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1、同济大学第五版高等数学同济大学第五版高等数学( (下下) )课件课件D93D93三重积分三重积分一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 引例引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,求分布在 内的物质的可得“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M .密度函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结小结: 三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次积分三次积分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函
2、数及积分域的特点灵活选择. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分所围成的闭区域 .解解:面及平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算三重积分解解: 用用“先二后一先二后一 ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离
3、变量互相分离.机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中为由例例3. 计算三重积分所围解解: 在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 计算三重积分解解: 在柱面坐标系下所围成 .与平面其中由抛物面原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面机动 目录 上页 下页 返回 结束 如图所示, 在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时变
4、量互相分离变量互相分离.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算三重积分解解: 在球面坐标系下所围立体.其中 与球面机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求曲面所围立体体积.解解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,利用对称性, 所求立体体积为yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xoz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* * 说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成 ;机
5、动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 将用三次积分表示,其中由所提示提示:思考与练习思考与练习六个平面围成 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设计算提示提示: 利用对称性原式 = 奇函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 设由锥面和球面所围成 , 计算提示提示:利用对称性用球坐标 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P106 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); 10 (2) ; 11 (1),(4)第四节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 计算所围成. 其中 由分析分析：若用“先二后一”, 则有计算较繁! 采用“三次积分”较好.机动 目录 上页 下页 返回 结束 所围, 故可 思考思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便? 表为 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 计算其中解解:利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！28
