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1、垂直于弦的直径教案( 一)一、素质教育目标（一）知识教学点1使学生通过观察实验理解圆的轴对称性；2掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；3能初步应用垂径定理进行计算和证明（二）能力训练点1培养学生独立思考、勇于创新精神；2进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力（三）德育渗透点1结合本课教学特点，向学生进行美育教育；2逐步树立已知与未知，一般与特殊的思考方法二、教学重点、难点和疑点1重点：垂径定理及应用2难点：垂径定理的证明3 疑点：垂径定理的题设是 “直径垂直于弦” ， 学生容易忽略是 “直径”教师教学中要有意举一些容易错的例子，加深对定理的理解三、教学步骤（一）明确目标请同学们回答
2、下列问题：1如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做 _；那么这条直线叫做 _2等腰三角形是轴对称图形吗？3“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页教师利用提问 1，2的形式，复习轴对称图形的概念提问3的目的是引出本节课的第一个知识点在学生回答后， 引导学生观察电脑演示将圆对折的情形教师讲解将圆沿着一条直径对折，你观察到了什么情况？这时学生回答，教师板书圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴接着电脑继续演示，教师讲解：由图 7-9（1
3、）中 CD为O的直径；变到图 7-9（2）中在 O上任意取一点A；再变到图 7-9（3）从点 A作直径 CD的垂线交 O于另一个交点 B这时我们可以看出图（ 3）中的点 B与点 A是否是对称点呢？ A、B是关于什么对称教师进一步提出当直径CD垂直于弦 AB ，将能得到什么结论呢？这就是本节学习的内容“ 73 垂直于弦的直径（一）”教师这样引入课题的目的，使学生从认识上初步完成实验观察感性理性的认识过程逐步学会从实践中引入、从现象中抽象、从事实中概括，从而激发学生的学习动机（二）整体感知为了使学生进一步通过实验的观察，很快地概括出本课的教学内容，由图7-9（1）可知 CD所在直线是 O的对称轴；
4、到图 7-9（2）从O上取一点 A，过点 A作直径 CD的垂线交 O于点 B，得到图 7-9（3），这时沿着 CD折叠，引导学生观察重合部分， 学生纷纷猜想结论 通过实验观察猜想获得感性认识这个实验结论是否正确，还需要证明学生带着一种好奇心，积极主动参与到证明这个结论中去学生回答证明过程，教师板书已知：在 O中，CD是直径， AB是弦， CD AB ，垂足为 E求证： AE=EB ，= ，= 证明：连结 OA ，OB ，则 OA=OB又 CD AB ，直线 CD是等腰 OAB的对称轴，又是 O的对称轴所以沿着直径CD折叠时， CD两侧的两个半圆重合， A点和 B点重合，AE和 BE重合，、分别
5、和、重合因此， AE=BE ，= ，= 从而得到圆的一条重要性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧教师这样从设计电脑演示的全过程，目的是指导学生注重知识的发生、发展过程使学生在观察中不知不觉地接受了新知识，既获得了知识， 又产生了浓厚的兴趣（三）重点、难点的教学及目标完成过程垂径定理是由演示实验观察感性理性的全过程为了使学生能够真正理解垂径定理， 引导学生分析垂径定理的题设和结论，加深对定理的认识并强化用数学表达式表示出来：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这
6、条弦所对的两条弧21345把直径化分为（ 1）；把垂直于弦化分为（ 2）；把平分弦化为（ 3）；平分优弧化为（ 4）；平分劣弧化分为（ 5）为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：（1）过圆心；（ 2）垂直于弦；（ 3）平分弦；（ 4）平分弦所对的优弧；（ 5）平分弦所对的劣弧这样做目的是加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混接着为了巩固垂径定理，引导学生完成下面两道题例 1 如图 7-10，已知在 O中，弦 AB的长为 8cm ，圆心 O到 AB的距离为3cm ，求 O的半径教师分析：要求 O的半径，连结 OA ，只要求出 OA的长就可以了，因为已知条件点 O到 AB的距离
7、为 3cm ，所以作 OE AB于 E，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学生回答，教师板书计算过程解：连结 OA ，作 OE AB ，垂足为 EOE AB ，AE=EB AB=8cm ，AE=4cm 又OE=3cm ，在 RtAOE中，O的半径为 5cm 教师强调：从例 1 可以知道作“弦心距”是很重要的一条辅助线，弦心距的作用就是平分弦，平分弦所对的弧，它和直径一样求圆的半径问题， 要和弦心距， 弦的一半和半径构造出一个直角三角形，和勾股定理联系起来例 2 已知：如图 7-11，在以 O为圆心的两个同心圆中， 大
8、圆的弦 AB交小圆于 C、D两点求证 AC=BD 例 2 由学生分析证明思路，学生板书证明过程师生共同参与评价练习 1：教材 P78中 1 题练习 2：教材 P78中 2 题练习 1，2 两道题教师把题打在幻灯片上，由学生上黑板分析思路，学生之间展开评价 这样做给学生充分的表现机会，不是老师牵着学生走， 而是学生通过积极思维主动获得知识最后找两名同学上黑板写出证明过程，其它同学在练习本上完成 每小组派一名学生辅导有问题的学生，使不同层次的学生共同提高（四）总结、扩展精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页小结由学生完成，教
9、师进一步强调1本节课学习的知识点（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理及应用2方法上主要学习了（1）垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形（2）在圆中解决与弦有关问题经常作的辅助线弦心距（3）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足（1）过圆心；（ 2）垂直于弦；则可得（ 3）平分弦；（ 4）平分弦所对的优弧；（ 5）平分弦所对的劣弧四、布置作业教材 P84 中 11、12、13五、板书设计六、作业参考答案教材 P84 中 11作法： 1连结 OA ，2过 A作弦 CD ，CD为所求的弦证明： OA CD ，AC=AD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页教材 P84 中 12证明：作 OG EF ，垂足为 G 教材 P84 中 13解：连结 OA ，作 OD AB ，垂足为 D，交 O于 EOA=2cm 在 RtOAD 中，DE=OE-OD=2-1=1（cm ）答：这条弦中点到这弦所对的劣弧的中点的距离是1cm 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
