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1、轴对称考试讲义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 作者：日期：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 全等三角形复习一知识点：1能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形含义：形状相同，大小相等. 2符号：“”3对应（边、角、顶点）：重合的边、重合的角，重合的顶点4全等三角形的性质：全等三角形的对应角，对应边 . 5全等三角形的判定：1. 判定两个三角形全等的方法有：_ 的两个三角形全等( SSS) _ 的两个三角形全等( SAS) _ 的两个
2、三角形全等( ASA) _ 的两个三角形全等( AASAAS)2，判定两个直角三角形全等的方法还有：_的两个直角三角形全等(HL) 例题：1. 如图已知ABC 的六个元素， 则下面甲、 乙、丙 三 个 三 角 形 中 和ABC 全 等 的 图 形 是( )A.甲和乙 B 乙和丙 C.只有乙 D.只有丙2. 如图，在ABC 和DEF中，B、E、 C 、F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明DEAB，DFAC，DEFABC，CFBE3. 如图，OBOA，ODOC，90CODAOB. 猜想线段 AC 、BD的关系，并说明理由. 6角
3、平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等. （证明线段相等的一种方法，也是引辅助线的一种方法）几何符号语言：21OAPDOBPEPEPD例题：如图， OP 平分AOB，OAPD于D，OBPE于E，F为 OP上一点，连接DF、EF. 求证：EPODPODF=EF7. 角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（证明两角相等的一种方法）几何符号语言：OAPDOBPEPEPD点P在POB 的平分线上 .注：三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内心，到三边的距离相等. 例题：如图，在四边形ABCD 中，90BA， EC 平分BCD 交AB于E，且BEAE，求证：DE平分CD
4、A8. 全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一” 的性质解题， 思维模式是全等变换中的“对折”2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 DCBAEDFCBAEDCBAPQCBA4)过图形上某一点
5、作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例 1、 （ “希望杯”试题）已知，如图ABC中， AB=5 ，AC=3 ，则中线AD的取值范围是_. 例 2、如图， ABC中， E、F 分别在 AB 、AC上， DE DF，D是中点，试
6、比较 BE+CF与 EF的大小 . 例 3、 如图，ABC中，BD=DC=AC， E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE.应用：1、 （ 09崇文二模）以ABC的两边AB、AC 为腰分别向外作等腰RtABD和等腰 RtACE，90 ,BADCAE连接 DE，M、N分别是 BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段 AM与DE的数量关系是；（2） 将图中的等腰RtABD绕点 A沿逆时针方向旋转(0AD+AE. 四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点 O，求证： OE
7、=OD EDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 NMEFACBAFEDCBA2、如图，ABC中，AD平分 BAC ， DG BC且平分 BC ， DE AB于 E， DFAC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长 . 应用：1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中， ACB 是直角， B=60， AD、 CE 分别是 BAC、 B
8、CA 的平分线， AD、CE 相交于点F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转例 1 正方形 ABCD 中， E为 BC上的一点， F为 CD上的一点，BE+DF=EF ，求 EAF的度数 . 例 2 D为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。（1）当MDN绕点 D转动时，求证DE=DF 。（2）若 AB=2 ，求四边形DECF的面积。例 3 如图，ABC是边长为3 的等
9、边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以D 为顶点做一个060角， 使其两边分别交AB于点 M ， 交 AC于点 N， 连接 MN ， 则AMN的周长为；作业：1. 如图 , ABCADE，BC的延长线交DA于 F，交 DE于 G, 105AEDACB,25,10DBCAD, 求DFB、DGB的度数 . EDGFCBA( 第 23 题图 ) O P A M N E B C D F A C E F B D 图图图BCDNMA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 2 如图， AB=AC,BE和 CD相交于 P，
10、 PB=PC, 求证： PD=PE. 3如图，在ABC中,M 在 BC上， D在 AM上， AB=AC , DB=DC 。求证： MB=MC 4. 如图 ,AD 与 BC相交于 O,OC=OD,OA=OB,求证：DBACAB5. 如图，梯形ABCD 中， AB/CD，E是 BC的中点，直线AE交 DC的延长线于F 求证：ABEFCE6. 如图，在ABC中， AB=AC ，D、E分别在 BC 、AC边上。且BADE,AD=DE 求证：ADBDEC. 7如图， 在ABC中，90Co，AD平分CAB，8cm5cmBCBD，那么D点到直线AB的距离是cm8如图，已知AOB和射线O B，用尺规作图法作A
11、 O BAOB（要求保留作图痕迹） 9已知，如图，点B、F、C、E 在同一直线上，AC、DF 相交于点G，ABBE，垂足为B，DEBE，垂足为 E，且 ABDE ，BFCE。求证：（1） ABC DEF； （2）GFGC。10 、 已 知 四 边 形ABCD中 ，ABAD，BCCD，ABBC，120ABCo，60MBNo，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转ABDCA O B BO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 到AECF时（如图1） ，易证AECFEF当MBN
12、绕B点旋转到AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明11、 （西城 09 年一模）已知 :PA=2,PB=4, 以 AB为一边作正方形ABCD, 使 P、D两点落在直线AB的两侧 .(1) 如图 , 当 APB=45 时 , 求 AB及 PD的长 ; (2) 当 APB 变化 , 且其它条件不变时,求 PD 的最大值 , 及相应 APB的大小. 12、 在等边ABC的两边 AB、 AC 所在直线上分别有两点M、 N， D 为ABCV外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC.
13、 探究：当M、N 分别在直线 AB 、AC 上移动时， BM 、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系图 1 图 2 图 3 （ I）如图1，当点M 、 N边 AB 、 AC上，且DM=DN时， BM 、 NC 、 MN之间的数量关系是； 此时LQ；（II）如图 2，点 M、N 边 AB、 AC 上，且当DMDN 时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图 3，当 M、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q= （用x、L 表示） （图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
