随机变量道二维随机变量(X,Y)(X,Y)的联合概率密度，如何的联合概率密度，如何获得？获得？注意到注意到X X与与Y Y均服从正态分布且相互独立，从而均服从正态分布且相互独立，从而可以获得可以获得二维随机变量二维随机变量(X,Y)的联合概率密度的联合概率密度解：解： 因为因为X X与与Y Y均服从标准正态分布且相互独立均服从标准正态分布且相互独立所以，所以，(X,Y)(X,Y)的联合概率密度的联合概率密度这里这里所以所以 FZ(z)=P(Zz)= P(X(X2 2+Y+Y2 2z),z),下面分情况讨下面分情况讨论论当当z0时，显然，时
5、，显然， FZ(z)=0；当当z0时，时，所以所以 Z的分布函数为的分布函数为由此由此Z的概率密度为的概率密度为所得的分布称为自由度为所得的分布称为自由度为2的的分布分布例例2 2 设设X X和和Y Y相互独立，并且都服从标准之态分相互独立，并且都服从标准之态分布，求它们的平方和布，求它们的平方和Z=XZ=X2 2+Y+Y2 2的数学期望和方差的数学期望和方差分析：求期望和方差的方法有哪些？分析：求期望和方差的方法有哪些？1.求出求出Z密度函数，直接随机变量期望的定义密度函数，直接随机变量期望的定义求期望和方差求期望和方差2.利用利用(X,Y)的联合密度，并应用随机变量函的联合密度，并应用随机
6、变量函数的期望定义求期望和方差数的期望定义求期望和方差3.利用利用随机随机变变量和的期望以及方差性量和的期望以及方差性质质法法1 1求出求出Z密度函数，直接随机变量期望的定义密度函数，直接随机变量期望的定义求期望和方差求期望和方差. 在例在例1 1中求得了中求得了Z Z的概率密度的概率密度因此由随机变量的期望定义因此由随机变量的期望定义 可得可得为计算为计算Z Z的方差，先计算的方差，先计算置换积分变量置换积分变量可得可得可得可得置换积分变量置换积分变量现由公式现由公式 D(Z)=E(Z D(Z)=E(Z2 2)-E(Z)-E(Z)2 2可得可得法法2 2 利用利用(X,Y)的联合密度，并应用
7、随机变量的联合密度，并应用随机变量函数的期望定义求定义和方差函数的期望定义求定义和方差 . 由例由例1 1知知(X,Y)(X,Y)的联合概率密度的联合概率密度故由随机变量函数的期望定义故由随机变量函数的期望定义由极坐标变换公式可得由极坐标变换公式可得置换积分变量置换积分变量同理同理可得可得由极坐标变换公式可得由极坐标变换公式可得置换积分变量置换积分变量可得可得由公式由公式 D(Z)=E(Z D(Z)=E(Z2 2)-E(Z)-E(Z)2 2可得可得法法3 根据根据4.2例的结论利用随机变量和的期例的结论利用随机变量和的期望以及方差性质望以及方差性质因为因为X,Y均服从标准正态分布，所以由均服从标准正态分布，所以由4.2例知例知因为因为X X和和Y Y相互独立，所以相互独立，所以X X2 2，Y Y2 2也互相独立方也互相独立方差，从而差，从而
