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1、第八节二阶常系数非齐次线性微分方程 一、二阶常系数非齐次线性方程解法一、二阶常系数非齐次线性方程解法 第十二章第十二章 分析分析 由线性微分方程解的结构定理知，求由线性微分方程解的结构定理知，求(8.1)的通解的关键是求与的通解的关键是求与(8.1)对应的齐对应的齐次线性方程次线性方程(8.2)的通解的通解Y 及及 (8.1)的一个的一个特解特解y*.二阶常系数非齐次线性方程：二阶常系数非齐次线性方程：一、二阶常系数非齐次线性方程解法一、二阶常系数非齐次线性方程解法对应齐次线性方程对应齐次线性方程:(8.1)的通解结构的通解结构:如何求如何求(8.1)的特解？的特解？ 方法：方法：待定系数法待
2、定系数法.类型类型1 k 非特征根非特征根0特征单根特征单根1特征重根特征重根2推导如下：推导如下：设非齐次线性方程设非齐次线性方程(8.1)的特解为的特解为x的待定的待定多项式多项式代入方程代入方程(8.1), 得得综上所述：综上所述：注注上述结论可推广到上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程微分方程(k 是重根次数是重根次数).例例1解解不是特征根，不是特征根，是特征单根，是特征单根，由解的叠加原理，由解的叠加原理，解解2 对应齐次线性方程通解对应齐次线性方程通解1特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程, 得得例例2例例3解解(1)(2)(2)之通解：之通解
3、：代入代入(1)，得，得故故(1)有特解：有特解：(1)的通解为：的通解为：另另法法:方程方程(1)为为:(2)之通解：之通解：代入代入(1)，得，得故故(1)有特解：有特解：(1)的通解为：的通解为： = +i k非非特征根特征根0特征根特征根1类型类型2引理引理利用利用欧拉公式，欧拉公式，得得均为实系数多项式，则均为实系数多项式，则其中其中例例4解解解解2 对应齐次线性方程的通解对应齐次线性方程的通解例例513 求非齐次线性方程的特解求非齐次线性方程的特解(方法方法1)代入原方程，得代入原方程，得比较同类项系数：比较同类项系数：从而原方程有特解：从而原方程有特解：故原方程通解为故原方程通解
4、为(方法方法2)作辅助方程作辅助方程代入代入式，得式，得故原方程通解为故原方程通解为例例6(综合题综合题)解解 的通解为的通解为的特解为的特解为代入代入，得，得故故有特解：有特解：的的通解为：通解为：内容小结内容小结待定系数法：待定系数法：只含上式一项解法：只含上式一项解法： 作辅助方程作辅助方程, ,求特解求特解, , 取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部, , 得原得原非齐方程特解非齐方程特解. .1. 写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式. . 思考题思考题设设 的特解为的特解为设设 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为特征根特征根（重根）（重根）解解 (1) 题中所给方程为积分方程题中所给方程为积分方程,根据积分方程根据积分方程的特点的特点, 应先将方程两端对应先将方程两端对 x 求导求导.例例2-2分析分析把问题转化为求微分方程满足一定初始条件的解把问题转化为求微分方程满足一定初始条件的解;(2) 方程右端的积分中方程右端的积分中,被积函数出现被积函数出现 x ,相对与积分变量相对与积分变量 t 而言而言, x 可看作常数可看作常数.可以将它可以将它提到积分号外提到积分号外, 然后求导然后求导.备用题备用题解解例例6-1解解(方法方法1)(方法方法2)
