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1、数学立体几何练习题数学立体几何练习题一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1如图，在正方体A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和上的点，A1M，则与平面1C1C的位置关系是( )A相交 B平行 C垂直 D不能确定2 将正方形沿对角线折起， 使平面平面， E 是中点， 则AED的大小为（）A.45D.903 ， ，是从 P 引出的三条射线，每两条的夹角都是 60，则直线与平面所成的角的余弦值为（）A12B.30C
2、.60B。32C。33D。634正方体A1B1C1D1中，E、F 分别是1与1的中点，则直线与 D1F所成角的余弦值是A15B。13C。12D。325 在棱长为 2 的正方体ABCD A1B1C1D1中，O 是底面的中心，E、F 分别是CC1、的中点，那么异面直线和FD1所成的角的余弦值等于（）A105B2C355D1556 6在正三棱柱1B1C1中，若 2，A A1=1，则点 A 到平面 A1的距离为（A34）B32C3 34D37在正三棱柱1B1C1中，若1,则1与 C1B 所成的角的大小为（）B. 90D. 758设E，F是正方体1的棱和D1C1的中点，在正方体的12 条面对角线中，与截
3、面A1成 60角的对角线的数目是（）A0B2C4D6二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分9.在正方体A1B1C1D1中，M、N分别为棱1和1的中点，则CMCM，D D1 1N N的值为.1010 如图， 正方体的棱长为 1， C、 D 分别是两条棱的中点，A、B、M 是顶点，那么点 M 到截面的距离是 .11正四棱锥的所有棱长都相等，E为中点，则直线与截面所成的角为12已知正三棱柱1B1C1的所有棱长都相等，D 是 A1C1的中点，则直线与平面 B1所成角的正弦值为 .13已知边长为4 2的正三角形中，E、F 分别为和
4、的中点，面，且 2，设平面过且与平行，则与平面间的距离为14棱长都为 2 的直平行六面体A1B1C1D1中，60，则对角线ABDCMA1C 与侧面1D1所成角的余弦值为.三、解答题三、解答题: :本大题共本大题共 6 6 小题，小题，共共 8080 分。分。 解答需写出必要的文字解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤说明、推理过程或计算步骤. .15如图，直三棱柱ABC A1B1C1，底面ABC中，1，BCA 90，棱AA1 2，M、N 分别 A1B1、A1A 是的中点(1) 求的长；(2) 求cosBA ,CB 的值；11zCB1ANMCABy(3) 求证：A1B C1Nx16如图，三
5、棱锥 P中，平面，2， ，D 是上一点，且平面P(1) 求证：平面；(2) 求异面直线与所成角的大小；(3)求二面角的大小的余弦值17如图所示，已知在矩形中，1， （a0） ，平面，且 1CDBAP（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；（2）问当实数a在什么范围时，边上能存在点Q，ADCBQ使得（3）当边上有且仅有一个点Q使得时，求二面角的余弦值大小18.18. 如图，在底面是棱形的四棱锥P ABCD中，ABC 60 ,PA AC a,PB PD 2a，点E在PD上，且PE:ED2:1 PEAD(1) 证明PA 平面ABCD；(2) 求以为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；B
6、C(3) 在棱上是否存在一点 F，使BF平面AEC证明你的结论19.19. 如图四棱锥P中，底面是平行四边形，平面，垂足为G，G在上，且4，AG 1GD，2，E是的中点3(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)求点D到平面的距离；(3)若F点是棱上一点，且，求PF的值FCPFGAD20.已知四棱锥S的底面是正方形，底面，E是上的任意一点(1)求证：平面平面；(2)设4，2，求点A到平面的距离；(3)当的值为多少时，二面角BD的大小为 120理科立体几何训练题（理科立体几何训练题（B B）答案）答案一、选择题一、选择题题1号答B案二、二、 填空题填空题2D3D4A5D6B7B8C9.1010
7、11.45 124 132533 1434三、解答题三、解答题1515 解析：解析：以 C 为原点建立空间直角坐标系O xyz.(1) 依题意得 B （0， 1， 0） ， M （1， 0， 1） BM .z(2) 依题意得 A1（1，0，2） ，B（0，1，0） ，C（0，0，0） ，B1（0，CB1AN1，2）.(10)2(01)2(10)23 BA1 (1,1,2),CB1 (0,1,2), BA1CB1 3, BA16, CB15MCABycos BA1,CB1BA1CB1BA1 CB13010.x11 1,2),A1B (1,1,2),C1N (,0).(3) 证明：依题意得 C1（
8、0，0，2） ，N(12 22 211A1BC1N 0 0,A1B C1N2216解析： (1) 平面,AB平面，.平面，AB平面，又PCCD C，平面 (2 由(I)平面，2，又，可求得以 B 为原点，如图建立坐标系则（,） ，（0,0,0） ，C（,0） ，P（,2） AP=(,2)，BC=(,0,0)zP则APBC+0+0=2cos AP,BC APBC2AP BC2 2 2312D异面直线与所成的角为CxBAy（3）设平面的法向量为 (x，y，z)AB=(0, ,0)AP(,2)， 2y 0,ABm m 0,y 0,则即解得令 -1,得 (2，0，x 2z2x2y 2z 0.APm m
9、 0.-1)由平面易知：平面平面，取的中点E，连接，则BE为平面的一个法向量，BE (取为 (1，1，0)cos m m,n n m mn nm m n n222,0) (1,1,0)，故平面的法向量也可22233. 二面角的大小的余弦值为33=23217解析： （1）以A为坐标原点， 、 、分别为x、y、z轴建立坐标系如图所示1， ，P（0，0，1） ，B（1，0，0） ，zPNAMQCDyD（0，a，0） （2）设点Q（1，x，0） ，则DQ (1,x a,0),QP (1,x,1)Bx由DQ QP 0，得x1=0显然当该方程有非负实数解时，边上才存在点Q，使得，故只须 -40因a0，故a
10、的取值范围为a2（3）易见，当 2 时，上仅有一点满足题意，此时 1，即Q为的中点取的中点M，过M作，垂足为N，连结、 则M（0，1，0） ，P22（0，0，1） ，D（0，2，0） D、N、P三点共线，MN MDMP(0,1,0)(0,1,1)(0,1,)111又PD (0,2, 1)，且MN PD 0，故(0,1,)(0,2,1)23 0 21132 2(0,1, )3 3 (0,1,2)于是MN 25 513故NQ NM MQ MN AB (1,1,2)55PD NQ 02(1)(1)(2) 0，55PD NQ （资料来源：168）为所求二面角的平面角cosMNQ NM NQ66| NM
11、 | | NQ|，注：该题还有很多方法解决各个小问，以上方法并非最简.1818 解析：解析： （1）传统方法易得证明（略）（2）传统方法或向量法均易解得 30；（3）解以 A 为坐标原点，直线AD,AP分别为y轴、z轴，过 A点垂直于平面的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图） 由题设条件，相关各点的坐标为A(0,0,0),B(3131a,a,0),C(a,a,0)2222Pz21D(0,a,0),P(0,0,a),E(0,a,a)33，所以21AE (0,a,a)33，31AC (a,a,0)22FABxCEDyAP (0,0,a),PC (31a,a,a)22BP (31a,a,a)22，
12、设点 F 是棱PC上的点，PF PC (23a,1a,a)，其中201，则BF BP PF (23a(1),1a(1),a(1)令BF 1AC 2AE得233a(1) a122121a(1) a1a22321a(1) a2313113,1 ,2，即时，BF AC AE亦即，F 是的中点解得1222222时，BF,AC,AE共面，又BF 平面AEC，所以当 F 是的中点时，BF平面AECGP为x轴、y轴、1919 解析：解析：(1)以G点为原点，GB 、 GC 、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，PP(0，0，4)，故E(1，1，0)，GE(1，1，0)，PC(0，2
13、，4)。cosGE ， PC 与所成的余弦值为1010GE PC|GE | PC |210102 20FAGBECD， (2)平面的单位法向量n(0，1，0)GD 3AD 3BC (3443， 0)，22点D到平面的距离为|GD n|3.23333 (3)设F(0，y，z)，则DF (0， y， z) (， ， 0) (，y ， z)。2222DF2 GC，DF GC 0， （资料来源：168）即(3，y 3， z)(0， 2， 0) 2y 3 0，2y 3 , 又PF2PC， 即(0，3，z4)(0， 2， 4)， 1，2故F(0，3 5PF1PF3，1)，PF (0，3，23。3)， FC
14、 (0， ， 1)，PC222FC5220 解析：(1)平面， 平面，四边形是正方形， 平面， 平面，平面平面.(2)设F，连结，则，2，4，2，3，S236，设点A到平面的距离为h，平面， ShS， 6h224， h，即点A到平面的距离为.(3)设a，以A为原点， 、 、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 为计算方便， 不妨设1， 则C(1,1,0)，S(0,0，a)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，SCSC(1,1，a)，SBSB(1,0，a)，SDSD(0,1，a)，再设平面、 平面的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)， n n1 1SCSC x x1 1 y y1 1 azaz1 1 0 0则 n n1 1SBSB x x1 1 azaz1 1 0 0y10，从而可取x1a，则z11，n1(a,0,1)， n n2 2SCSC x x2 2 y y2 2 azaz2 2 0 0 n n2 2SBSB x x2 2 azaz2 2 0 0x20，从而可取y2a，则z21，n2(0，a,1)，n1，n2，要使二面角BD的大小为 120，则，从而a1，即当1 时，二面角BD的大小为 120.
