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1、名师精编优秀资料线性代数知识点总结第二章矩阵及其运算第一节 矩阵定义由mn个 数1 , 2 ,;1 , 2 ,ijaim jn排 成 的m行n列 的 数 表111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为 m行 n列矩阵。简称mn矩阵,记作111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa,简记为m nijijm nAAaa,,mnA这个数称为的元素 简称为元。说明元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵。扩展几种特殊的矩阵:方阵:行数与列数都等于n 的矩阵 A。 记作: An。行(列 )矩阵: 只有一行 (列 )的矩阵。也称行(列)向量。同型矩阵: 两矩阵的行数
2、相等,列数也相等。相等矩阵: AB同型 ,且对应元素相等。记作:AB零矩阵: 元素都是零的矩阵(不同型的零矩阵不同)对角阵: 不在主对角线上的元素都是零。单位阵: 主对角线上元素都是1,其它元素都是0,记作: En(不引起混淆时,也可表示为 E )(课本 P29P31)注意矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同。第二节 矩阵的运算矩阵的加法设有两个m n矩阵ijijAaBb和,那么矩阵A与B的和记作AB,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8
3、 页名师精编优秀资料规定为111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab说明只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。(课本 P33)矩阵加法的运算规律1 ABBA;2ABCABC1112121222113,()nnijijm nm nmmmnaaaaaaAaAaaaa设矩阵记,A称为矩阵A的负矩阵40,AAABAB 。 (课本 P33)数与矩阵相乘,AAA数 与矩阵 的乘积记作或规定为111212122211,nnmmmnaaaaaaAAAAAaaa数与矩阵的乘积记作或规定为数乘矩阵的运算规律(设AB、为m n矩阵,,为数
4、)1AA;2AAA;3ABAB。 (课本 P33)矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页名师精编优秀资料矩阵与矩阵相乘设(b )ijB是一个m s矩阵,(b )ijB是一个s n矩阵,那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m n矩阵( c)ijC,其中12121 122jjiiisijijissjsjbba aaa ba ba bb1sikkjka b,1,2,;1,2,im jn,并把此乘积记作CAB注意1。A 与 B 能相乘的条件是:A 的列数 B的行数。2。矩阵的乘法不满足交换律
5、,即在一般情况下,ABBA,而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。3。对于 n 阶方阵 A 和 B,若 AB=BA,则称 A与 B 是可交换的。矩阵乘法的运算规律1AB CA BC;2ABA BAB3 A BCABAC,BC ABACA4m nn nm mm nm nAEEAA5若 A是 n 阶方阵,则称Ak为 A的 k 次幂, 即kkAA AA个, 并且mkm kA AA,kmmkAA,m k为正整数。规定: A0 E 注意矩阵不满足交换律,即ABBA,kkkABA B(但也有例外) (课本 P36)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
6、3 页,共 8 页名师精编优秀资料纯量阵矩 阵0E0称 为 纯 量 阵 , 作 用 是 将 图 形 放 大倍 。 且 有()(E )E AAA,A 为 n 阶方阵时,有()( E )nnnnnEAAA,表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的。(课本 P36)转置矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作A,如122458A,142528TA。转置矩阵的运算性质1TTAA;2TTTABAB;3TTAA;4TTTABB A。 (课本 P39)方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式,叫做方阵A的行列式,记作A或det A(记住这个符号)注意矩阵与行列式是两个不同的概念,n
7、 阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表,而 n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。运算性质1TAA;2nAA;(3) ABA BB ABA(课本 P40)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页名师精编优秀资料对称阵设 A 为 n 阶方阵,如果满足A=AT,即,1,2,ijjiaai jn那么 A 称为对称阵。说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,如果TAA则称矩阵A为反对称的。即反对称矩阵A=(aij)中的元素满足aij aji,i,j=1,2,n伴随矩阵行 列 式A的 各 个 元 素 的 代 数 余
8、 子 式ijA所 构 成 的 如 下 矩 阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA称为矩阵 A 的伴随矩阵。性质AAA AA E(易忘知识点 ) (课本 P?)总结(1)只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。(2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。(3)矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。第三节逆矩阵定义对于 n 阶矩阵 A,如果有一个n 阶矩阵 B,使得 ABBAE则说矩阵A是可逆的,并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵。1AA的逆矩阵记作,1AB即。说明1 A ,B 互为逆阵,A = B-12只对方阵定义逆阵。3
9、.若 A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的。定理 1 矩阵 A 可逆的充分必要条件是0A,并且当A可逆时,有1*1AAA(重要 )(证明见课本P?)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页名师精编优秀资料奇异矩阵与非奇异矩阵当0A时,A称为奇异矩阵,当0A时,A称为非奇异矩阵。即0AAA可逆为非奇异矩阵。推论若(A=E)ABE 或B,则1BA(证明见课本P?)求逆矩阵方法*1(1)| 021(3)|AAAAAA先求并判断当时逆阵存在;( )求;求。更好的求逆矩阵的方法-chapter3 初等变换法(A,E) 逆矩阵的运算性质
10、1111,AAAA若 可逆 则亦可逆 且1112,0,AAAA若 可逆 数则可逆 且。1113,A BABABB A若为同阶方阵且均可逆则亦可逆 且()。 (以上证明见课本 P43)114,TTTAAAA若 可逆 则亦可逆且。115,AAA若 可逆 则有。总结逆矩阵的计算方法1 待定系数法;12AAA利用公式;3 初等变换法下一章介绍第四节矩阵分块法矩阵分块将矩阵A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每一个小矩阵称为A 的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块的目的是为了简化运算。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页
11、,共 8 页名师精编优秀资料分块矩阵的运算规则加法A 与 B 同型,且A、B的分块方法相同,则A 与 B的和定义为对应子块相加。数乘()ijAA。转置112111121312222122231323,TTTTTTTAAAAAAAAAAAAAA设则。(先外转再内转) 乘法首 先AB有 意 义 , 其 次A的 列 的 分 法 与B的 行 的 分 法 相 同 。,Am lBln设 为矩阵为矩阵 分块成1212,(),()tnBBAA AABB即列向量组即行向量组,1212,iiitjjtjAAABBB其中的列数分别等于的行数那么1111rssrCCABCC,11, ;1,tijikkjkCA Bis
12、 jr其中。结论分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。分块对角阵(准对角矩阵)设 A 为 n 阶矩阵,若A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方阵,即12sAAAA,1,2,iA is其中都是方阵, 则有:121)sAA AA。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页名师精编优秀资料122)0,isAAAAAA若每个则 可逆 且有,1111121,2,isAAisAdiagAAA可逆可逆且(diag(A)表示对角阵A)(课本 P?)有用的结论TA AO,AOP?设则(证明见课本)线性方程组的分块表示线性方程组1111221121 122222m11m22m.nnnnnnna xa xa xba xa xa xbaxaxaxb,111112112221222212.A(),.nnijnmmmmnmxbaaabxbaaabaxbBxbaaab记,其中 A 为系数矩阵, x 称为未知数向量,b 称为常数向量,B 称为增广矩阵。增广矩阵可以分块表示为:12( , )(,., )nBA bBa aab或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页