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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1 统计量与抽样分布1.1 基本概念：统计量、样本矩、经验分布函数总体 X 的样本 X1，X2， Xn，则 T(X1，X2， Xn)即为统计量样本均值X样本方差212)(1niinXXnS修正样本方差212*)(11niinXXnS样本 k 阶原点矩,.)2,1( ,11kXnAnikik样本 k 阶中心矩,.)2, 1( ,)(11kXXnBnikik经 验 分 布 函 数)( ,)()(xnxvxFnn其 中Vn(x) 表 示 随 机 事 件xX出 现 的 次 数 ,显 然)(,()(xFnBxVn,则有)()(xFxFEn)(1)(1)(xFxFnx
2、FDn补充：DXnnESn12DXESn2*22)(EXDXEX22211nniiSXXn二项分布B(n,p): ),.,1 ,0( ,)1(nkppCkXPknkknEX=np DX=np(1-p) 泊松分布)(P: ,.)1 ,0( ,!kekkXPkEXDX均匀分布U(a,b): )( ,1)(bxaabxf2baEX2)(121abDX指数分布 : ( ),(0)( )1,(0)xxf xexF xex精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1EX21DX正态分布),(2N:
3、 2)(exp21)(22xxfEX2DX22221()1nnnSnEnESn224222(1)()2(1)nnnSnDnDSn当0时，0EX22EX443EX2XE2)21(XD1.2 统计量：充分统计量、因子分解定理、完备统计量、指数型分布族（不重要）T 是 的充分统计量),.,(21tTxxxfn与无关T 是 的完备统计量要使 Eg(T)=0, 必有 g(T)=0 );,.,(),.,();()(21211nninixxxTgxxxhxfL且 h 非负T 是的充分统计量),.,(),.,()(exp)();(21211nnniixxxhxxxTbCxfT 是 的充分完备统计量),.,()
4、,.,()(),.,()(exp)();(21212221111nnnniixxxhxxxTbxxxTbCxf),(21TT是),(21的充分完备统计量1.3 抽样分布：2分布， t 分布， F 分布，分位数，正态总体样本均值和方差的分布，非正态总体样本均值的分布2分布：)(.2222212nXXXn)0()2(21)(1222xxenxfnxnnE2nD22T 分布：)(/ntnYXT当 n2 时， ET=0 2nnDTF 分布：),(2121nnFnYnXF),(112nnFF补充：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 1
5、0 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思Z=X+Y 的概率密度dyyyzfdxxzxfzfz),(),()(f(x,y) 是 X 和 Y 的联合概率密度XYZ的概率密度dxxxzxfzfz),()()(xgy的概率密度)()()(11ygygfyfxy函数：01)(dxexx)() 1(1)1(,)!1()(nnB 函数：1011)1 (),(dxxxB)()()(),(B1.4 次序统计量及其分布：次序统计量、样本中位数X、样本极差R X(k)的分布密度：),.,2, 1(),()(1)()!()!1(!)(1)(nkxfxFxFknknxfknkxkX(1)的分布密度：1)(1)()(
6、)1(nxxFxnfxfX(n)的分布密度：1)()()()(nxxFxnfxfn2 参数估计2.1 点估计与优良性：概念、无偏估计、均方误差准则、相合估计(一致估计 )、渐近正态估计的均方误差：22( , )()()MSEEDE若是无偏估计，则( , )MSED对于的任意一个无偏估计量，有*DD，则*是的最小方差无偏估计，记MVUE 相合估计 (一致估计 ):limnnElim0nnD2.2 点估计量的求法：矩估计法、最大似然估计法矩估计法：求出总体的k 阶原点矩 :12( ;,.,)kkkmaEXx dF x解方程组11nkkiiaXn(k=1,2,.,m) ，得12(,.,)kknXXX
7、即为所求最大似然估计法：写出似然函数1( )(; )niiLf x，求出 lnL 及似然方程ln0iLi=1,2,.,m 解似然方程得到12(,.,)inx xx，即最大似然估计12(,.,)inXXXi=1,2,.,m 补充：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思似然方程无解时，求出的定义域中使得似然函数最大的值，即为最大似然估计2.3MVUE和有效估计：最小方差无偏估计、有效估计T 是的充分完备统计量，是的一个无偏估计*(|)ET为的惟一的MVUE 最小方差无偏估计的求解步骤：
8、求出参数的充分完备统计量T 求出( )ETg，则1( )gT是的一个无偏估计或求出一个无偏估计，然后改写成用T 表示的函数综合，11( )( )E gTTgT是的 MVUE 或者：求出的矩估计或ML 估计，再求效率，为1 则必为 MVUE T 是( )g的一个无偏估计，则满足信息不等式2( ) ()( )gD T XnI，其中2ln(; )( )f XIE或22ln(; )( )0f XIE，(; )f X为样本的联合分布。最小方差无偏估计达到罗 -克拉姆下界有效估计量效率为 1 无偏估计的效率：1( )( )eDnI是的最大似然估计，且是的充分统计量是的有效估计2.4 区间估计：概念、正态总
9、体区间估计(期望、方差、均值差、方差比)及单侧估计、非正态总体参数和区间估计一个总体的情况：2( ,)XN2已知，求的置信区间：00020(0,1)XNXunn2未知，求的置信区间：*00*2 (1)(1)nnXSt nXtnSnn已知，求2的置信区间：22222111222122()()()( )( )( )nnniiiiiiXXXnnn未知，求2的置信区间：22222111222122()()()(1)(1)(1)nnniiiiiiXXXXXXnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,
10、熟读而精思两个总体的情况：211(,)XN，222(,)YN2212,均已知时，求12的区间估计：22121212221221212()(0,1)()XYNXYunnnn22212未知时，求12的区间估计：1212121212*2*2121122()(2) (2)(1)(1)nnXYn nnnt nnnnnSnS12,未知时，求2122：222211222122*2*2211112121212*2*12221222(1,1)(1,1)(1,1)nnnnnnSSSF nnFnnFnnSSS非正态总体的区间估计：当n时，2(0,1)LnnSXNXuSnn1lim1nnnSS，故用 Sn代替 Sn-
11、121(0,1)111mXmmmnNunn nnmmn nn3 统计决策与贝叶斯估计3.1 统计决策的基本概念：三要素、统计决策函数及风险函数三要素：样本空间和分布族、行动空间（判决空间）、损失函数( ,)Ld统计决策函数d(X): 本质上是一个统计量，可用来估计未知参数风险函数：( , ) ( , ()RdELd X是关于的函数3.2 贝叶斯估计：先验分布与后验分布、贝叶斯风险、贝叶斯估计求样本 X=(X1,X2,.,Xn)的分布：1(| )(|)niiq xf x样本 X 与的联合概率分布：( , )(| )( )(| ) ( )f xhx m xq x求( , )fx关于 x 的边缘密度
12、( )( , )m xf xd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思的后验密度为：( ,)(| )( )f xhxm x取2( , )()Ldd时的贝叶斯估计为：(| )(| )Exhx d贝叶斯风险为：22( , )()( )( ,)()(| )BRdEdRdE RdEdhx d取2( , )( )()Ldd时，贝叶斯估计为： ( )| ( )| ExEx补充：( )C的贝叶斯估计：取损失函数2( , )( ( )LdCd，则贝叶斯估计为( )( ) | ( ) (| )CE C
13、xChx d( , )( , )(| )(| )( )( , )f xdfxExhx ddm xf xd3.3minimax 估计对决策空间中的决策函数d1(X),d2(X),. ，分别求出在上的最大风险值max( , )Rd在所有的最大风险值中选取相对最小值，此值对应的决策函数就是最小最大决策函数。4 假设检验4.1 基本概念：零假设(H0)与备选假设 (H1)、检验规则、两类错误、势函数零假设通常受到保护，而备选假设是当零假设被拒绝后才能被接受。检验规则：构造一个统计量T(X1,X2,.,X3)，当 H0服从某一分布，当H0不成立时， T 的偏大偏小特征。据此，构造拒绝域W 第一类错误（弃
14、真错误）：0|P TW H 为真第二类错误（存伪错误）：0|HP TW为假势函数：( )( ()EXPXW1,()0,X.XWXW当0时，( )为犯第一类错误的概率当1时，1( )为犯第二类错误的概率4.2 正态总体均值与方差的假设检验：t 检验、 X2检验、 F 检验、单边检验精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思一个总体的情况：2( ,)XN2已知，检验0010H :H：00(0,1)XUNn2未知，检验0010H :H：0* (1)nXTt nSn已知，检验22220010H
15、 :H：22212()( )niiXn未知，检验22220010H :H：22212()(1)niiXXn两个总体的情况：211(,)XN，222(,)YN22212未知时，检验012112H :H：12121212*2*2121122(2) (2)(1)(1)nnn nnnXYTt nnnnnSnS12,未知时，检验2222012112H :H：2122*112*2(1,1)nnSFF nnS单边检验：举例说明，2已知，检验0010H :H：构 造10( 0 ,1)XUNn， 给 定 显 著 性 水 平， 有1P Uu。 当H0成 立 时0100defXXUUnn，因此1P UuP Uu。故
16、拒绝域为WUu4.3 非参数假设检验方法：2拟合优度检验、科尔莫戈罗夫检验、斯米尔诺夫检验2拟合优度检验:0010:iiiiHppHpp22010()(1)miiiNinpWmrnp其中 Ni表示样本中取值为i 的个数， r 表示分布中未知参数的个数科尔莫戈罗夫检验：0010:( )( ):( )( )HF xFxHF xF x实际检验的是0( )( )nFxFx0,limsup( )( )nnnxWFxFxD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思斯米尔诺夫检验：01:( )( )
17、:( )( )HF xG xHF xG x实际检验的是( )( )nnFxGx1212,limsup( )( )nnn nnxWFxGxD4.4 似然比检验明确零假设和备选假设：0011:HH构造似然比：0111011sup(,.,;)(,.,)(,.,)sup(,.,; )nnnnL xxL xxLxxL xx拒绝域：1 (,.,)nWxx5 方差分析5.1 单因素方差分析：数学模型、离差平方和分解、显著性检验、参数估计数学模型2ij(0,)ijiijijXN各相互独立,(i=1,2,.,m;j=1,2,.,ni) 012nH.：总离差平方和211()inmTijijQXXTEAQQQ组内离
18、差平方和211()inmEijiijQXX2()EQEnr组间离差平方和21()mAiiiQn XX当 H0成立时，2()1AQEr构造统计量(1)(1,)()AAEEQQrFF rnrQQnr，当 H0不成立时，有偏大特征211(,()ikikikXXNnn且22()EQnr() ()11()ikikEikXXTt nrQnn应用：若原始数据比较大而且集中，可减去同一数值ijijXXk再解题辅助量：22211111111() ,() ,iiinnnmmmijijijijijijiPXQXRXnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8
19、页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思,AETQQP QRQ QRP5.2 两因素方差分析：数学模型、离差平方和分解、显著性检验数学模型2(0,)ijiiijijijXN各相互独立,(i=1,2,.,r;j=1,2,.,s) 01120212H:.H:.nn总离差平方和211()rsTijijQXXTEBAQQQQ组内离差平方和211()inmEijijiijQXXXX2()(1)(1)EQErs因素 B 引起的离差平方和21()sBjjQr XX当 H0成立时，2()1BQEs因素 A 引起的离差平方和21()rAiiQs XX当 H0成立时，2()1AQEr辅助量：2222
20、11111111111,rsrssrrsijIijIIijijijijjiijPXQXQXRXnsr,AIBIIEIIIQQP QQP QRQQP构造统计量：(1)(1,(1)(1)(1)(1)(1)(1,(1)(1)(1)(1)AAAEEBABEEQrQFF rrsQrsQQsQFF srsQrsQ6 回归分析6.1 一元线性回归：回归模型、未知参数的估计( 、2)、参数估计量的分布(Y02*2) 回归模型：2i(0,)iiiiYxN各相互独立i=1,2,.,n. （,）的估计：121()()()niiiniixx YYxxYx（,）分布：2212221( ,)()1( )( ,)()nii
21、niiNxxxNnxx2的估计：22222221111()() )nniinYnxiiYYxxSSnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思222nEn*22E6.2 多元线性回归：回归模型、参数估计、分布回归模型：2(0,)iiiinYXNIi各相互独立i=1,2,.,n. 参数估计：1()()TTTTX YX XX XX Y7 多元分析初步7.1 定义及性质：定义、性质( , )pXN其中为 X 的均值向量，为 X 的协方差矩阵Y=CX+b ，则(,)TpYNCb C C若0，刚12()() ()defXXp7.2 参数的估计与假设检验：、的估计、正态总体均值向量的假设检验样本均值向量11niiXXn样本离差阵1()()nTkkkSXXXX最大似然估计XSn最小方差无偏估计X(1)Sn1( ,)XNn11nTiiiSYY1200()() ( )Tn XXp1200 (1)()()(,)(1)npFn nXTSXF p npn212()() ()mnmnXY TXYpmn1(1)()()()(2)Tmn mnpFXYSXYp mnmn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
