2022年初中数学函数知识点

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1、学习必备欢迎下载1 常量和变量在某变化过程中可以取不同数值的量，叫做变量在某变化过程中保持同一数值的量或数，叫常量或常数2函数设在一个变化过程中有两个变量x 与 y，如果对于x 在某一范围的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量， y 是 x 的函数3自变量的取值范围(1)整式：自变量取一切实数(2)分式：分母不为零(3)偶次方根：被开方数为非负数(4)零指数与负整数指数幂：底数不为零4函数值对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x a 时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做xa 时的函数值5函数的表示法(1)解析法； (2)列表法； (3)图象法6函数的图象把自变

2、量x 的一个值和函数y 的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在平面直角坐标系内描出一个点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象由函数解析式画函数图象的步骤：(1)写出函数解析式及自变量的取值范围；(2)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；(3)描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；(4)连线：用平滑曲线，按照自变量由小到大的顺序，把所描各点连接起来7一次函数(1)一次函数如果 y kxb(k、 b 是常数， k0) ，那么 y 叫做 x 的一次函数特别地，当b0 时，一次函数ykxb 成为 y kx(k 是常数， k0) ，这时， y 叫做 x的正比例函数(2)一次函数的

3、图象一次函数ykxb 的图象是一条经过(0，b)点和点的直线特别地，正比例函数图象是一条经过原点的直线需要说明的是，在平面直角坐标系中，“ 直线 ” 并不等价于 “ 一次函数ykxb(k 0) 的图象” ，因为还有直线ym(此时 k 0)和直线 xn(此时 k 不存在 )，它们不是一次函数图象(3)一次函数的性质当 k0 时， y 随 x 的增大而增大；当k0 时， y 随 x 的增大而减小直线 y kxb 与 y 轴的交点坐标为(0，b)，与 x 轴的交点坐标为(4)用函数观点看方程(组)与不等式任何一元一次方程都可以转化为axb0(a，b 为常数， a0) 的形式，所以解一元一次方程可以转

4、化为：一次函数ykxb(k，b 为常数， k0) ，当 y0 时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线ykxb，确定它与x 轴交点的横坐标二元一次方程组对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“ 数” 的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“ 形” 的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标任何一元一次不等式都可以转化axb0 或 axb0(a、b 为常数， a0) 的形式，解一元一次不等式可以看做：当一

5、次函数值大于0 或小于 0 时，求自变量相应的取值范围8反比例函数(1)反比例函数如果(k 是常数， k0) ，那么 y 叫做 x 的反比例函数(2)反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线(3)反比例函数的性质当 k 0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y 随 x 的增大而减小当 k 0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y 随 x 的增大而增大反比例函数图象关于直线y x 对称，关于原点对称(4)k 的两种求法若点 (x0，y0)在双曲线上，则 kx0y0 k 的几何意义：若双曲线上任一点A(x ，y)，AB x 轴于 B，则 S AOB (5)正

6、比例函数和反比例函数的交点问题若正比例函数yk1x(k1 0) ，反比例函数，则当 k1k20 时，两函数图象无交点；当 k1k20 时，两函数图象有两个交点，坐标分别为由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称1二次函数如果 y ax2bxc(a，b，c 为常数， a0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数几种特殊的二次函数：y ax2(a0) ； y ax2 c(ac 0) ； y ax2 bx(ab0) ； y a(xh)2(a 0)2二次函数的图象二次函数yax2bxc 的图象是对称轴平行于y 轴的一条抛物线由 yax2(a0) 的图象，通过平移可得到ya(xh)2k(

7、a 0) 的图象3二次函数的性质二次函数yax2bxc 的性质对应在它的图象上，有如下性质：(1)抛物线 yax2bxc 的顶点是，对称轴是直线，顶点必在对称轴上；(2)若 a0，抛物线 yax2bxc 的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y)，当 x 时， y 随 x 的增大而减小；当x 时，y 随 x 的增大而增大；当x ，y 有最小值；若 a0，抛物线yax2bxc 的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x， y)，当 x ，y 随 x 的增大而增大；当时，y 随 x 的增大而减小；当x 时，y 有最大值；(3)抛物线 yax2bxc 与 y 轴的交点为 (0，c)；

8、(4)在二次函数yax2bxc 中，令 y0 可得到抛物线yax2bxc 与 x 轴交点的情况：0 时，抛物线yax2bxc 与 x 轴没有公共点0 时，抛物线y ax2bxc 与x 轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点；当b24ac0，抛物线 y ax2bx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载c 与 x 轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是和，这两点的距离为；当当4抛物线的平移抛物线 ya(xh)2k 与 yax2 形状相同，位置不同把抛物线yax2 向上 (下)、向左(右)平移，可以得到抛物线

9、ya(xh)2k平移的方向、距离要根据h、k 的值来决定函数知识点总结( 掌握函数的定义、性质和图像) （一）平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征: 第一象限：（+，+）点 P（x,y ），则 x0,y 0；第二象限：（- ，+）点 P（x,y ），则 x0,y 0；第三象限：（- ，- ）点 P（x,y ），则 x0,y 0；第四象限：（+，- ）点 P（x,y ），则 x0,y 0；3、坐标轴上点的坐标特征： x轴上的点，纵坐标为零；y 轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点

10、不属于任何象限。4、点的对称特征：已知点P(m,n), 关于 x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号关于 y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于 x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于 y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。7、点 P（x,y ）的几何意义：点 P（x,y ）到 x 轴的距离为 |y|，点 P（x,y ）到 y

12、a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y）；将点（ x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）；将点（ x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x，yb）；将点（ x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x，yb）。注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。（二）函数的基本知识：基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和

13、y，并且对于x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量， y是 x 的函数。 *判断 A是否为 B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4、确定函数定义域的方法：（ 1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（ 2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（ 3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（ 4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

14、-第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载（ 5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。8、函数的

15、表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。（三）正比例函数和一次函数1、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数， k0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零 ) k 不为零 x 指数为 1 b取零当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当

16、k0 时，图像经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，向上平移；当 b0 ，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0 直线从左向右是向上的 k0 直线与 y 轴的正半轴相交 b0 ，y 随 x 的增大而增大；k0 时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当 b0，b0 2、k0，b0 3、k0，b0 4、k0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载4、直线 y=kxb(k 0) 与坐标轴的交点(1) 直线 y=kx 与 x 轴、 y 轴的交点都是(0，0) ；(2

17、) 直线 y=kxb 与 x 轴交点坐标为与 y 轴交点坐标为(0 ，b) 5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（ 2）将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.6、两条直线交点坐标的求法：方法：联立方程组求x、y 例题：已知两直线yx+6 与 y2x-4 交于点 P，求 P点的坐标？7、直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2 且 b1b2 （2）两

18、直线相交：k1k2（3）两直线重合：k1=k2且 b1=b2 平行于轴（或重合）的直线记作. 特别地，轴记作直线8、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数 y=kxb 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移 |b| 个单位长度而得到（当b0 时，向上平移；当b0 或 ax+b0 时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k0时，函数在x0 上同为减函数；k0 时，函数在x0 上同为增函数。定义域为x0；值域为y0。 3. 因为在y=k/x(k 0)中，x 不能为0， y 也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交

19、。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P， Q，过点P， Q分别作x 轴， y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1， S2，则 S1 S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载6. 若设正比例函数y=mx 与反比例函数y=n/x交于 A、B 两点（ m 、n 同号），那么 A B 两点关于原点对称。 7. 设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y

20、=mx+n，要使它们有公共交点，则 n2 +4km （不小于）0。（ k/x=mx+n ，即 mx2+nx-k=0 ） 8. 反比例函数y=k/x的渐近线：x 轴与 y 轴。 9. 反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称 , 并且关于原点中心对称. (第 5点的同义不同表述) 10. 反比例上一点m向 x、y 轴分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo （ o 为原点）的面积为|k| 11.k值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。（五）二次函数二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(

21、x)=ax2+bx+c(a不为 0) 。其图像是一条主轴平行于y 轴的抛物线。一般式 (已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.)y=ax2+bx+c(a0,a 、b、 c 为常数 ) ，顶点坐标为(-b/2a， (4ac-b2/4a) ；顶点式 (已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ) y=a(x+m)2+k(a 0,a 、m 、 k 为常数 ) 或 y=a(x- h)2+k(a 0,a 、h、 k 为常数 ) ，顶点坐标为（-m，k）或（ h,k ）对称轴为x=-m 或 x=h ，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式 (已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式)

22、y=a(x-x1)(x-x2) 仅限于与x 轴有交点A（ x1， 0）和 B （ x2 ， 0）的抛物线；抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点顶点抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ， 4ac-b2/4a ) ，当 -b/2a=0时， P 在 y 轴上；当 = b2-4ac=0时， P 在 x 轴上。开口精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。当 a 0 时，抛物线向上开口；当a0 时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。决定对

23、称轴位置的因素一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。当 a 与 b 同号时（即ab 0），对称轴在y 轴左；当 a 与 b 异号时（即ab 0），对称轴在y 轴右。（左同右异）c 的大小决定抛物线与轴交点的位置 . 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：，抛物线经过原点; , 与轴交于正半轴；, 与轴交于负半轴 . 直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线得交点为 (0, ). （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). （3）抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根. 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的

24、根的判别式判定：有两个交点抛物线与轴相交；有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；没有交点抛物线与轴相离 . （4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根 . （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载方程组有两组不同的解时与有两个交点 ; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点 . （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页

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