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1、学习必备欢迎下载近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如. 下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上. 例 1 已知 O是平面上一定点， A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则 P的轨迹一定通过 ABC的（）外心内心 C 重心 D 垂心解析：如图1，以 AB ，AC为邻边构造平行四边形ABCD ，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为，所以，上式可化为，E在直线 AP上， 因为 AE为的
2、中线， 所以选 C. 点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合. 二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上. 例 2 P 是ABC所在平面上一点，若，则 P是ABC的（） . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载A 外心 B内心 C重心 D 垂心解析 : 由. 即. 则，所以 P为的垂心 . 故选 D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识. 将三角
3、形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合. 三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上. 例 3 已知 P是ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过 ABC的. A 、重心 B、垂心 C、外心 D、内心解析：如图2 所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知 AP平分，那么在中， AP平分，则知选 B. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载点评：这道题给
4、人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉， 又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了. 四、外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上 . 例 4 已知 O是ABC内的一点，若，则 O是ABC的. A 重心 B. 垂心 C. 外心 D.内心解析：，由向量模的定义知到的三顶点距离相等. 故是的外心，选 C. 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与
5、平面向量向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合， 而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点， 因此可称为高中数学的一个交汇点。三角形的“四心” （外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：设,0，则向量)(ACACABAB必平分 BAC ，该向量必通过ABC的内心 ; 设,0，则向量)(ACACABAB必平分 BAC的邻补角精选学习资料 - - - -
6、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载设,0，则向量)coscos(CACACBABAB必垂直于边BC ，该向量必通过ABC的垂心ABC中ACAB一定过BC的中点，通过ABC的重心点O是 ABC的外心222OCOBOA点O是 ABC的重心0OCOBOA点O是 ABC的垂心OAOCOCOBOBOA点O是 ABC的内心0OCcOBbOAa (其中 a、b、c 为 ABC三边 ) ABC的外心O、重心G、垂心H共线，即OGOH设O为 ABC所在平面内任意一点，G为 ABC的重心，I 为 ABC的内心，则有)(31OCOBOAOGcbaOC
7、cOBbOAaOI并且重心G （XA+XB+XC3，YA+YB+YC3）内心 I （aXA+ bXB+ cXCa+b+c，ayA+ byB+ cyCa+b+c）例 1： （2003 年全国高考题）O是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三点，动点 P满足)(ACACABABOAOP，,0， 则动点 P的轨迹一定通过ABC的 （）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上如图设,ABABAEACACAF都是单位向量易知四边形AETF是菱形故选答案 B 例 2： （ 2005 年北京市东城区高三模拟题）O为 ABC 所在平面内一点，如果OAOCOCOBOBOA，则 O必为 ABC的（）（
8、A）外心（B）内心（C ）重心（D）垂心事 实上00)(OBCAOBOCOAOCOBOBOAOB CA 故选答案D A F E C T B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载例 3：已知 O 为三角形ABC 所在平面内一点，且满足222222ABOCCAOBBCOA，则点 O 是三角形 ABC 的（）（A）外心（B）内心（C ）重心（D）垂心事实上由条件可推出OAOCOCOBOBOA故选答案D 例 4：设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点 P满足)coscos(CACACBABAB
9、OAOP，,0，则动点 P的轨迹一定通过 ABC的（）（A）外心（B）内心（C ）重心（D）垂心事实上0)()coscos(BCBCBCCACACBABAB故选答案D例5 、 已 知 向 量123,OP OP OP满 足 条 件1230O PO PO P ，123| | | 1OPOPOP，求证：123PP P是正三角形分析对于本题中的条件123| | | 1OPOPOP， 容易想到，点O是123PP P的外心，而另一个条件1230OPOPOP表明，点 O是123PP P的重心故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形在1951 年高考中有一道考题，原题是：
10、若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的显然，本题中的条件123| | | 1OPOPOP可改为123| | |OPOPOP 高考原题例 6、O 是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足() 0 ,).|A BA CO PO AA BA C则 P的轨迹一定通过 ABC 的 （） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载A外心B内心C重心D垂心分析已知等式即()|ABACAPABAC，设,|ABACAEAFABAC，显然,AE AF都是单位向量，
11、以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形， 故 AP 为ABC 的平分线，选 B 例 7、ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 为O ， 两 条 边 上 的 高 的 交 点 为 H ，()OHm OAOBOC，则实数 m = 分析： 本题除了利用特殊三角形求解外， 纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观解法如下，由已知，有向量等式0AH BC，将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有() ()0OHOAOCOB，将已知代入，有() ()0m OAOBOCOAOCOB，即22()(1)0m OCOBmOA BC， 由O是外心，得(1)0mOA BC， 由于ABC是任意三角形，
12、则OA BC不恒为，故只有1m恒成立或者，过点 O作 OMBC 与 M ， 则 M 是 BC 的中点，有1()2OMOBOC ；H 是 垂 心 ， 则 AHBC ， 故AH与OM共 线 ， 设AHkOM， 则()2kOHOAAHOAOBOC， 又()OHm OAOBOC， 故 可 得(1 )()()022kkmOAmOBmOC，有102kmm，得1m根据已知式子()OHm OAOBOC中的 OAOBOC部分，很容易想到三角形的重心坐标公式， 设三角形的重心为 G ，O是平面内任一点，均有3OAOBOCOG，由题意，题目显然叙述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图，由图上观察，很容易猜想
13、到2HGGO，至少有两个产生猜想的诱因，其一是，,BF OT均与三角形的边 AC 垂直，则/BFOT ；其二，点 G 是三角形的中线BT 的三等分GHBCAFTEDO图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载点 此 时， 会 先 猜想BHGTOG，但 现在 缺 少 一个 关 键的 条件 ， 即2BHOT，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设O 、G 、H分别是 ABC 的外心、重心和垂心，
14、则 O 、 G 、 H三点共线，且 OG GH 12， 利用向量表示就是3OHOG例 8、 点 O是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OA OBOB OCOC OA，则点 O 是ABC的（） A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点分析移项后不难得出，0OB CAOC ABOA CB，点 O 是ABC 的垂心，选 D 3 推广应用题例 9在ABC 内求一点 P ，使222APBPCP最小分析如图，构造向量解决取,CAa CBb为基向量，设CPx，有,APxa BPxb于是，22222222211()()3()()33APBPCPxaxbxxabab
15、ab当1()3xab 时，222APBPCP最小，此时，即1()3OPOAOBOC ，则点 P 为ABC 的重心例10已知O为ABC 所在平面内一点，满足222222|OABCOBCAOCAB，则 O为ABC 的心分析将2222|()2BCOCOBOCOBOC OB ，22| ,|CAAB也类似展CP图AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载开代入，已知等式与例的条件一样也可移项后，分解因式合并化简，O为垂心例11已知O为ABC的外心，求证：sinsinsin0OABOCOBAOCOCAOB分析构造坐标
16、系证明如图，以A为坐标原 点 ， B 在x轴 的 正 半 轴 ， C 在x轴 的 上方 2012AOBSx y， 直 线 BC 的 方 程 是32323()0yxxxyxy，由于点 A与点 O必在直线BC 的 同 侧 ， 且230x y， 因 此 有03302020xyxyxyxy，得302303201()2BOCSx yx yx yx y直线 AC 的方程是330y xx y，由于点(1,0)与点 O必在直线 AC 的同侧，且33100yx，因此有03300x yx y，得03301()2AOCSx yx y于 是 ， 容 易 验 证 ，0BOCAOCAOBOASOBSOCS， 又1| |
17、s i n2BOCSO BO CB O C，1|sin2BOASOB OAAOB，1|sin2AOCSOA OCAOC， 又|O AO BO C，则所证成立总结：知识综述（一）三角形各心的概念介绍1、重心三角形的三条中线的交点；2、垂心三角形的三条垂线的交点；3、内心三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；4、外心三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）根据概念，可知各心的特征条件比如：重心将中线长度分成2：1；垂线与对应边的向量积为 0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等（二）三角形各心的向量表示1、 O 是ABC的重心0OCOBOA；
18、2、 O 是ABC的垂心OAOCOCOBOBOA；yA00(,)O xyx22(,)B xy图33(,)C xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载3、 O 是ABC的外心|OCOBOA(或222OCOBOA)；4、 O是ABC的内心|()|()|(CACAOCBCBCBABAOBACACABABOA)|CBCB0；注意：向量）（0)(ACACABAB所在直线过ABC的内心 ( 是BAC的角平分线所在直线) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
