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1、第十一章全等三角形复习一、全等三角形1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。理解：全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；三角形全等不因位置发生变化而改变。2、全等三角形有哪些性质（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。理解：长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。（2）全等三角形的周长相等、面积相等。（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。3、全等三角形的判定边边边 ：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ SSS ” ) 边角边 :两边和它们的
2、夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“ SAS ” ) 角边角 :两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ ASA ” ) 角角边 :两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ AAS ” ) 斜边 .直角边 ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“ HL ” ) 4、证明两个三角形全等的基本思路：方法指引证明两个三角形全等的基本思路：（ 1）：已知两边-找第三边(SSS )找夹角（ SAS )(2): 已知一边一角-已知一边和它的邻角找是否有直角(HL )已知一边和它的对角找这边的另一个邻角(ASA )找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角(AA
3、S )找一角 (AAS )已知角是直角，找一边(HL)(3): 已知两角-找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边(AAS )练习二、角的平分线：从一个角的顶点得出一条射线把这个角分成两个相等的角，称这条射线为这个角的平分线。1、性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2、判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页三、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1) 要正确区分 “ 对应边 ” 与 “ 对边 ” ，“ 对应角 ” 与“ 对角 ” 的不同含义；（2 表示两个三
4、角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3） “ 有三个角对应相等” 或“ 有两边及其中一边的对角对应相等” 的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“ 公共角 ”、“ 公共边 ” 、“ 对顶角 ”（5）截长补短法证三角形全等。第十二章轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做
5、对称点3、轴对称图形和轴对称的区别与联系3、轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形轴对称区别联系图形(1) 轴对称图形是指( )具 有特殊形状的图形,只对 ( )图形而言;(2) 对称轴 ( )只有一条(1) 轴对称是指( )图形的位置关系, 必须涉及( )图形 ;(2) 只有 ( )对称轴 .如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分, 那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体, 那么它就是一个轴对称图形.BCACBAABC一个一个不一定两个两个一条知识回顾：4.轴对称与轴对称图形的性质 关于某直线对称的两个图形是全等形。 如果两个图形关于某条直线对称，那
6、么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页二、线段的垂直平分线1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂
7、直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：1.在平面直角坐标系中关于 x 轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数; 关于 y 轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等 ; 关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数；与 X轴或 Y轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系；关于与直线X=C或 Y=C对称的坐标点（ x, y）关于 x 轴对称的点的坐标为_ （x, -y）_. 点（ x, y）关于 y 轴对称的点的坐标为_（-x, y）_. 2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等四、 （等腰三角形 )知识点回顾1.等腰三角形的性质.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）.等
8、腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）理解：已知等腰三角形的一线就可以推知另两线。2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）五、 （等边三角形）知识点回顾1.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。2、等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是600 的等腰三角形是等边三角形。3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。第十三章实数知识要点归纳一、实数的分类 ：正整数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
9、- - - - - - -第 3 页，共 15 页整数零有理数负整数有限小数或无限循环小数正分数分数负分数小数1.实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、数轴：规定了、和的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。3、相反数与倒数；4、绝对值5、近似数与有效数字；6、科学记数法7、平方根与算术平方根、立方根；8、非负数的性质：若几个非负数之和为零，则这几个数都等于零。二、复习1. 无理数：无限不循环小数20200002233.无理数的表示算术平方根定义如果一个非负数的平方等于，即那么这个非负数
10、就叫做的算术平方根，记为，算术平方根为非负数平方根正数的平方根有个，它们互为相反数的平方根是负数没有平方根定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，记为立方根正数的立方根是正数负数的立方根是负数的立方根是定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根，记为xaxaxaaaaxaaaxaxaxaa)0()0(0)0(|aaaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页30. 实数及其相关概念概念有理数和无理数统称实数分类有理数无理数或正数负数绝对值、相反数、倒数的意义同有理数实数与数轴上的点是一
11、一对应实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则运算规律相同。第十四章一次函数一.常量、变量 ：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。二、函数的概念：函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x 与 y，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y 是 x 的函数三、函数中自变量取值范围的求法：（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0 的一切实数。（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是
12、使被开方数为非负数的一切实数。（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象五、用描点法画函数的图象的一般步骤1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。3、连线：（按
13、照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。六、函数有三种表示形式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页（1）列表法（2）图像法（3）解析式法七、正比例函数与一次函数的概念：一般地，形如y=kx(k 为常数，且k0)的函数叫做正比例函数.其中 k 叫做比例系数。一般地，形如y=kx+b (k,b 为常数，且k0)的函数叫做一次函数. 当 b =0 时,y=kx+b 即为y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例. 八、正比例函数的图象与性质：（1)图象 :正比例函数y= kx (k 是常数， k0) 的
14、图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。(2)性质 :当 k0 时,直线 y= kx 经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x 的增大 y 也增大；当k0，b0 图像经过一、二、三象限；（2）k0，b0 图像经过一、三、四象限；（3）k0，b0 图像经过一、三象限；（4）k0， b0 图像经过一、二、四象限；（5）k0， b0 图像经过二、三、四象限；（6）k0， b0 图像经过二、四象限。一次函数表达式的确定求一次函数y=kx+b（k、b 是常数， k0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数 y=kx（k0）时，只需一个点即可. 精选学习资料 - - - - - - - - -
15、 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页5.一次函数与二元一次方程组：解方程组从“ 数” 的角度看，自变量（x）为何值时两个函数的值相等并求出这个函数值解方程组从“ 形” 的角度看，确定两直线交点的坐标. 第十五章整式乘除与因式分解一回顾知识点1、主要知识回顾：幂的运算性质：am an amn（m、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加nma amn （m、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘nnnbaab（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积nmaa amn （a 0，m、n 都是正整数，且m n）同底数幂相除，底数不变，指数相减零指数幂的概念：a
16、01 （a0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l负指数幂的概念：appa1（a 0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的p（p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数也可表示为：ppnmmn（m0， n0，p 为正整数）单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加单项式的除法法则：单项式相除
17、，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加cbacbayxyx222111cbacbayxyx222111精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页 3、因式分解：因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解掌握其定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式
18、分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止弄清因式分解与整式乘法的内在的关系因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式二、熟练掌握因式分解的常用方法1、提公因式法（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：系数一各项系数的最大公约数；字母各项含有的相同字母；指数相同字母的最低次数；（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项（4）注意点：提取公因式后各
19、因式应该是最简形式，即分解到“底”；如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的 2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：平方差公式：a2b2 （a b） （a b）完全平方公式：a22abb2（ ab）2a22abb2（ ab）2第十六章分式1.分式的定义：如果A、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零2. 分 式 的 基 本 性 质 ： 分 式 的 分 子 与 分 母 同 乘 或 除 以 一 个 不 等 于0的 整 式 ， 分 式
20、的 值 不 变 。（0C）3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。,abab acadbcadbccccbdbdbdbd分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减bcadcdbadcbabdacdcba;nnnbaba)(CBCABACBCABA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
21、 - -第 8 页，共 15 页混合运算 :运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0( 10aa；当 n 为正整数时，nnaa1（)0a6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂(m,n 是整数 )（1）同底数的幂的乘法：nmnmaaa；（2）幂的乘方：mnnmaa )(; （3）积的乘方：nnnbaab)(；（4）同底数的幂的除法：nmnmaaa( a 0) ；（5）商的乘方：nnnbaba)() ；(b0) 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分
22、母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。解分式方程的步骤：(1) 能化简的先化简 (2) 方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3) 解整式方程； (4) 验根增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。列方程应用题的步骤是什么？ (1) 审； (2) 设； (3) 列； (4) 解； (5) 答应用题有几种类型；基本
23、公式是什么？基本上有五种： (1) 行程问题：基本公式：路程=速度时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题 (2) 数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法 (3) 工程问题 基本公式：工作量=工时工效 (4) 顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水 v逆水=v静水-v水8.科学记数法：把一个数表示成na 10的形式（其中101a， n 是整数）的记数方法叫做科学记数法用科学记数法表示绝对值大于10 的 n 位整数时，其中10 的指数是1n用科学记数法表示绝对值小于1 的正小数时 ,其中 10 的指数是第一个非0 数字前面0 的个数 (包括小数点前面的一个 0) 第十七章反比例函数1.定义：形如y
24、xk（k 为常数， k0 ）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k 1kxyxky1自变量 x 的取值范围是x0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k 落在一三限， x 增大 y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y 的顺序可交换。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限
25、，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数 y0，所以，它的图像与x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质反比例函数)0(kxkyk 的符号k0 k0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。x的取值范围是x0，y 的取值范围是y0；当 k0 时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数xky中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标
26、，即可求出k 的值，从而确定其解析式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页第十八章勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2=c2。2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a2b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1） 、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：C=90
27、A+B=90（2） 、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。A=30可表示如下：BC=21AB C=90（ 3） 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半ACB=90 可表示如下：CD=21AB=BD=AD D为 AB的中点5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项ACB=90 BDADCD2ABADAC2CD AB ABBDBC26、常用关系式由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页7
28、、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a， b，c 有关系222cba，那么这个三角形是直角三角形。8、命题、定理、证明1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。2、命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。3
29、、公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。4、定理用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。5、证明判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。6、证明的一般步骤（1）根据题意，画出图形。（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。9、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：精选学习资料 - - - - - - - -
30、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页ACBD位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。第十九章四边形平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的性质：平行四边形的对边相
31、等；平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相平分。平行四边形的判定1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.对角线互相平分的四边形是平行四边形；3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD矩形判定定理：1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2.对角线相等的平行四边形是矩形。3.有三个角是直角的四边形是矩形。菱形的定义：邻边相等的平行四边形。菱形的
32、性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。菱形的判定定理：1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。3.四条边相等的四边形是菱形。S 菱形 =1/2 ab（a、b 为两条对角线）正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。正方形判定定理：1.邻边相等的矩形是正方形。2.有一个角是直角的菱形是正方形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不
33、平行的四边形叫做梯形。直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。解梯形问题常用的辅助线：如图线段的重心就是线段的中点。平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。三角形的三条中线交于疑点，这一点就是三角形的重心。宽和长的比是21-5（约为 0.618）的矩形叫做黄金矩形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页
