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第六节 克拉默(Gramer)规那么(1)是关于未知量 的一个线性方程组,其中 是第i个方程中第j个未知量的系数, 为第i个方程的常数项(i,j=1,2,n)。定理克莱姆规那么 假设线性方程组1的系数行列式那么它有且仅有一个解:其中 1jn)是把D的第j 列换成常数 ,其他各列不变得到的行列式。 2证明 我们先证(2)是方程组(1)的一个解,从而(1)有解。把 代入1中第i个方程，得3把 按第1列展开,留意到 除第1列外,其他各列都与D的相应列一样,所以 的第1列元素的代数余子式就是D的第1列对应元素的代数余子式因此同理把它们 代入(3)式,得:+即第 i个方程变成了恒等式, i=1,2,n。从而2是方程组1的一个解。下证方程组1的解独一。为此，任取1的一个解 ，我们来证现实上，由于 是方程组1的一个解，所以在这组恒等式中，分别用 乘以第1，2，,n个等式的两边,得 把这个等式左、右两边分别相加，由上节定理1和定理2，得由于D0，所以 ，j =1,2,n。因此2是方程组1仅有的一个解。例1 解线性方程组解: 由于所以原方程有独一解.又由于所以原方程组的解为留意:可用克莱姆规那么求解的线性方程组要有两个条件:一是方程的个数与未知量的个数相等;二是系数行列式不等于零.
