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1、学习必备欢迎下载平面向量一、向量的相关概念1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段（向量可以平移） 。如已知 A（1,2） ，B（4,2） ，则把向量AB按向量a（ 1,3）平移后得到的向量是_（3,0 ）2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_箭头所指的方向_表示向量的方向.用字母 a， b，或用AB ，BC ，表示（1）模：向量的长度叫向量的模，记作|a| 或| AB |. （2）零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0，注意 零向量的方向是任意的；（3）
2、 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与AB共线的单位向量是|ABAB)；（4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ab，规定零向量和任何向量平行。提醒 ：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！ （因为有0) ；三点ABC、 、共线AB AC、共线；（6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。零向量
3、的相反向量时零向量。二、向量的线性运算1. 向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a，b， 在平面内任取一点A，作ABa，BCb，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+bABBCAC。ABBCCDDEAE特殊情况：ababa+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAAaabbbabaAABBCC)2()3(对于零向量与任一向量a，有a00 a a（2）法则： _三角形法则 _，_平行四边形法则_ （3）运算律： _ a+b=b+a；_，_（a+b）+c=a+（b+c）._ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
4、- - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载当 a、b 不共线时，2. 向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 已知向量a、b，求作向量(a b) + b = a + (b) + b = a + 0 = a减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，作OA= a, OB= b, 则BA= ab （指向被减数）即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量注意：用“相反向量”定义法作差向量，ab = a+(-b) (b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一ab c a b = a + ( b) a b3. 实数与向量的积：（1）定义：实数与向量a的积
5、是一个向量，记作a，规定： | a|=| |a|. 当0 时，a的方向与a的方向相同；当0 时，a的方向与a的方向相反；当=0 时， a=0，a与a平行 . （2）运算律： （a）=（）a， （ +）a=a+a， （a+b） =a+b. 特别提醒：1)向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。2)向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=a，即bab=a（a 0）. 例题：1.(2010 ?四川 )设点 M是线段 BC的中点 , 点 A在直线 BC外,2BC =16, | |,ABACABAC则|AM|=() A.8B.4 C.2D.1 解析 :由| |ABAC
6、ABAC可知 ,AB,AC则 AM为 RtABC斜边 BC上的中线 ,因此 ,|1|2,2AMBC选 C. 答案 :C 2. 已知 ABC中, 点 D在 BC边上 , 且2,CDDB CDr ABsAC则 r+s 的值是 () 24.33AB C.-3 D.0 解析 :2CDDB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载22()33CDCBABAC22,33CDABAC又,CDr ABsACr=22,33s, r+s=0. 故选 D. 答案 :D 3. 平面向量a,b 共线的充要条件是() A.a,b 方向相
7、同B.a,b 两向量中至少有一个为0 C.存在 R, 使 b=a D.存在不全为零的实数1, 2, 使1a+2b=0 解析 :a,b 共线时 ,a,b方向相同或相反, 故 A错 .a,b共线时 ,a,b 不一定是零向量, 故 B错. 当 b=a 时,a,b 一定共线 ,若 b0,a=0. 则 b=a 不成立 , 故 C错. 排除 A、B、C,故选 D. 答案 :D 4. 已知 O?A?B 是平面上的三个点, 直线 AB上有一点C,满足20,ACCB则OC等于( ) .2.22112.3333AOAOBBOAOBCOAOBDOAOB解析 :22(),OCOBBCOBACOBOCOA2,OCOAO
8、B故选 A. 答案 :A 5. 设 D?E?F 分别是 ABC的三边 BC 、CA 、AB上的点 , 且2,2,2,DCBD CEEA AFFB则ADBECF与()BCA.反向平行B.同向平行C.不平行D.无法判断解析 :12,332,3ADABBDABBC BEBCCEBCCACFCAAFCAAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载55433354541().33333ADBECFABCABCABCABCCBBCBC故选 A. 答案 :A 练习题组一向量的基本概念1.给出下列六个命题：两个向量相等，则
9、它们的起点相同，终点相同；若 |a|b|，则 ab；若ABDC，则四边形ABCD 为平行四边形；在 ?ABCD 中，一定有ABDC；若 mn，np，则 mp；若 ab，bc，则 ac，其中不正确的个数是() A2 B 3 C4 D5 2下列四个命题，其中正确的个数有() 对于实数m 和向量 a，b，恒有 m(a b) mamb对于实数m，n 和向量 a，恒有 (mn)amana若 mamb(m R)，则有 ab若 mana(m，nR，a0)，则有 mnA1 个B2 个C3 个D 4 个题组二向量的线性运算3.若 A、B、C、D 是平面内任意四点，给出下列式子：ABDCBCDA；ACBDBCAD
10、； ACBDDCAB. 其 中 正 确 的 有() A0 个B1 个C2 个D3 个4如图所示， D 是 ABC 的边 AB 的中点，则向量CD()ABC12BABBC12BACBC12BAD. BC12BA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载c. 题组三向量的共线问题7.(2009湖南高考 )对于非零向量a、b， “ab0”是“ ab”的() A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8设 e1、e2是平面内一组基向量，且ae12e1、b e1e2，则向量e1e2可以表示另一组基向量a、b 的线性组合，则e1e2_a_b. 题组四向量线性运算的综合应用9.已知平面上不共线的四点O、 A、 B、 C.若OA 4OB3OC0， 则ABBC_ A.13B.12C2 D3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
