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1、华 北 水 利 水 电 学 院题目：格林公式的应用课 程 名 称: 高等数学 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页格林公式的应用摘要：对格林公式及其它学科的几种表现形式做了论述及证明,利用格林公式把二重积分化为曲线积分，运用格林公式给出平面上任意多边形的面积公式和重心坐标公式。关键词：格林公式曲线积分二重积分多边形面积公式重心坐标公式applications of Greens formulaAbstract:Several manifestations of the Green formula and other
2、 disciplines are discussed and proved, using Greens formula, double integral into a curve integral, using Greens formula, given an arbitrary polygon in the plane formula for the area and center of gravity coordinate formula. Key words: Greens formula curve points double integral polygon area formula
3、 focus formula coordinates 1.引言从高等数学中我们知道格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，本文我们将研究格林公式的内容，利用格林公式把二重积分化为曲线积分，运用格林公式求多边形的面积以及求多边形的重心坐标，证明曲线积分与路径无关。格林公式是高等教学中一个著名的计算公式,它建立了曲线积分与二重积分之间的联系它的条件 ,结论表达如下：设为一平面或空间区域,对于内任意一条闭曲线,总可以在内连续的收缩成内一点则称为单连通区域 ,否则称是多连通区域设D是 平 面 有 界 闭 域 ,D是 有 限 条 封 闭 的 彼 此 不 相 交 的 可 求
4、 长 曲 线 是 并集,DCyxQyxP,则dxdyyPxQQdydxPDD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页DdxdyQyPx其中D表示边界是正向,假设L是D的一条封闭曲线, 则L定向如下： 当人沿L进行时,使区域D在它的左边, 或在L上一点作一右手系标架21,ee使1e指向L的外法线方向,则2e的指向即为L的方向设D是 平 面 有 界 闭 域 ,D是 有 限 条 封 闭 的 彼 此 不 相 交 的 逐 段 光 滑 曲 线DCyxQyxP,则dxdyyPxQdsynQxnPDD,cos,cosn为边界曲线的外法线
5、方向把被积表达式中是函数如QP.换成它的微分, 化简时 , 凡出现两个dzdydx或的项规定为零,凡交换dydx与位置dxdzdzdy与或与或时规定该项变号, 这样所得的式子称为的外微分 , 记作d格林公式可表达如下: 被积表达式在区域边界上的积分等于它的外微分在区域上的积分, 即DdD边界正向规定同上假设二元函数,P x y与,Q x y以及Py与Qx在光滑或逐段光滑闭曲线C围成的闭区域D连续，则DLQPdxdyPdxQdyxy其中L为区域D的边界线，并取正方向. 如果令,Py Qx则: 12DLdxdyxdyydx这 就 是 我 们 熟 知 的 求 区 域D的 面 积 的 一 种 方 法
6、. 实 际 上 ， 假 设 令0,PQx( 或,0Py Q) 则有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页LLDdxdyxdyy dx例 1 计算(,)mnDx y dxdy m nN,其中D是椭圆22221( ,0)xya bab与坐标轴围成的第一象限是区域解1( ,),mnmnmnff x yx yxx mxymx yx由推论得123111mnmnDLLLx y dxdyxy dym显然13110mnmnLLxy dyxy dy而211120cossincosmnmmnnLxy dyat bt btdt11220c
7、ossinmmmnabttdt1131,222mmabmnB11111,2(1)22mmmmnabBmn, 所以1111,2(1)22mmmnDabmnx y dxdyBmn例2计 算( ,1)Dx y dxdy, 其中D是由双曲线xyk和直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页,(0,0)yax ybx kba围成的第一象限的闭区域解( ,),()fff x yx yxyx yxy根据定理得1231()2LLLDx y dxdyx yxdyydx因为10()() ()0kaLx yxdyydxxaxx adxax
8、dx同理1()0Lx yxdyydx而22()kbkLakkkx yxdyydxxxdxdxxxx112kbkakxdx222212(),.ln,.kabbka例 3 计算22Lxdyydxxy，L为任意一条无重点，分段光滑且包围原点的闭曲线解很明显，坐标原点O为函数P、Q的奇点，其中2222,yxPQxyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页222222222xyxyxxyyxyxy220xy所以这个积分结果为一个常数，可取以原点为圆心，选取适当小的0r为半径作为闭曲线L内的圆周C：222xyr，方向为逆时针，对
9、这个复连通区域应用格林公式，有2222LCxdyydxxdyydxxyxy用参数方程计算：cossinxryr02上积分 =2222220cossin2rrdr设f u为连续函数 , 且C为逐段光滑的闭曲线, 试证 :QPxy但由格林公式可推出如下四个等价的结论: 当区域G为单连通 ,P、Q、Py、Qx都在G内连续时 , 则QPxy成立0LPdxQdyLPdxQdy与路径无关 , 只与起、终点有关PdxQdy是某个可微函数( ,)u x y的全微分 , 即duPdxQdy上面四个结论, 只要出现一个, 即可推知其他三个结论必存在. 在此题中 , 因为f u连续, 故可积 , 令01( )2uf
10、uf t dt, 并令 ,22uxy, 则有22( )()FFuf uyf xyyyuy设平面正向逆时针方向多边形12nPPP个顶点iP的坐标为, x y,1,2in则其面积为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页1111111122nniiiiiiiiiiSxxyyx yxy11nPP证明：由 1式，多边形12nPPP的面积12231P PPPPnPnDLSdxdyxdyxdy由于直线1iiPP的方程为 ：iyy11iiiiyyxxixx故当1()iixx时122111111111122iixiiiiiiiiiiP
11、iPixiiiiyyyyxdxxdxxxxxyyxxxx当1iixx时1111112iiiiiyiiiiiiiPPyxdxx dyxyyxxyy所以：11112niiiiDLiSdxdyxdxxxyy11112iniiiix yxy11nPP计算(,)mnDx y dxdy m nN,其中D是椭圆22221( ,0)xya bab与坐标轴围成的第一象限是区域解1( ,),mnmnmnff x yx yxx mxymx yx由推论得123111mnmnDLLLx y dxdyxy dym显然13110mnmnLLxy dyxy dy而211120cossincosmnmmnnLxy dyat b
12、t btdt11220cossinmmmnabttdt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页1131,222mmabmnB11111,2(1)22mmmmnabBmn, 所以1111,2(1)22mmmnDabmnx y dxdyBmn例 求椭圆,cossinybxa所围成的面积A解 由公式知：222200111cossin222LxAdyydxababdabd所以，椭圆的面积A为ab. 设平面正向 逆时针方向 多边形12nPPP个顶点iP的坐标为, x y,1,2in则其重心坐标为：111111113niiiiiii
13、niiiiix yxyxxxx yxy111111113niiiiiiiniiiiix yxyyyyx yxy11nPP证明 : 由物理学知道，非均匀薄片的重心坐标可由下式求得：,DDxp x y dxdyxp x y dxdy,DDyp x y dxdyyp x y dxdy其中D为薄片所占坐标平面的区域，,P x y为薄片的密度函数。为求多边形的重心坐标，取,1P x y。在格林公式中令2,0QPx得：22122311122nnxdxdyx dyx dyPPP PP PDL当1iixx时：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，
14、共 13 页11223311111111226iiiixiiiiiiPPxiiiiyyyyyx dyxxxxxxxx2211116iiiiiixxxxyy当1iixx时：1122222111111112226iiiiyiiiiiiiiiiPPyx dyx dyxyyxxxxyy所以：22211111126LniiiiiiDixdxdyx dyxxxxyy令120,2QPy得：12231112222LnnDydxdyydxydxP PP PP P同理可得：1212iiPPydx2211116iiiiiiyyyyxxDydxdy22111116niiiiiiiyyyyxx又11121iSyyxxi
15、inii，所以：22111111113niiiiiiiniiiiixxxxyyxx yxy111111113niiiiiiiniiiiix yxyxxx yxy2211111113iiiiiiniiiiiyyyyxxyx yxy11111113iiiiiiniiiiix yxyyyx yxy11nPP例求三角形的重心坐标公式。解：设三角形的三顶点分别为112233,;,;,P x yP xyP xy则：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页2211111113niiiiiniiiiixxxxxx yxy12211223
16、3223311313311113iiiiix yx yxxx yx yxxx yx yxxx yxy1233xxxx同理 : 1233yyyy曲线积分与路径无关设 G 是一个开区域P(x y)、Q(x y)在区域 G 内具有一阶连续偏导数如果对于 G 内任意指定的两个点A、B 以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两条曲线L 1、L 2等式21LLQdyPdxQdyPdx恒成立就说曲线积分LQdyPdx在 G 内与路径无关否则说与路径有关设曲线积分LQdyPdx在 G 内与路径无关L 1和 L 2是 G 内任意两条从点A 到点 B 的曲线则有21LLQdyPdxQdyPdx因为21LLQdyP
17、dxQdyPdx021LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdxQdyPdx0)(21LLQdyPdx所以有以下结论曲线积分LQdyPdx在 G 内与路径无关相当于沿G 内任意闭曲线 C 的曲线积分LQdyPdx等于零设开区域 G 是一个单连通域函数 P(x y)及 Q(x y)在 G 内具有一阶连续偏导数则曲线积分LQdyPdx在 G 内与路径无关或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零的充分必要条件是等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页xQyP在 G 内恒成立充分性易证假设xQyP则0yPxQ由格林公式对
18、任意闭曲线L有DLdxdyyPxQQdyPdx0必要性假设存在一点M0G使0yPxQ不妨设0则由yPxQ的连续性存在 M0的一个邻域 U(M0, )使在此邻域内有2yPxQ于是沿邻域U(M0, )边界 l 的闭曲线积分02)(2),(0MUldxdyyPxQQdyPdx这与闭曲线积分为零相矛盾因此在 G 内0yPxQ例 验证以下积分与路线无关，并求它们的值：1)1 ,1()0,0();)(dydxyx2),()0,0(22;)sincos2()sincos2yxdyyxxdxxyyx3,)2,1()1, 2(2xxdyydx沿在右半面的路线；4,)8,6()0, 1(22yxydyxdx沿不通
19、过原点的路线；5)2,1()1, 2(,)()(dyydxx其中)(),(yx为连续函数。分析：主要利用定理21.12 中的四个等价条件的第4条PQyx来验证积分与路线无关。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页求积分时可选择一条最简单的路线。解：1因P=,1,1,PQxyQxyyx所以 P 与 Q 满足定理条件，故积分与路线无关。于是，取路线为),1 ,0(xxy则有)1 ,1()0,0()1 ,1()0,0(.0)(0)(dydxdydxyx2因为,sincos2),(,sincos2),(22yxxyyxQxy
20、yxyxP,sin2sin2,sin2sin2yxxyxQxyyxyP所以xQyP.coscos)sincos2(2)sincos2()sincos2(220022),()0,0(2yxxydyyxxyxdxdyyxxydxxyyxxyyx(3)因xQxyP1,2，从而xQxyP21.因此 ,积分与路线无关,所以)2,1()1, 2()2, 1()1 ,2()2,1()1 ,2(223|)(xyxydxxdyydx(4)当)0,0(),(yx时2222yxdyxydyxdx是全微分 ,故积分与路线无关,且原式 =)8,6()0, 1()8,6()0, 1(22229yxyxd(5)因)(),(
21、yx为连续函数 ,则xduuxF2)()(与ydrryG1)()(分别是)(),(yx的原函数 ,于是dyydxxydGxdFyGxFd)()()()()()(可见 ,积分与路线无关,从而) 1()2()2() 1()()()()()2,1()1 ,2()2,1()1 ,2(GFGFyGxFdyydxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页1221)()(dyydxx应注意的问题定理要求区域 G 是单连通区域且函数 P(xy)及 Q(x y)在 G 内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证
22、成立破坏函数P、 Q 及yP、xQ连续性的点称为奇点格林公式：DLQPdxdyPdxQdyxy要注意公式成立的条件: ,P Q在D内具有一阶连续偏导数公式左端二重积分的被积函数是QPxy不能记错右端积分曲线L是区域D的正向边界曲线. 格林公式的内容，利用格林公式把二重积分化为曲线积分，运用格林公式求多边形的面积以及求多边形的重心坐标是格林公式的比较重要的应用.此外，曲线积分与路经无关也是格林公式的应用. 参考文献1 同济大学教学教研室. 高等数学 ( 下册 )M. 北京 : 高等教育出版社 .1996. 2 华东师范大学数学系数学分析.( 下册 )M. 高等教育出版社 ,1985.297-425. 3 林源渠 , 方企勤 . 数学分析解题指南M. 北京大学出版社,2000.329-341. 4 董鹤年 . 巧用格林公式 J.青岛化工学院学报,2002-06(3). 5 喻德生 . 曲线积分在二重积分中的应用J.南昌航空工业学院学报,2001-06-01(2). 6 孙瑜 .格林公式及其假设干应用J 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
