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1、学习好资料欢迎下载用超级画板探究圆锥曲线中的动点轨迹问题数统学院 - 数学与应用数学（师范）- 牟勇 -2008211904 圆锥曲线是高中课标中的重要内容，也是高考的重要考点之一，每年高考中几乎都有一道举足轻重的解答题，常常作为压轴题出现，尤其是曲线轨迹问题的探求问题更是令考生头疼的问题，他需要考生综合运用解析几何的各项内容，因为考察全面使这类题型问题成为高考的热点问题之一。这类题型出题类型往往变化多，题型的综合性程度高成为广大高考生的比较畏惧的题型 那么我们能不能借助超级画板这款优秀的数学软件来帮助我们认识和学习这类问题呢？今年暑假我接受一个高二的家教，那个学生问我一道大体是这样的题目：说
2、抛物线的一条焦点弦与抛物线有两交点，过着两交点的切线会有一个交点，他问在这条焦点弦变化的时候，这个交点的轨迹是什么，当时自己虽比较顺利的帮他解决了这个问题，但感觉方法比较麻烦 在接触到超级画板，知道了用超级画板解这种题目的方法之后，我特意把这个软件拷过去，安装在他家的电脑了，具体演示给他看，当时他真是兴奋，直叫绝，我当然也很兴奋了。我还顺带发挥了一下，将椭圆和双曲线的情况也给他拓展演示了一下，在此基础上给他讲了具体的书面解法，这样一来， 这一类的问题就解决了。之后他还嚷嚷着让我叫了他一些其他的超级画板的基本操作，说他以后要自己用。我也就顺水做了个人情，将我所知道的和盘推出，后来他妈跟我说，他孩
3、子挺佩服我的，说我太强了。我当时听着心里头真是爽啊，很自豪很有成就感。 （这里面当然很大一部分是彭老师您教导有方的结果）正好这次作业要做一个这样的题目，我就顺便把这些问题拓展丰富一下，完成一个比较系统的思路和方法。从高中关于圆锥曲线的定义，我们显然可以看到很深的动点运动轨迹的痕迹，根据我们高中老师的讲授和我们所学习到的知识，求解这类试题的基本方法是利用求轨迹方程的一般方法： 建系，设点找等量关系式代入坐标得方程化简方程，求得动点的轨迹方程首先我们举个例子来看一下有平面解析几何的方法怎样来解这样的题目。例： （1999年高考题）如图，给出定点)0(0 ,Aaa ）（和直线1:xlB 是直线l上的
4、动点， BOA 的角平分线交AB 于点 C求点 C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系常规方法解题思路是：解：依题意，记，则直线OA 和 OB 的方程分别为设点),(Cyx，则有ax0，由 OC 平分 AOB ，知点 C 到 OA、OB 距离相等，根据点直线的距离公式得：依题设，点C 在直线 AB 上，故有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载由，得将式代入式得：整理得：若，则；若
5、 y=0，则 b=0， AOB= ，点 C 的坐标为（ 0，0） ，满足上式综上得点 C 的轨迹方程为：当 a=1时，表示抛物线的一段；当a1时，由此可知，当0a1时，方程表示双曲线一支的弧段可以看到解题思路是相当繁琐和复杂的，主要思路就是上面所说的设点，根据题设给出的条件列出等式，然后对等式进行化简，求得轨迹方程。 下面我们是这样超级画板这个工具解决这个问题试试看。在超级画板中作出相应的点线，之后使用 LOCOU 命令便可得到图像，之后改变点A的位置，重复locus 命令，得到不同的轨迹图像（a=2.581) （SuperSketchpad20-21 ）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下
6、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载a=1时a=0.74时通过上面的三个图我们很容易在a 的值变化时，看出点C 的轨迹变化情况。正好符合上面的书面证明。下面我们来解决一下文章刚开始所提到的问题：已知一椭圆方程12222byax，点 A 为其一焦点（ c,0),，点 C 为椭圆上的一动点，直线CD为椭圆过 A 点的焦点弦，交椭圆于CD 两点，分别过这两点做椭圆的切线，两条切线相交于点 H，试求点 C 在椭圆上运动时，H 点的轨迹类型及方程
7、。一，圆锥曲线为椭圆时名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载这样将动点的轨迹一画出来，轨迹当然是很显然就看出来是一条直线。而如果只凭大脑中的主观想象，是很难由此直观想象得出的。二，我们再拓展延伸一下在圆锥曲线变成双曲线和抛物线时，动点的轨迹会是个什么样子。在圆锥曲线为双曲线时，同样在超级画板中，画出动点的轨迹名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
8、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载很显然，这使得动点轨迹仍然是一条直线。那么这时候我们是不可以直接猜想，在圆锥曲线是条抛物线时，轨迹仍然是一条直线了。下面我们就来实验一下看看结果。三，在圆锥曲线为抛物线时，答案证明我们的猜想是正确的。我们再来看一道例题看一下超级画板解这种题目的综合应用（1995 年高考题）已知椭圆如图11624x22y，直线1812yxP 是 l 上一点，射线OP交椭圆于点R，又点 Q 在 OP 上且满足2*OROQOP，当点 P 在 l 上移动时， 求点 Q 的轨迹方程
9、，并说明轨迹是什么曲线（1）调用文本命令“ConicOfEquation(x2/24+y2/16=1, );” ，生成一椭圆；在调用文本命令“ LineOfEquation(x/12+y/8=1, );”生成直线的图像，任意选取点P，接着将相应的点标注在图上；最后调用文本命令“CircleOfRadius(1,m000*m000/m001 , ); ”生成相应的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载圆
10、形。测量线段OP ，OR ，OQ的长。之后使用文本命令“Locus(7, 14, , , , , );” ，做出轨迹，或直接做点P的动画，找出Q点的轨迹。下面是所做的截图：我们很容易看出这是一个椭圆，不放心的话， 我们还可以使用复杂的平面解析几何的方法加以书面证明，这里就不加赘述了。【结语】超级画板作为数学的一种专业软件，它的的知识性，智能性，资源性等特征在这些类型的题目解决过程中展示了巨大效用，这显然有着传统学习方式无法比拟的优势，让我们不得不感慨现代科学技术的巨大力量和魅力。这个学期我们幸运的选修了这们课程，让我们有机会学习它，并且应用它，这对我们显然是有相当大帮助的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -
