《2022年高一数学典型例题分析:等比数列的前n项和》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年高一数学典型例题分析:等比数列的前n项和(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载、 . 我们打败了敌人。我们把敌人打败了。等比数列的前n 项和例题解析【例 1】设等比数列的首项为a(a0),公比为 q(q0),前 n 项和为 80,其中最大的一项为54,又它的前2n 项和为 6560,求 a 和 q解由 Sn=80,S2n=6560,故 q1 aqqaqqnn()()11112= 80= 6560q= 81na0,q1,等比数列为递增数列,故前n 项中最大项为anan=aqn-1=54 将代入化简得a=q 1 化简得3a = 2q由,联立方程组解得a=2,q=3【例2】 求证:对于等比数列,有SS= S (SS)n22n2n2n3n证Sn=a1a1q a1
2、q2 a1qn-1S2n=Sn(a1qna1qn+1 a1q2n-1) =Snqn(a1a1q a1qn-1) =SnqnSn=Sn(1qn) 类似地,可得S3n=Sn(1qnq2n) S +S= SS (1q )= S (22qq)n22n2n2nn2n2n2n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页学习必备欢迎下载S (SS) = S S (1q )S (1qq)= S (22qq)SS= S (SS)n2n3nnnnnn2nn2n2nn22n2n2n3n说明本题直接运用前n 项和公式去解,也很容易上边的解法,灵活地处
3、理了 S2n、S3n与 Sn的关系 介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键,并且变得好,则解法巧【例 3】一个有穷的等比数列的首项为1, 项数为偶数, 其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数分析设等比数列为an ,公比为 q,取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列,公比为q2,首项分别为a1, a1q解设项数为 2n(nN*) ,因为 a1=1,由已知可得q1aqqa qqqnn1221221111()()= 85= 170得:把代入得q = 2q = 2= 854= 256 n = 4n1414n即公比为2,
4、项数为8说明运用等比数列前n 项和公式进行运算、推理时,对公比q 要分情况讨论有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程,可采用两式相除的方法达到降次的目的【例 4】选择题:在等比数列an中,已知对任意正整数n,有 Sn=2n ,则等于1aaa1222n2 A (21)B(21)C21D(41)n2n2nn1313解Da1=S1=1,an=SnSn-1=2n-1an=2n-1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页学习必备欢迎下载bn=(an)2=(2n-1)2=22n-2=4n-1bbb= aaa= 144
5、4=414112n1222222n 1n1341()n【例 5】设 0V1, m 为正整数,求证:(2m1)Vm(1V) 1V2m+1分析直接作,不好下手变形:(2m1)Vm1121VVm右边分式的外形,使我们联想到等比数列求和公式,于是有:(2m1)Vm1VV2 V2m发现左边有 (2m1)个 Vm,右边有 (2m 1)项,变形: VmVm Vm1VV2 V2m显然不能左右各取一项比较其大小,试用“二对二”法,即左边选两项与右边的两项相比较 鉴于左、 右两边都具有 “距首末等远的任意两项指数之和均相等”的特点,想到以如下方式比较:VmVm1V2m,VmVmVV2m-1, VmVmVm-1Vm
6、+1,Vm=Vm即 2Vm1V2m,2VmVV2m-1,根据“两个正数的算术平均值大于等于其几何平均值”,这些式子显然成立(具体证法从略)说明本题最大的特点是解题过程中需要多次用到“逆向思考”:要证 ,改证;见到,去逆向运用,化成 ;要证 ,先证ABC(B0)AS =a1VVVABCDn122mCBVVaqqAmn11121C,BD,等等善于进行逆向思考,是对知识熟练掌握的一种表现,同时也是一种重要的思维能力,平时应注意训练【例 6】数列 an是等比数列,其中Sn=48,S2n=60,求 S3n解法一利用等比数列的前n 项和公式若 q=1,则 Sn=na1,即 na1=48,2na1=9660
7、,所以 q 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页学习必备欢迎下载S =a (1q )1n1nqS=a (1)a (1)(1+)1q2n11qqqqSqnnnnn211()q=14S=a (1q)1qn3n13naqqqqnnn12111()()=Sn(1qn q2n)S= 48(1+116) = 633n14解法二利用等比数列的性质:Sn,S2n Sn,S3nS2n仍成等比数列(6048)2=48(S3n 60) S3n=63解法三取特殊值法取 n=1,则 S1=a1=48,S2n=S2=a1a2=60 a2=12
8、 an为等比数列 q =aa a = 321314S3n=S3=a1a2a3=63【例 7】已知数列 an中, Sn是它的前n 项和, 并且 Sn+1=4an 2(nN*) ,a1=1 (1)设 bn=an+12an(nN*) ,求证:数列 bn是等比数列;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页学习必备欢迎下载(2)c=a2(nN*)c nnnn设,求证:数列是等差数列解(1)Sn+1=4an2Sn+2=4an+12 两式相减,得Sn+2Sn+1=4an+1=4an(nN*) 即: an+2=4an+1 4an变形,得a
9、n+2 2an+1=2(an+1 2an) bn=an+12an(n N*) bn+1=2bn由此可知,数列bn 是公比为 2 的等比数列由 S2=a1a2=4a12,a1=1 可得 a2=5,b1=a22a1=3 bn=32n-1(2) c=a2(nN*)c=b2nnnn+1nn+1caaaannnnnnnn11112222将 bn=32n-1代入,得cc =34(nN*)n+1n由此可知,数列是公差的等差数列,它的首项,故即:c d =34c =a2c=(n1)C =34n11nn12123414n说明利用题设的已知条件,通过合理的转换,将非等差、非等比数列转化精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页学习必备欢迎下载为等差数列或等比数列来解决精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页