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1、三角形的有关证明1 已知: AB=4 ,AC=2 ,D 是 BC 中点, 111749AD 是整数,求AD 解:延长 AD 到 E,使 AD=DE D 是 BC 中点BD=DC 在 ACD 和 BDE 中AD=DE BDE= ADC BD=DC ACD BDE AC=BE=2 在 ABE 中AB-BE AEAB+BE AB=4 即 4-22AD4+2 1AD 3 AD=2 2 已知: D 是 AB 中点,ACB=90 ,求证:12CDAB延长 CD 与 P,使 D 为 CP 中点。连接 AP,BP DP=DC,DA=DB ACBP 为平行四边形又 ACB=90 平行四边形ACBP 为矩形AB=
2、CP=1/2AB 3 已知: BC=DE , B= E, C=D,F是 CD 中点,求证: 1=2 证明:连接BF 和 EF BC=ED,CF=DF, BCF= EDF 三 角 形BCF全 等 于 三 角 形EDF(边角边 ) BF=EF,CBF= DEF 连接 BE 在三角形BEF 中,BF=EF EBF= BEF。 ABC= AED 。 ABE= AEB 。 AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF, ABF= ABE+ EBF= AEB+ BEF= AEF 三角形 ABF 和三角形AEF 全等。 BAF= EAF ( 1=2)。4 已知: 1= 2,CD=D
3、E ,EF/AB ,求证: EF=AC 过 C 作 CGEF 交 AD 的延长线于点G CGEF,可得, EFDCGD DEDC FDE GDC(对顶角) EFD CGD EFCG CGD EFD 又, EFAB , EFD 1 1=2 CGD 2 AGC 为等腰三角形,AC CG 又 EFCG EFAC 5已 知 : AD平 分 BAC ,AC=AB+BD ,求证: B=2C 证明:延长 AB 取点 E,使 AEAC ,连接 DE AD 平分 BAC EAD CAD AEAC ,AD AD AED ACD (SAS) E C AC AB+BD AEAB+BD AEAB+BE BD BE BD
4、E E ABC E+BDE ABC 2E ABC 2C 6 已知: AC 平分 BAD , CEAB ,B+D=180,求证:AE=AD+BE 证明:在 AE 上取 F,使 EFEB,连接 CF CEAB CEB CEF90EBEF,CECE, CEB CEF B CFE B D 180, CFECFA 180 D CFA AC 平分 BAD DAC FAC AC AC ADC AFC (SAS)A B C D E F 2 1 A D B C D A B C B A C D F 2 1 E A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页
5、,共 8 页AD AF AEAFFE ADBE 7 已知: AB=4 ,AC=2 ,D 是 BC 中点, AD 是整数,求AD 解:延长 AD 到 E,使 AD=DE D 是 BC 中点BD=DC 在 ACD 和 BDE 中AD=DE BDE= ADC BD=DC ACD BDE AC=BE=2 在 ABE 中AB-BE AEAB+BE AB=4 即 4-22AD4+2 1AD 3 AD=2 8 已知: D 是 AB 中点,ACB=90 ,求证:12CDAB解:延长 AD 到 E,使 AD=DE D 是 BC 中点BD=DC 在 ACD 和 BDE 中AD=DE BDE= ADC BD=DC
6、ACD BDE AC=BE=2 在 ABE 中AB-BE AEAB+BE AB=4 即 4-22AD 4+2 1AD 3 AD=2 9 已知: BC=DE , B= E, C=D,F 是 CD 中点,求证: 1=2 证明:连接BF 和 EF。 BC=ED,CF=DF, BCF= EDF 。三 角 形BCF全 等 于 三 角 形EDF(边角边 )。 BF=EF,CBF= DEF 。连接 BE。在三角形BEF 中,BF=EF 。 EBF= BEF。又ABC= AED 。 ABE= AEB 。 AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中,AB=AE,BF=EF, ABF= ABE+ EBF=
7、AEB+ BEF= AEF。 三角形 ABF 和三角形AEF 全等。 BAF= EAF ( 1=2)。10 已知: 1=2, CD=DE , EF/AB ,求证: EF=AC 过 C 作 CGEF 交 AD 的延长线于点G CGEF,可得, EFDCGD DEDC FDE GDC(对顶角) EFD CGD EFCG CGD EFD 又 EFAB EFD 1 1=2 CGD 2 AGC 为等腰三角形,AC CG 又 EFCG EFAC 11已 知 : AD平 分 BAC ,AC=AB+BD ,求证: B=2C 证明:延长 AB 取点 E,使 AEAC ,连接 DE AD 平分 BAC EAD C
8、AD AEAC ,AD AD AED ACD (SAS) E C AC AB+BD AEAB+BD AEAB+BE BD BE BDE E ABC E+BDE ABC 2E ABC 2C 12. 如图,四边形ABCD中, ABDC,BE、CE 分别平分ABC 、BCD ,且点E 在 AD上。求证:BC=AB+DC 。在 BC 上截取 BF=AB ,连接 EF B A C D F 2 1 E A B C D E F 2 1 A D B C D A B C C D B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页BE 平分 A
9、BC ABE= FBE 又 BE=BE ABE FBE(SAS) A= BFE AB/CD A+ D=180o BFE+ CFE=180o D= CFE 又 DCE= FCE CE 平分 BCD CE=CE DCE FCE(AAS )CD=CF BC=BF+CF=AB+CD 13.已知: AB/ED , EAB= BDE ,AF=CD ,EF=BC ,求证: F=C AB ED ,得:EAB+ AED= BDE+ ABD=180 度, EAB= BDE, AED= ABD ,四边形 ABDE 是平行四边形。得: AE=BD ,AF=CD,EF=BC ,三角形 AEF 全等于三角形DBC , F
10、=C。14 已知: AB=CD ,A= D,求证:B=C 证明:设线段AB,CD所在的直线交于 E, (当 ADBC 时, E 点是射线 AB,DC 的交点)。则:AED 是等腰三角形。AE=DE 而 AB=CD BE=CE ( 等量加等量,或等量减等量) BEC 是等腰三角形 B= C. 15 P 是 BAC 平分线AD 上一点, ACAB ,求证: PC-PBDE 。当 AEB 越小,则DE 越小。证明:过 D 作 AE 平行线与 AC 交于 F,连接 FB 由已知条件知AFDE 为平行四边形,ABEC 为矩形,且 DFB 为等腰三角形。RTBAE 中, AEB 为锐角,即AEB90 DF
11、/AE FDB= AEB45 RT AFB 中, FBA=90 - DBF 45 ABAF AB=CE AF=DE CEDE 49、 (10 分)如图,已知ABDC,AC DB,BECE,求证:AEDE. AB=DC,AC=DB , BC=BC ABC DCB , ABC= DCB 又 BE=CE ,AB=DC ABE DCE AE=DE 50如图9 所示, ABC 是等腰直角三角形, ACB 90,AD 是 BC边上的中线, 过 C 作 AD 的垂线, 交AB 于点 E,交 AD 于点 F,求证:ADC BDE作 CGAB, 交 AD 于 H, 则 ACH=45o, BCH=45o CAH=90o- CDA, BCE=90o-CDA CAH= BCE 又 AC=CB, ACH= B=45o ACH CBE, CH=BE 又 DCH= B=45o, CD=DB CFD BED ADC= BDE A B C D E F 图 9 A D E C B F A C E D B A B E C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页