《2022年勾股定理及其逆定理复习典型例题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年勾股定理及其逆定理复习典型例题(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载勾股定理及其逆定理复习典型例题1.勾股定理: 直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方。 (即: a2+b2=c2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长:a、b、c 有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。2.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。3.如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形(1)首先确定最大边(如:C,但 不要认为最大边一定是C)(2)验证 c2与 a2+b2是否具有相等关系,若 c2=a2+b2,则 A
2、BC 是以 C 为直角的三角形。 (若 c2a2+b2则 ABC 是以 C 为钝角的三角形,若 c2a2+b2则 ABC是以 C 为锐角三角形)二、例题分析例 1、 若直角三角形两直角边的比是3:4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。解:设此直角三角形两直角边分别是3x, 4x,根据题意得:( 3x)2+(4x)2=202化简得x2=16;直角三角形的面积=21 3x 4x=6x2=96 注:直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组)求解。例 2、等边三角形的边长为2,求它的面积。解:如图,等边ABC ,作 AD BC 于 D 则: BD=21BC(等腰三角形底边上
3、的高与底边上的中线互相重合)AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)BD=1 在直角三角形ABD中AB2=AD2+BD2,即:AD2=AB2BD2=41=3 AD=3SABC=21BC AD=3ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页学习必备欢迎下载注:等边三角形面积公式:若等边三角形边长为a,则其面积为43a例3、直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。解:设此直角三角形两直角边分别是x,y,根据题意得:)2(5) 1(125222yxyx由( 1)得: x+y=7,( x+y)2=49
4、, x2+2xy+y2=49 (3) (3) (2) ,得: xy=12 直角三角形的面积是21xy=21 12=6(cm2)例 4、在锐角 ABC 中,已知其两边a=1,b=3,求第三边的变化范围。分析 :显然第三边b acb+a,但这只是能保证三条边能组成一个三角形,却不能保证它一定是一个锐角三角形,为此,先求ABC 为直角三角形时第三边的值。解:设第三边为c,并设 ABC 是直角三角形当 第三边是斜边时,c2=b2+a2, c=10当 第 三 边 不 是 斜 边 时 , 则 斜 边 一 定 是b,b2=a2+c2,c=22(即8) ABC 为锐角三角形所以点A 应当绕着点B 旋转,使AB
5、C 成为锐角(如图) ,但当移动到点A2位置时 ACB成为直角。故点A应当在A1和A2间移动,此时22AC10注:此题易忽视或中一种情况,因为假设中并没有明确第三边是否直角边,所以有两种情况要考虑。例 5、 以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是()A、 8,15, 17 B、4,5,6 C、5,8,10 D、 8, 39, 40 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形:b2=c2a2=(ca) (c+a)来判断。例如:对于选择支D,82(40+39)(4039) ,以 8,39, 40 为边长不能组成直角三角形。答案: A 例 6、四边形 ABCD
6、 中, B=90 ,AB=3 ,BC=4 ,CD=12 ,AD=13 ,求四边形ABCD3ABC31A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页学习必备欢迎下载的面积。解 :连结AC B=90 , AB=3 , BC=4 AC2=AB2+BC2=25(勾股定理) AC=5 AC2+CD2=169, AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90 (勾股定理逆定理) S四边形ABCD=SABC+SACD=21AB BC+21ACCD=36 本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。例 7、 若直角三角形的三边长分别是n
7、+1, n+2,n+3,求 n。分析:首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解 :此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得:(n+1)2+(n+2)2=( n+3)2化简得: n2=4 n= 2,但当 n= 2 时, n+1= 10, n=2 三、练习题1、等腰三角形的两边长为4 和 2,则底边上的高是_ ,面积是 _ 。2、一个直角三角形的三边长为连续偶数,则它的各边长为_。3、一个直角三角形一条直角边为16cm,它所对的角为60 ,则斜边上的高为_ 。4、四个三角形的边长分别是3,4,5 4,7,8217,24,25321,421,521其中是直角三角形的是(
8、)A、B、C、D、5、如果线段a、 b、c 能组成直角三角形,则它们的比可以是()A、 1:2:4 B、 ! : 3: 5 C、 3: 4: 7 D、 5: 12: 13 6、已知:如图,四边形ABCD 中, AB=20 ,BC=15 ,CD=7 ,AD=24 , B=90 ,求证: A+ C=180 。ABCDABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页学习必备欢迎下载7、已知直角三角形中,两边的长为3、 4,求第三边长。8、 ABC 中, C=90 ,a=5, cb=1,求 b,c 的长。9、如图:ABC 中, A
9、D 是角平分线,AD=BD , AB=2AC 。求证: ACB 是直角三角形。三、练习题解答1、15,152、6,8, 10 3、8cm4、D 5、D 6、本题类似于例6,需连结AC 证出 ACD 也是直角三角形,从而 1+ 2=90 , 3+ 4=90 , DAB+ DCB=180 ABCDABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页学习必备欢迎下载7、解:设第三边长为x, 当 第三边是斜边时:x2=32+42=25,即 x=5 当 第三边不是斜边时,则斜边长为4: x2=42 32,即 x=78、此题类似于例3 解:根据题意得:125)(222bcbcbcbca125bcbc1213bc9、证明:作DE AB 于 E AD=BD,DE AB 2AE=AB (等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合) DEA=90(垂直的定义)又 AB=2AC AE=AC AD 是角平分线 1=2 在 ACD 和 AED 中ADADAEAC21 ACD AED (SAS) C= AED=90 (全等三角形对应角相等) ACB 是直角三角形ABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页