《2022年数学分析教案第十八章隐函数定理及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数学分析教案第十八章隐函数定理及其应用（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载第十八章隐函数定理及其应用教学目的： 1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数；2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。教学重点难点 ：本章的重点是隐函数定理；难点是隐函数定理的证明。教学时数： 14 学时1 隐函数一隐函数概念： 隐函数是表达函数的又一种方法. 1.隐函数及其几何意义 : 以为例作介绍 . 2.隐函数的两个问题 :隐函数的存在性 ; 隐函数的解析性质. 二.隐函数存在条件的直观意义: 三.隐函数定理 :精选学习资料
2、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理) 若满足下列条件 : 函数在以为内点的某一区域D上连续 ; ; ( 通常称这一条件为初始条件) 在 D 内存在连续的偏导数; . 则在点的某邻域()D 内 , 方程唯一地确定一个定义在某区间内的隐函数, 使得,时()且.函数在区间内连续 . ( 证 )四.隐函数可微性定理 : Th 2 设函数满足隐函数存在唯一性定理的条件, 又设在 D 内存在且连续 . 则隐函数在区间内可导 , 且. ( 证 ) 精选学习资料 - - - - - - - -
3、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载例 1 验证方程在点满足隐函数存在唯一性定理的条件, 并求隐函数的导数 . P149 例 1 例 2 . 其中为由方程所确定的隐函数 . 求. P150 例 2 ( 仿 ) 例 3 ( 反函数存在性及其导数) 设函数在点的某邻域内有连续的导函数, 且, . 用隐函数定理验证存在反函数 , 并求反函数的导数 . P151 例 4五. 元隐函数 : P149 Th3 例 4. 验证在点存在是的隐函数 , 并求偏导数 . P150 例 3隐函数组一隐函数组： 从四个未知数两个方程的方程组入手介绍隐函数组，一般形式为*二
4、.隐函数组定理 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载分析从上述线性方程组中解出和的条件入手, 对方程组 *在一定条件下拟线性化, 分析可解出和的条件 , 得出以下定理 . Th 1 ( 隐函数组定理) P153 Th 4.例 1P154 例 1.三.反函数组和坐标变换 :1.反函数组存在定理 : Th 2 (反函数组定理) P155 Th 52.坐标变换 : 两个重要的坐标变换 .例 2 , 3 P156157 例 2 , 3 .3 几何应用一.平面曲线的切线与法线: 设平面曲线方程为. 有. 切线
5、方程为, 法线方程为. 例 1求 Descartes 叶形线在点处的切线和法线 . P159 例 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载二.空间曲线的切线与法平面: 1.曲线由参数式给出: . 切线的方向数与方向余弦. 切线方程为. 法平面方程为. 2. 曲线由两面交线式给出: 设曲线的方程为点在上. 推导切线公式 . 1P209. 切线方程为. 法平面方程为. 例 2P161 例 2 .三.曲面的切平面与法线: 设曲面的方程为, 点在上. 推导切面公式.1P211. 切平面方程为. 精选学习资料
6、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载法定义域线方程为. 例 3P162 例 3 .4 条件极值一.条件极值问题: 先提出下例 : 例要设计一个容积为的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小 . 分别以、和表示水箱的长、宽和高, 该例可表述为 : 在约束条件之下求函数的最小值 . 条件极值问题的一般陈述 . 二. 条件极值点的必要条件: 设在约束条件之下求函数的极值 . 当满足约束条件的点是函数的条件极值点, 且在该点函数满足隐函数存在条件时 , 由方程决定隐函数,于是点就是一元函数的极限点, 有.
7、 代入, 就有, ( 以下、均表示相应偏导数在点的值 . ) 即, 亦即 (, ) ,). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载可见向量 (, )与向量, )正交. 注意到向量, )也与向量, )正交, 即得向量 (, )与向量, )线性相关 , 即存在实数, 使(, ) + , ). 亦即二.Lagrange 乘数法 : 由上述讨论可见, 函数在约束条件之下的条件极值点应是方程组的解.倘引进所谓 Lagrange 函数, ( 称其中的实数为 Lagrange 乘数 ) 则上述方程组即为方程组以三元函数, 两个约束条件为例介绍Lagrange 乘数法的一般情况 .四、用 Lagrange 乘数法解应用问题举例: 例 1求容积为的长方体形开口水箱的最小表面积 . P166 例 1 例 2抛物面被平面截成一个椭圆 . 求该椭圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载到坐标原点的最长和最短距离 . P167 例 2 例 3求函数在条件下的极小值. 并证明不等式, 其中为任意正常数 .168 例 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
