2022年函数定义域值域表示方法教案

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1、学习必备欢迎下载函数的概念定义域基础知识一、函数的概念1、函数的定义：设BA、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为Axxfy),(. 2、函数的定义域、值域在函数Axxfy),(中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做)(xfy的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合Axxf)(称为函数)(xfy的值域 . 3、函数的三要素：定义域、值域和对应法则. 注意： （1） “( )yf x”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“( )yg x” ；（2） 函数符号“( )yf

2、x” 中的( )f x表示与x对应的函数值， 一个数，而不是f乘x二、区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（ 3）区间的数轴表示三、函数定义域的求法1、求函数定义域的一般原则：如果( )f x为整式，其定义域为实数集R；如果( )f x为分式，则其定义域是使分母不等于0 的实数集合；若( )f x是偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0 的实数的集合；若( )f x是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集；0( )f xx的定义域是|0xR x；( )logaf xx(01)aa且的定义域是|0x x；

3、( )(01)xf xaaa且的定义域是实数集R. 2、 抽象函数的定义域：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载函数( )f x的定义域是指x的取值范围所组成的集合；函数( )fx的定义域还是指x的取值范围，而不是( )x的取值范围；已知( )f x的定义域为A，求( )fx的定义域，其实质是已知( )x的取值范围为A，求出x的取值范围；已知( )fx的定义域为B，求( )f x的定义域，其实质是已知 ( )fx中的x的取值范围为B，求出( )x的范围（值域） ，此范围就是( )f x的定义域；同在对

4、应法则f下的范围相同， 即( )f t， ( )fx， ( )f h x三个函数中的t，( )x，( )h x的范围相同.例题精讲考点一：判断两函数是否为同一个函数例 1、判断下列函数( )f x与( )g x是否表示同一个函数，说明理由？（1）0( )(1)f xx；( )1g x（2）( )f xx；2( )g xx（3）2( )f xx；2( )(1)f xx（4）( )f xx；2( )g xx解析： （1）不是，定义域不同（ 2）不是，值域不同（ 3）是（4）是变式训练： 例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(xxf，33)(xxg；（2）xxxf)(，; 01,

5、01)(xxxg（3）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（n N*） ；（4）xxf)(1x，xxxg2)(；（5）12)(2xxxf，12)(2tttg解析： （1）不是，值域不同（2）不是，定义域域不同（3）是（4）不是，定义域域不同（5）是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载考点二：求函数定义域例 2、求下列函数的定义域（1）2( )232xf xxx（2）22( )35f xxx（3）2( )45f xxx（4）24( )1xf xx（5）25( )log (43 )f xxx

6、解析： （1）1|02x xx且（2）5,33,5（3）5,1（4） 2,1)(1,2（5）1(,1,)4考点三：抽象函数定义域的求法例 3、 （1）已知函数)(xfy的定义域为ba，求)2(xfy的定义域.解析：因为)(xfy的定义域为ba，所以在函数)2(xfy中，bxa2，从而22bxa，故)2(xfy的定义域是2,2ba即本题的实质是求bxa2中x的范围.（2）已知)2(xfy的定义域是ba，求函数)(xfy的定义域.解析：因为函数)2(xfy的定义域是ba， 则bxa，从而222bxa所以函数)(xfy的定义域是2,2ba. 变式训练1：设( )fx的定义域是 3，2 ，求函数(2)

7、fx的定义域 . 解析：要使函数有意义，必须：223x得：221xx 0 220x2460x函数)2(xf的定域义为：2460|xx.变式训练 :2 ：若函数(1)f x的定义域是 2,3，求(21)yfx的定义域 . 解析：50,2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载考点四：已知定义域求参数的取值范围例 4、若函数aaxaxy12的定义域是一切实数，求实数a的取值范围 . 解析：210axaxa恒成立，等价于2002140aaaaa变式训练： 已知函数32143axyaxax的定义域是R，求实数a的

8、取值范围 . 解析：依题意，要使函数有意义，必须2430axax，要使函数的定义域为R，必须方程2430axax无解；当0a时，2430axax无解；当0a时，方程2430axax的判别式0，即2(4 )120aa304a综上可得304a时，已知函数的定义域为R. 能力提高例 1、求下列函数的定义域（1）(1)yx xx；（2）221533xxyx解析：|10x xx且解析：|536x xxx或且例 2、若3( )21xf xx的定义域为A，( )(1)(2)g xxaax(1)a的定义域为B，当BA时，求实数a的取值范围 . 解：由题意得(, 1)1,)A，2 ,1Ba a11a，12122

9、aaa或, 又11(, 2),12aa例 3、若函数)(xfy的定义域为 1， 1 ，求函数)41(xfy)41(xf的定义域 . 解析：要使函数有意义，必须：43434543434514111411xxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载函数)41(xfy)41(xf的定义域为：4343|xx例 4、设xxxf22lg，则xfxf22的定义域为（）A. 4 ,00, 4；B. 4, 11,4；C. 2, 11, 2；D. 4 ,22, 4解析：要求复合函数xfxf22的定义域，应先求)( xf

10、的定义域。由202xx得，( )f x的定义域为22x，故22,2222.xx解得4, 11,4x; 故xfxf22的定义域为4, 11,4. 选 B. 课堂练习1、下列个组函数表示同一函数的是（D ）1)(11)(.2xxgxxxfA与2. ( )2( )2B f xxg xxx与2.( )( )()C f xxg xx与22.( )21( )21D f xxxg ttt与2、若函数( )yf x的定义域是 0,2,则函数(2 )( )1fxg xx的定义域是（B ）.0,1A.0,1)B. 0 , 1)(1,C.( ,1)D3、函数)(xf)4323ln(122xxxxx的定义域为 ( D

11、 ) A.),2)4,( B.)1 ,0()0,4( C. 4,0)(0,1 D. 4,0)(0,1)4、若函数(1)f x的定义域为23，则函数(21)fx的定义域是；函数1(2)fx的定义域为 .(50,2,11(,)32) 5、已知函数268ymxmxm的定义域为R，求m的取值范围 . 解析：01m课后作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载1.函数)13lg(13)(2xxxxf的定义域是（C ）1.(,)3A1 1.(,)3 3B1.(,1)3C1.(,)3D2.函数268ykxxk的定义域

12、为R，则k的取值范围是（ B ）.09Akk或.1B k.91Ck.01Dk3.设函数( )f x的定义域为 0,1 ， 则函数2()f x的定义域为； 函数(2)fx的定义域为.（1,1 , 4,9）4.已知(2 )xf的定义域为1,2，则12( lo g)yfx的定义域为 .（11,16 4）5.求下列函数的定义域：（1）23( )lg(31)1xf xxx（2）12log (2)xyx解析： （1）1,13（2）1,26.已知函数22(1)1xyaxax的定义域是R, 求实数a的范围 . 解析：32 2,32 2函数的概念值域基础知识一、函数值域的求法1、基本初等函数的定义域和值域：一次

13、函数( )(0)fxkxb k的定义域是R，值域是R；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载反比例函数( )(0)kf xkx的定义域是(,0)(0,)，值域是(,0)(0,)；二次函数2( )(0)f xaxbxc a的定义域是R， 当0a时， 值域是(),)2bfa；当0a时，值域是(,()2bfa；2、求函数值域的常用方法：观察法：如求函数1yx的值域；配方法：若函数是二次函数形式即可化为2( )(0)f xaxbxc a型的函数，再配方；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数

14、值得范围；换元法：分离常数法：将形如(0)cxdyaaxb的函数，分离常数；反函数法：例题精讲考点一：求函数的值域例 1、求下列函数的值域（1） （观察法）24yx（2） （配方法）2347yxx（3） （判别式法）2224723xxyxx（4） （换元法）21yxx（5） （分离常数法）5142xyx（6） （反函数法）221xyx解析： （1）0,2（2）7,)3（3）9,2)2（4）1,)2（5）54yRy且（6）0,1)考点二：已知值域求参数的取值范围例 2、求使函数2221xaxyxx的值域为(,2)的a的取值范围 . 解：令22221xaxxx，22131()024xxx2222(

15、1)xaxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载即2(2)40xax，此不等式对xR恒成立， =2 (2)4 1 40a解得62a，使函数2221xaxyxx的值域为(,2)的a得取值范围为| 62aa. 能力提高例 1、求下列函数的值域：（1）21( )1f xx（2）28( )45f xxx（3）12yxx解析： （1）(0,1（2）(0,8（3）(,1例 2、若函数( )yf x的值域是3 ,32，求函数1( )Fxfxf x的值域 . 解析：)(xF可以视为以)(xf为变量的函数，令)(xf

16、t，则)332(1tttF2222)1)(1(111ttttttF，所以，ttF1在 1 ,32上是减函数，在3 ,1 上是增函数，故)(xF的最大值是310，最小值是2. 答案：课堂练习1、函数251xyx的值域为（D ）5.|2A yy.|0By y.|25Cy yy且2.|5Dy y2、函数2211xyx的值域为（B ）. 1,1A.( 1,1B. 1,1)C.(, 11,)D3、求下列函数的值域：（1）223yxx( 10)x（2）21yxx解析：2214yxx解析：令21212ttxx2(1 )4x21( )(0)2tf tt t10x21(1)2t310, 2精选学习资料 - -

17、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载函数的值域为 4, 3函数的值域为(,0（3）222231xxyxx（4）311xyx解析：22131()024xxx解析：方法一：22(1)223y xxxx3(1)44311xyxx即2(2)(2)30yxyxy401x当2y时，显然不成立；函数的值域为|,3y yRy且当2y时，22(2)4(2)(3)0yyyy方法二：31(1)yxyxx1023y13yxy即函数的值域为102,3. 函数的值域为|,3y yRy且. 课后作业1、 求下列函数的值域（1）211yx（2）2445y

18、xx解析：221111xx解析：2245(2)99xxx21 10x20453xx函数的值域为0,)函数的值域为1,4. （3）22436xxyxx（ 4）12yxx解析：(1)(3)(2)(3)xxyxx解析：令21122ttxx(1)(3)(2)xyxx21( )(0)2tf tt t2331122xxx21(1)12t当3x时，原式25y10( )2tf t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载函数的值域为2|,1,5y yRyy且且函数的值域为1(,2.2、已知函数22( )lg(1)(1)1,

19、f xaxax若( )f x的值域为(,)，求实数a的取值范围；解析：要使( )fx的值域为(,)，则对对任意22,(1)(1)10xRaxa恒成立21210101110axaaa不成立（1）当即时，成立222210510131410aaaaaa（2）当时，或综上所述：a的取值范围为：5(,1(,)33、求函数2121xxy的值域 . 解析：由题意知1y，从而得1201xyy，所以11y所以函数的值域是( 1,1). 函数的表示法基础知识一、函数的表示方法： （1）列表法；（2）图像法；（3）解析法 . 二、 映射的概念： 一般地， 设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对

20、于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）记作： “:fAB”. 三、函数解析式的求法：（1）代入法；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载（2）换元法；（3）待定系数法；（4）消去法；（5）分段函数的解析式的求法；（6）抽象函数的解析式的求法. 例题精讲考点一：图表例 1、已知函数( )f x，( )g x分别由下表给出：则 (1)f g的值为；满足 ( )( )f g xg f x的x的值是. 解析：由表中

21、对应值知(1)f g=(3)1f；当1x时，(1)1, (1)(1)3f gg fg，不满足条件当2x时，(2)(2)3, (2)(3)1f gfg fg，满足条件，当3x时，(3)(1)1, (3)(1)3f gfg fg，不满足条件，满足 ( )( )f g xg f x的x的值是2x考点二：求函数解析式例 2、 （1） （代入法） 已知( )21f xx，求2(1)fx；解析：22(1)21fxx（2） （换元法） 已知(1)2fxxx，求( )fx；解析：2( )1f xx（3） （待定系数法）若( )2726fff xx，求一次函数( )f x的解析式；解析：设( )f xaxb，则

22、2( )ff xa xabb，232( )()fffxa a xabbba xa babbx1 2 3 ( )f x1 3 1 x1 2 3 ( )g x3 2 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载32273( )32226aafxxba babb（4） （消去法） 已知1( )2( )32f xfxx，求( )f x；解析：依题意可得：1( )2 ()322( )213()2( )2fxfxxf xxxff xxx变式训练： 已知3(1)2(1)2f xfxx，求( )f x解析：2( )25

23、f xx（5） （分段函数）已知函数()( ),()fxf xxR，当0x时，( )(5)1f xxx，求( )f x在R上的解析式；解析：由()( )(0)0fxf xf当0x时，0x，则()(5)1fxxx，即( )()(5)1f xfxxx(5)1,0( )0,0(5)1,0xxxf xxxxx（6） （抽象函数）设( )f x是R上的函数，且满足(0)1f，并且对于任意实数,x y都有()( )(21)f xyf xyxy，求( )f x的解析式 .解析：令xy得(0)( )(21)1ffxxxx2( )1f xxx变式训练： 已知函数( )f x对任意的实数,x y都有()( )2

24、()f xyf xy xy， 且( 1 ) 1f，求( )f x的解析式。解析：令0,1xy得(10)(0)2ff又(1)1(0)1ff令0,xyx得22( )(0)2( )21f xfxf xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载能力提高例 1、已知1( )=1+f xx，求(1)(2)(3)(4)(2011)fffff111( )()()122011fff的值 . 解析：111( )( )1111f xfxxx例 2、函数( )yf x的定义域为(0,)，且对于定义域内的任意, x y都有()(

25、 )( )f xyf xf y，且(2)1f，求2()2f的值 . 解析：(2)( 22)(2)(2)1ffff1(2)2f221(2)(2)(2)()222ffff21()22f课堂练习1、下列对应法则f中，构成从集合A到集合B的映射是（）A2|:,0|xyxfRBxxAB2:,4,2,0 ,2xyxfBAC21:,0|,xyxfyyBRAD2:,1 ,0,2 ,0xyxfBA解析：根据映射的定义知，构成从集合A到集合B的映射是D 2、设f、g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：映射f的对应法则是表1 原象1 2 3 4 象3 4 2 1 映射g的对应法则是表2 原象1 2 3

26、 4 象4 3 1 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载则与)1(gf相同的是（）A)1( fg B)2( fg C)3( fg D)4( fg解析：A；根据表中的对应关系得，1)4()1 (fgf，1)3()1(gfg3、已知)11(xxf=2211xx，则)(xf的解析式为. 解析：令txx11，则11ttx，12)(2tttf.12)(2xxxf. 4、已知函数2(1)4f xxx，求那么函数( )f x，(21)fx的解析式 . 解析： （换元法）22( )23,(21)44f xxxf

27、xx5、已知( )f x是一次函数，且满足3 (1)2 (1)217f xf xx，求( )f x的解析式 . 解析：设( )(1),(1)f xaxbf xaxab f xaxab3332222175217axabaxabxaxabx22( )275177aaf xxabb课后作业1、二次函数cbxaxy2（xR）的部分对应值如下表：x3 2 1 0 1 2 3 4 y6 0 4 6 6 4 0 6 则不等式02cbxax的解集是 . 解析： 由表中的二次函数对应值可得，二次方程02cbxax的两根为 2 和 3，又根据)2()0(ff且)3()0(ff可知0a，所以不等式的解集是)3,2(

28、. 2、 已知( )f x是二次函数，且2(1)(1)24f xf xxx，求( )f x的解析式 . 解析： （待定系数法）2( )21f xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载3、已知函数( )f x满足2( )()34f xfxx，求( )f x的解析式 . 解析： （消去法）4( )33f xx4、设( )fx是R上的奇函数 （()( )fxf x） ，且当0,)x时，3( )(1)f xxx，（1）则当(,0)x时求( )f x的解析式；（2）求( )f x在R上的解析式 . 解析： （1）,00,xx当时，则33()11fxxxxx又()( )fxf x3( )()1,0f xfxxxx（2）331,0,)( )1,0xxxf xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页