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1、学习必备欢迎下载20XX届高三数学学案（十九） ：排列组合、二项式定理、概率一、基础知识：1.2 个计数原理和2 个计数模型：乘法原理，加法原理，排列模型，组合模型排列数公式：!(1)(2)(1)()!mnnPn nnnmnm组合数公式：(1)(2)(1)!()!mnmmPn nnnmnPmm nm计数问题的【基本策略】例 1.3 封不同的信投入4 个不同的邮箱，共有种不同的投法。变式 3 名运动员在奥运会上争夺4 项冠军，共有种不同的比赛结果。【辨析】组一：礼品袋中有10 个不同颜色的球，从中取3 个（1）若每次取一个，取3 次，且取后不放回，有种不同的取法。（2）若每次取一个，取3 次，且
2、取后放回，有种不同的取法。（3）若一次性取出，有种不同的取法。组二：宜川中学高三（8）班有 44 名同学（1）若从中选择2 名同学去参加团代会，有种不同的选法。（2）若从中选择2 名同学担任正副班长，有种不同的选法。乘法原理和排列数的差别：排列数和组合数的差别：例 2.全班有 20 名男生， 18 名女生，选出3 名女生， 2 名男生站成一排，有种排法。解决计数问题： 【程序化】 1. 2. 例 3. 100 件产品中有合格品90 件，次品 10 件，现从中抽取4 件检查， 至少有 1 件次品的取法有种。 （两种方法）乘法原理和加法原理的差别：2.二项式定理：展开式，通项，系数（二项式系数，项
3、的系数）展开式：011()nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b通项：1rn rrrnTC ab多项式展开的实质：1 个括号中取1 个数相乘为1 项，项的系数为取该项的次数例 4.291()2xx展开式中含9x的项为第项。例 5.5151被 7 除的余数为。变式 1223566666999CCCC的值为。例 6.64(1) (1)xx展开式中x项的系数为。例 7.（1）8290129(3)xaa xa xa x，22028139()()aaaaaa。（2）201 1222 ,(14 )nnnnnnbxaa b xa b xa b x，12naaa。（3）423401234
4、(2)(2)(2)(2)xaa xaxaxax，3a= 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载3.组合数性质的应用组合数的性质：mnmnnCC，1!mmmnnnCCC例 8.方程3323551xxCC的解为。变式 383321nnnnCC。例 9.（1）12323nnnnnCCCnC。（2）123234!nnCCCC。变式 3333456nCCCC。4.基本事件的概率问题基本事件的概率问题等价于2 次排列组合问题来解决。例 10.两颗骰子掷一次，分别出现3,6 的概率是。例 11.袋中有红、 黄、白球各
5、 1 个，有放回的取3 次，取出无红色或无黄色的概率是。例 12.将 1,2， 9 分成 3 组，每组3 个数给甲、乙、丙3 人， 3 人手中的数都成等差数列的概率是。二、基本问题：1. 乘法原理的转化使用例 13. （ 1）多项式2123412312()()()aaaabbbcc有项。（2）120 有个正约数。（3）123123456,a aaAa a aaa a，则集合A有种可能。（4）若集合12,AA满足12AAA， 则称12(,)A A为 A的一种分拆， 当且仅当12AA时，12(,)AA为同一分拆，1,2,3M有种不同的分拆。2. 典型计数问题（1）定位问题（特优法）例 14. 用
6、0,1,2,3,4,5能组成个无重复数字，且个位、十位都是奇数的四位数。是否需要分类的判定依据：（2）相邻问题（捆绑法） 、间隔问题（插空法）例 15. 10 个人站成一排， 其中甲、 乙两人必须排在一起，而丙、丁两人不能排在一起, 则共有种不同的排法。 变式 1 将 5 个不同颜色的球放入5个不同的盒子，恰有一个空盒的放法有_种。 变式 2 一排 8 个座位 3 个人坐，每人两边均有空位，则有种排法。（3）错位问题（跟随法）例 16. 四名同学每人写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方法有_种。（4）定序问题（去序法）例 17. 书架上有4 本不
7、同的书，再放上3 本不同的书排成一排，并保持原有4 本顺序不变，则有种放法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载例 18. 6 本不同的书分成3 份，每份 2 本，有种分法。 变式 16 本不同的书分给甲、乙、丙3 个人，每人3 本，有种分法。 变式 2 有 3 个学习小组， A组 5 人，B组 3 人，C组 2人，从中任选4 人参加比赛，且每组至少一人参赛，有种不同的选法。乘法原理本身就限定了顺序，平均分组问题须去序。元素（组）是否有顺序的判断依据：元素（组）有顺序的一般情境：元素（组）来源不同或元素
8、（组）去向不同三、复杂问题：特殊背景下的计数问题（1）染色问题常用方法：（ 1）考虑选择可涂同色的区域（可捆绑）； （2）考虑按涂色种数分类；（3）考虑适当枚举； （4）考虑适当变化图形形状例 19. 如右图，用5 种不同颜色涂4 个区域，且相邻区域不能涂相同颜色，有种不同的涂色方法。 变式 如下图， 用 3种不同颜色涂4 个方格， 相邻方格不涂同色，有种不同的涂色方法。（2）几何问题常用方法：尝试寻找图形规律，先考虑大类（酌情分类），再考虑剩余（适当枚举），关注分类标准，做到不重不漏。例 20. 四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱中点中取3 个点， 使它们和点A 在同一平面上，不同取法有
9、_个。 变式 若AOB 的两边上分别有3个点和 4个点， 过这八个点 (含O点)可作 _个三角形。（3）抽象性问题常用方法：酌情将问题转化，把元素的实际意义抽象出来，赋予m和 n 具体的含义例 21. 不定方程100xyz的正整数解不同组数为。四、上海高考近年命题热点：前几年排列组合问题考借助分类、枚举解决代数几何背景下有特定数学意义的计数问题为多（07（理） 7,08 （理） 7,10 （理） 14） ，近两年有考在现实背景下运用基本计数方法的趋势（11（理） 12,12 （理） 11）, 并多以概率形式考核。二项式定理的考核近5 年几乎不涉及。【反思】“排列组合”解题中的注意点有：1. 2
10、. 五、同步练习：1.方程226xC的解为。2.将 5 支不同的花栽入4 个不同的花盆，有种栽法。3.在二项式52)1(xx的展开式中，x的一次项系数为。 （用数字表示）1 2 3 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载4.多项式2123121234()() ()aaabbcccc展开后共有项。5. 从一个 43 人的班级中随机选出5 人，班长、团支书、学习委员中至少1 人被选中，则有种不同的选法。6. 满足1,2,31,2,3,An的集合A有个。7.2,1,0,4能组成个没有重复数字的4 位偶数。8
11、.某团支部进行换届选举，从甲、乙、丙、丁中选出三人分别担任班长、书记和宣传委员，规定上届任职的甲、乙、丙不能连任原职，则不同的任职方案_种。9. 若423401234(23)xaa xa xa xa x，则2202413()()aaaaa= 。10.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12 人，从这些教师中随机挑选一人表演节目若选到男教师的概率为920，则参加教师共有人11.（2012（理） 11）三位同学参加跳远、跳高、铅球项目的比赛. 若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是。12. 如右图， 某城市中心广场建造一个花圃分为6 部分，如右图现要栽种4 种不同颜色的花
12、，每部分栽种一种，且相邻区域不能栽种同色花，共有_种栽种方法。13. （2006（理） 10. ）如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_。14.（2010（理） 14）从集合 , , , Ua b c d 的子集中选出4 个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（ 1）,U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A 和 B，必有AB或AB那么，共有 _种不同的选择。15.从 5 名候选人中选出3 名同学作为三好学生，有种选法。（A）35C（ B）35P（C）35（D）5316.14
13、11321213141414|91,7777Aa akkZbCCC,A 与 b 的关系是。（A）bA（B）bA（C）bA（D）bA17. 将 5,6 ，7,8 四个数填入12349中空白处构成3 行 3 列的矩阵，要求每次从左到右，每列从上到下依次增大，则满足要求的填法有种。（A）6 （B） 3 （C）24 （D）12 18.13.6名翻译中， 6 人懂英语， 4 人懂日语，既懂英语又懂日语的1 人，从中选3 名英语， 2名日语，有种不同选法。123456精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载（A）60 （B） 90 （C） 30 （D）120 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
