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1、数学立体几何练习题数学立体几何练习题一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 8 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 4040 分在每小分在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的1如图,在正方体A1B1C1D1中,棱长为a,M、N分别为A1B和上的点,A1M,则与平面1C1C的位置关系是( )A相交 B平行 C垂直 D不能确定2 将正方形沿对角线折起, 使平面平面, E 是中点, 则AED的大小为()A.45D.903 , ,是从 P 引出的三条射线,每两条的夹角都是 60,则直线与平面所成的角的余弦值为()A12B.30C
2、.60B。32C。33D。634正方体A1B1C1D1中,E、F 分别是1与1的中点,则直线与 D1F所成角的余弦值是A15B。13C。12D。325 在棱长为 2 的正方体ABCD A1B1C1D1中,O 是底面的中心,E、F 分别是CC1、的中点,那么异面直线和FD1所成的角的余弦值等于()A105B2C355D1556 6在正三棱柱1B1C1中,若 2,A A1=1,则点 A 到平面 A1的距离为(A34)B32C3 34D37在正三棱柱1B1C1中,若1,则1与 C1B 所成的角的大小为()B. 90D. 758设E,F是正方体1的棱和D1C1的中点,在正方体的12 条面对角线中,与截
3、面A1成 60角的对角线的数目是()A0B2C4D6二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 6 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 3030 分分9.在正方体A1B1C1D1中,M、N分别为棱1和1的中点,则CMCM,D D1 1N N的值为.1010 如图, 正方体的棱长为 1, C、 D 分别是两条棱的中点,A、B、M 是顶点,那么点 M 到截面的距离是 .11正四棱锥的所有棱长都相等,E为中点,则直线与截面所成的角为12已知正三棱柱1B1C1的所有棱长都相等,D 是 A1C1的中点,则直线与平面 B1所成角的正弦值为 .13已知边长为4 2的正三角形中,E、F 分别为和
4、的中点,面,且 2,设平面过且与平行,则与平面间的距离为14棱长都为 2 的直平行六面体A1B1C1D1中,60,则对角线ABDCMA1C 与侧面1D1所成角的余弦值为.三、解答题三、解答题: :本大题共本大题共 6 6 小题,小题,共共 8080 分。分。 解答需写出必要的文字解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤说明、推理过程或计算步骤. .15如图,直三棱柱ABC A1B1C1,底面ABC中,1,BCA 90,棱AA1 2,M、N 分别 A1B1、A1A 是的中点(1) 求的长;(2) 求cosBA ,CB 的值;11zCB1ANMCABy(3) 求证:A1B C1Nx16如图,三
5、棱锥 P中,平面,2, ,D 是上一点,且平面P(1) 求证:平面;(2) 求异面直线与所成角的大小;(3)求二面角的大小的余弦值17如图所示,已知在矩形中,1, (a0) ,平面,且 1CDBAP(1)试建立适当的坐标系,并写出点P、B、D的坐标;(2)问当实数a在什么范围时,边上能存在点Q,ADCBQ使得(3)当边上有且仅有一个点Q使得时,求二面角的余弦值大小18.18. 如图,在底面是棱形的四棱锥P ABCD中,ABC 60 ,PA AC a,PB PD 2a,点E在PD上,且PE:ED2:1 PEAD(1) 证明PA 平面ABCD;(2) 求以为棱,EAC与DAC为面的二面角的大小;B
6、C(3) 在棱上是否存在一点 F,使BF平面AEC证明你的结论19.19. 如图四棱锥P中,底面是平行四边形,平面,垂足为G,G在上,且4,AG 1GD,2,E是的中点3(1)求异面直线与所成的角的余弦值;(2)求点D到平面的距离;(3)若F点是棱上一点,且,求PF的值FCPFGAD20.已知四棱锥S的底面是正方形,底面,E是上的任意一点(1)求证:平面平面;(2)设4,2,求点A到平面的距离;(3)当的值为多少时,二面角BD的大小为 120理科立体几何训练题(理科立体几何训练题(B B)答案)答案一、选择题一、选择题题1号答B案二、二、 填空题填空题2D3D4A5D6B7B8C9.1010
7、11.45 124 132533 1434三、解答题三、解答题1515 解析:解析:以 C 为原点建立空间直角坐标系O xyz.(1) 依题意得 B (0, 1, 0) , M (1, 0, 1) BM .z(2) 依题意得 A1(1,0,2) ,B(0,1,0) ,C(0,0,0) ,B1(0,CB1AN1,2).(10)2(01)2(10)23 BA1 (1,1,2),CB1 (0,1,2), BA1CB1 3, BA16, CB15MCABycos BA1,CB1BA1CB1BA1 CB13010.x11 1,2),A1B (1,1,2),C1N (,0).(3) 证明:依题意得 C1(
8、0,0,2) ,N(12 22 211A1BC1N 0 0,A1B C1N2216解析: (1) 平面,AB平面,.平面,AB平面,又PCCD C,平面 (2 由(I)平面,2,又,可求得以 B 为原点,如图建立坐标系则(,) ,(0,0,0) ,C(,0) ,P(,2) AP=(,2),BC=(,0,0)zP则APBC+0+0=2cos AP,BC APBC2AP BC2 2 2312D异面直线与所成的角为CxBAy(3)设平面的法向量为 (x,y,z)AB=(0, ,0)AP(,2), 2y 0,ABm m 0,y 0,则即解得令 -1,得 (2,0,x 2z2x2y 2z 0.APm m
9、 0.-1)由平面易知:平面平面,取的中点E,连接,则BE为平面的一个法向量,BE (取为 (1,1,0)cos m m,n n m mn nm m n n222,0) (1,1,0),故平面的法向量也可22233. 二面角的大小的余弦值为33=23217解析: (1)以A为坐标原点, 、 、分别为x、y、z轴建立坐标系如图所示1, ,P(0,0,1) ,B(1,0,0) ,zPNAMQCDyD(0,a,0) (2)设点Q(1,x,0) ,则DQ (1,x a,0),QP (1,x,1)Bx由DQ QP 0,得x1=0显然当该方程有非负实数解时,边上才存在点Q,使得,故只须 -40因a0,故a
10、的取值范围为a2(3)易见,当 2 时,上仅有一点满足题意,此时 1,即Q为的中点取的中点M,过M作,垂足为N,连结、 则M(0,1,0) ,P22(0,0,1) ,D(0,2,0) D、N、P三点共线,MN MDMP(0,1,0)(0,1,1)(0,1,)111又PD (0,2, 1),且MN PD 0,故(0,1,)(0,2,1)23 0 21132 2(0,1, )3 3 (0,1,2)于是MN 25 513故NQ NM MQ MN AB (1,1,2)55PD NQ 02(1)(1)(2) 0,55PD NQ (资料来源:168)为所求二面角的平面角cosMNQ NM NQ66| NM
11、 | | NQ|,注:该题还有很多方法解决各个小问,以上方法并非最简.1818 解析:解析: (1)传统方法易得证明(略)(2)传统方法或向量法均易解得 30;(3)解以 A 为坐标原点,直线AD,AP分别为y轴、z轴,过 A点垂直于平面的直线为x轴,建立空间直角坐标系(如图) 由题设条件,相关各点的坐标为A(0,0,0),B(3131a,a,0),C(a,a,0)2222Pz21D(0,a,0),P(0,0,a),E(0,a,a)33,所以21AE (0,a,a)33,31AC (a,a,0)22FABxCEDyAP (0,0,a),PC (31a,a,a)22BP (31a,a,a)22,
12、设点 F 是棱PC上的点,PF PC (23a,1a,a),其中201,则BF BP PF (23a(1),1a(1),a(1)令BF 1AC 2AE得233a(1) a122121a(1) a1a22321a(1) a2313113,1 ,2,即时,BF AC AE亦即,F 是的中点解得1222222时,BF,AC,AE共面,又BF 平面AEC,所以当 F 是的中点时,BF平面AECGP为x轴、y轴、1919 解析:解析:(1)以G点为原点,GB 、 GC 、z轴建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(0,2,0),PP(0,0,4),故E(1,1,0),GE(1,1,0),PC(0,2
13、,4)。cosGE , PC 与所成的余弦值为1010GE PC|GE | PC |210102 20FAGBECD, (2)平面的单位法向量n(0,1,0)GD 3AD 3BC (3443, 0),22点D到平面的距离为|GD n|3.23333 (3)设F(0,y,z),则DF (0, y, z) (, , 0) (,y , z)。2222DF2 GC,DF GC 0, (资料来源:168)即(3,y 3, z)(0, 2, 0) 2y 3 0,2y 3 , 又PF2PC, 即(0,3,z4)(0, 2, 4), 1,2故F(0,3 5PF1PF3,1),PF (0,3,23。3), FC
14、 (0, , 1),PC222FC5220 解析:(1)平面, 平面,四边形是正方形, 平面, 平面,平面平面.(2)设F,连结,则,2,4,2,3,S236,设点A到平面的距离为h,平面, ShS, 6h224, h,即点A到平面的距离为.(3)设a,以A为原点, 、 、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系, 为计算方便, 不妨设1, 则C(1,1,0),S(0,0,a),B(1,0,0),D(0,1,0),SCSC(1,1,a),SBSB(1,0,a),SDSD(0,1,a),再设平面、 平面的法向量分别为n1(x1,y1,z1),n2(x2,y2,z2), n n1 1SCSC x x1 1 y y1 1 azaz1 1 0 0则 n n1 1SBSB x x1 1 azaz1 1 0 0y10,从而可取x1a,则z11,n1(a,0,1), n n2 2SCSC x x2 2 y y2 2 azaz2 2 0 0 n n2 2SBSB x x2 2 azaz2 2 0 0x20,从而可取y2a,则z21,n2(0,a,1),n1,n2,要使二面角BD的大小为 120,则,从而a1,即当1 时,二面角BD的大小为 120.