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1、学习必备欢迎下载圆锥曲线方程单元知识总结【知识结构】【命题趋势分析】从近三年高考情况看，圆锥曲线的定义、方程和性质仍是高考考查的重点内容，三年平均占分20 分，约为全卷分值的13.3%，在题型上一般安排选择、填空、解答各一道，分别考查三种不同的曲线，而直线与圆锥曲线的位置关系又是考查的重要方面。例 1（20XX 年江苏卷理科第13 题）椭圆5522kyx的一个焦点是（0，2） ，则k_ 。分析本题主要考查椭圆的标准方程，先将其化为标准形式，然后求解。解椭圆方程即11522xkyka5212b， 由21522kbac解得 k=1。点评由焦点在y 轴上， 其标准方程应化为12222bxay的形式，
2、若此题变化为：已知曲线5522kyx的焦距为4，则 k_ 。则应分两种情况讨论： （1）若为椭圆， 则 k=1； （2）若为双曲线， 方程即为15122kyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载12a，由kb52，由25122kbac，得35k。例 2（20XX 年全国卷理科第14 题）双曲线116922yx的两个焦点为21FF，点 P在双曲线上， 若21PFPF， 则点 P 到 x 轴的距离为 _ 。分析本题主要考查双曲线的定义，从“形”的角度看， 只需求出21FPFRt斜边21FF上的高，可用第一
3、定义求解；从“数”的角度看，只需求出点P 的纵坐标0y，先利用第二定义即焦半径公式表示出|1PF，|2PF，由勾股定理求出0x，再代入双曲线方程即可求出0y的值；由于点P在以21FF为直径的圆上，因此，解决本题一个最基本的方法，则是利用交迹法求出点P。解法一设nPFmPF|21，且由双曲线的对称性不妨设点P 在第一象限， 则mn=2a6 ，1004222cnm，2得 2mn=64， mn=32，作 PQ x 轴于 Q，则在21FPFRt中，5161032|21FFmnPQ，即点 P到 x 轴的距离为516，解法二设)00)(0000yxyxP，由第二定义可得aexcaxePF0201|，aex
4、caxePF0202|，21PFPF，220204)()(caexaex，即222022acxe，这里 a=3 c=5 35e，代入得41530x。由双曲线方程得2525619162020xy，5160y。解法三设)00)(0000yxyxP，21PFPF点 P 在以21FF为直径的圆上，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载252020yx，又点 P 在双曲线上，1449162020yx，由，消去20x，得2525620y，5160y。点评（1）由双曲线的对称性，可将点 P 设定在第一象限内，而不必
5、考虑所有的情况。（2）解题的目标意识很重要，例如在解法一中只需整体求出mn 的值，而不必将m，n解出；在解法三中只需求0y即可；（3）在三种解法中，以解法三最简洁，因此，最基本的方法有时也是最有效的方法。（ 4）如果将问题改为：当21PFF为钝角时，点P的横坐标的取值范围是_ 。那么， 可先求出使21PFPF时的点 P 的横坐标为41530x，由图形直观及双曲线的范围可得，2000 年高考理科第14 题考查了椭圆中与此类似的问题。例 3（2000 年全国卷理科第11 题）过抛物线)0(2aaxy的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段PF 与 FQ 的长分别是p、q，则qp11等于
6、（）A2a Ba21C4a Da4分析此题主要考查抛物线的定义与标准方程，可利用焦半径公式来解决。解抛物线方程即yax12，记ma41，则 F （0，m） ，而直线 PQ 的方程可设为x=k（ym） ，代入抛物线方程myx42得0)2(222222mkmykyk，设)()(2211yxQyxP，则2212221,)2(2myymkkyy而myqmyp21，于是，mkkmmkkmyyqp222221)1(42)2(22，2222212121)1(4)()(mkkmyymyymymypq。故，ampqqpqp4111。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
7、- - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载当 k=0 时，易证结论也成立，因而选C。点评（1）由于所给抛物线的焦点在y 轴上，故其焦点是)410(a，焦半径公式是ayPF41|1，而不能写成axPF41|1。 （2）解题中， 令ma41以及将直线PQ 的方程设为x=k（ym） ，都是为了简化运算。 （3）作为一道选择题，如此解法显然是不经济的，可以利用上节例5 中的结论3 直接得出结果，因此，记住一些重要结论，对提高解题效率无疑是有益的。 （4）特例法也是解选择题的常用的解题方法，本题只需考虑PQ/x 轴，即为通径的情况，可立即得出结果。例 4（20XX 年全国卷理科第19 题）设抛物
8、线)0(22ppxy的焦点 F，经过点F的直线交抛物线于A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且BC/x 轴，证明直线AC 经过坐标原点 O。分析本小题主要考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力，证明三点共线，只须证明OC、 OA 两直线的斜率相等，也可利用抛物线的性质证明 AC 与 x 轴的交点N 恰为 EF 的中点，从而N 与 O 重合，证得结论。解法一易知焦点)02(，pF，设直线AB 的方程是2pmyx，代入抛物线方程得0222pp m yy设)()(2211yxByxA，则221pyy，即122ypy。因 BC/x 轴，且 C 在准线 1 上，故点)2(2
9、ypC，且1212pxy，从而pyx2211，从而1122222ypypppykOC，12111122yppyyxykOA，于是，OAOCkk，从而 A、O、C 三点共线，即直线AC 经过原点O。解法二如图，设准线 1交 x 轴于点 E， AD 1于 D， 连 AC 交 EF 于点 N， 由 AD/EF/BC ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载得|ABBFACCNADEN，即|ABBFADEN，|ABAFBCNF，即|ABBCAFNF，又由抛物线的性质可知，|AD|=|AF| ， |BC|=|BF
10、|，代入可得|EN|=|NF|，即 N 为 EF的中点，于是N 与点 O 重合，即直线AC 经过原点O。点评（1）本例解法一利用曲线的方程研究曲线的性质，充分体现了用坐标法研究几何问题的基本思想，而解法二则充分利用了抛物线的几何性质及相似三角形中的有关知识。（ 2）在解法一中，直线AB 方程的设法值得推崇，从思路分析看，若证OCOCkk，即证1122xypy，将pyx221代入后即证1222yppy，即证221pyy，为此应通过直线AB的方程及抛物线方程pxy22联立消去x 得到关于y 的一元二次方程，解法一中的这一设法，既回避了直线方程的变形过程使运算简单，同时也回避了当AB x 轴的情况的
11、讨论，若将 AB 方程设为)2(pxky，则必须对 k 不存在的情况作出说明。 （3）试验修订本 （必修） 数学第二册（上）123P习题 86 第 6 题是：过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过点 P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证直线 MQ 平行于抛物线的对称轴，可见，这道高考题实际上是课本习题的一个逆命题，同学们在平时的学习中，对课本典型例题，习题要加强研究。例 5（20XX 年江苏卷第20 题）设 A、B 是双曲线1222yx上的两点，点N（1，2）是线段 AB 的中点。（1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C、D 两点，那么A、B、C、D
12、 四点是否共圆？为什么？分析本题主要考查直线、圆及双曲线的方程和性质，运算能力和综合运用所学知识解决问题的能力。求直线AB 的方程， 可以设出其点斜式，与双曲线方程联立消元，利用韦达定理及中点公式求出其斜率，由于涉及“中点弦”问题，亦可利用“设而不求”法解决。对于第（ 2）小题，根据图形特征，若四点共圆，则CD 必为其直径，至少可有以下三种解题思路：（1）判断 CD 中点到四点是否等距； （ 2）判断是否有AC AD ； （3）判断 A、B 两点是否以 CD 为直径的圆上。解（1）解法一：设AB：y=k（x1）+2 代入1222yx，整理得02)2()2(2)2(222kxkkxk。设)()(
13、2211yxByxA，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载022k，且2212)2(2kkkxx因 N（1，2）是 AB 的中点，故221xx，于是22)2(22kkk，解得 k=1，从而所求直线 AB 的方程为y=x+1 。解法二：设)()(2211yxByxA，代入双曲线方程得)()(2, 2222212121212222121yyyyxxxxyxyx。因 N（1，2）为 AB 的中点，故221xx，421yy，将它们代入上式可得2121yyxx，从而1ABk，于是直线AB 的方程为y=x+1
14、。（2）将 k=1 代入方程得，0322xx，解得11x，32x。由 y=x+1 得，01y，42y，即 A（ 1，0） ，B（3，4） ，而直线 CD 的方程是y1=（ x2） ，即 y=3x，代入双曲线方程并整理得01162xx设)()(4433yxDyxC，则643xx，1143xx。解法一：设CD 中点为)(00yxM，则32430xxx，于是6300xy，即 M（ 3，6） 。因243243243)(2)()(|xxyyxxCD1044)(243243xxxx故102|MDMC。又243243243)(2)()(|xxyyxxMBMA1044)(243243xxxx即 ABCD 四点
15、与点M 的距离相等，从而A、B、C、 D 四点共圆。解法二：由643xx，1143xx得，12)3()3(4343xxxx，16)3)(3(4343xxyy，故11)(114343434433xxxxyyxyxykkADAC，即 ACAD 。由对称性可知，BCBD ，于是 A、B、C、 D 四点共圆。解法三：以CD 为直径的圆的方程是0)()(4343yyyyxxxx，即0)()(4343434322yyxxyyyxxxyx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载将643xx，1143xx，1243xx
16、，1643xx，代入得0512622yxyx，即40)6()3(22yx。因40)60()31()6()3(222121yx，40)64()33()6()3(222222yx，故 A、B 在以 CD 为直径的圆上，即A、B、C、D 四点共圆。点评（ 1）处理直线与圆锥曲线相交问题时，要重视韦达定理的应用。（2） “设而不求”是解决“中点弦”问题常用的方法，通过“设而不求”可以建立弦所在直线的斜率与弦的中点坐标之间的关系，本题已知中点坐标，即可确定出直线的斜率。（3）判断四点共圆的方法很多，注意从多种不同的角度进行思考，锻炼思维的灵活性。【典型热点考题】1探究例 6设21FF、分别是椭圆3422
17、yx的左、右焦点，试问：在椭圆上是否存在一点P，使得9021PFF？为什么？分析根据点 P 满足的条件，探究是否能够将点P 的坐标求出，若能，则存在；若不能，则不存在，求P 点坐标，有以下两条思路：思路一设)(00yxP，用焦半径公式将|1PF，|2PF用0x表示，由2212221|FFPFPF，探求0x是否存在。思路二由9021PFF知，点 P 在以21FF为直径的圆上，只须考察该圆与椭圆是否存在公共点。思考：画一个较为准确的图形，不难发现，圆122yx与椭圆14422yx没有公共点，所以这样的点P 是不存在的，关键是这个椭圆太“圆”了，由此引发我们思考：为使点 P 存在，椭圆应尽量“扁”一
18、些，也即其离心率应该较大，于是我们可以去思考一个一般性的问题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载一般化：若椭圆)0( 1222babyax上存在一点P，使得9021PFF，求离心率 e 的取值范围。利用例 6 提供的两个思路均可得到)122，e，从而验证了我们的猜想。再思考：考察点P从长轴端点2A始沿椭圆运动至1A的过程，21PFF由 0逐渐增大后又逐渐减小为0，猜想在某一位置必然取得最大值，试问：这个最大值是多少？又在何处取得？从椭圆的对称性来看，我们可以猜想：当点P 在短轴端点B 处时，21PF
19、F取得最大值，是不是这样呢？利用焦半径公式及余弦定理不难验证这一猜想是正确的。若设21PFF，我们有12cos22ab。回头看，在例6 中，42a，32b，代入可得21cos，故 0 60，可见使=90的点 P 是不存在的。又一个问题：若椭圆1222byax上存在一点P，使12021PAA（1A、2A为长轴端点），求离心率e的取值范围。分析21PAPA、不再是椭圆的焦半径，按照例 6 中的思路一已经不能解决问题，但是我们知道， 使12021PAA的点 P是轨迹是关于21AA对称的两段圆弧，可先求出圆弧所在圆的方程，然后按照思路二进行研究，下面我们给出这一问题的解答。解由对称性，不妨设)0)(0
20、00yyxP，则axykPA001，axykPA001，由到角公式得12121120PAPAPAPAkkkktg，即3100000000axyaxyaxyaxy，整理得，32220200ayxay。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载又1220220byax，故2022220ybaax。代入得，22032caby。因点 P 在椭圆上，故by00，即bcab2232，从而232cab，即42223)(4ccaa，也就是044324ee，从而322e，解得36e，又 0e4，所以此车能通过此隧道。点评（1）实际问题应转化为数学问题来处理，此处通过建立坐标系转化为解析几何精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载中的问题。（2）建系应恰当，尽量使方程为标准方程，分析问题时注意考虑图形的对称性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
