《2022年考研高等数学知识点总结》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年考研高等数学知识点总结(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、名师总结优秀知识点高等数学知识点总结导数公式:基本积分表:三角函数的有理式积分:222212211cos12sinududxxtguuuxuux,axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222
2、222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页名师总结优秀知识点一些初等函数:两个重要极
3、限:三角函数公式:诱导公式:函数角 A sin cos tg ctg -sin cos -tg -ctg 90 -cos sin ctg tg 90 +cos -sin -ctg -tg 180 -sin -cos -tg -ctg 180 +-sin -cos tg ctg 270 -cos -sin ctg tg 270 +-cos sin -ctg -tg 360 -sin cos -tg -ctg 360 +sin cos tg ctg 和差角公式:和差化积公式:2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinct
4、gctgctgctgctgtgtgtgtgtg1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(xxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22)双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284.2)11(lim1sinlim0exxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页名师总结优秀知识点倍角公式:半角公式:cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsinc
5、os1cos1cos122cos12cos2cos12sinctgtg正弦定理:RCcBbAa2sinsinsin余弦定理:Cabbaccos2222反三角函数性质:arcctgxarctgxxx2arccos2arcsin高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz)公式:)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2) 1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理。时,柯西中值定理就是当柯西中值定理:拉格朗日中值定理:xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(曲率:.1;
6、0.)1(limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss的圆:半径为直线:点的曲率:弧长。:化量;点,切线斜率的倾角变点到从平均曲率:其中弧微分公式:23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页名师总结优秀知识点定积分的近似计算:bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyy
7、ynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法:梯形法:矩形法:定积分应用相关公式:babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根:函数的平均值:为引力系数引力:水压力:功:空间解析几何和向量代数:。代表平行六面体的体积为锐角时,向量的混合积:例:线速度:两向量之间的夹角:是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影:点的距离:空间,cos)(.sin,cos,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjib
8、acbbbaaababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页名师总结优秀知识点(马鞍面)双叶双曲面:单叶双曲面:、双曲面:同号)(、抛物面:、椭球面:二次曲面:参数方程:其中空间直线的方程:面的距离:平面外任意一点到该平、截距世方程:、一般方程:,其中、点法式:平面的方程:113,22211;,1302),(,0)()()(122222222222222222222000000
9、2220000000000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz,隐函数,隐函数隐函数的求导公式:时,当:多元复合函数的求导法全微分的近似计算
10、:全微分:0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页名师总结优秀知识点),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组:微分法在几何上的应用:),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(0
11、00000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程:、过此点的切平面方程、过此点的法向量:,则:上一点曲面则切向量若空间曲线方程为:处的法平面方程:在点处的切线方程:在点空间曲线方向导数与梯度:上的投影。在是单位向量。方向上的,为,其中:它与方向导数的关系是的梯度:在一点函数
12、的转角。轴到方向为其中的方向导数为:沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(多元函数的极值及其求法:不确定时值时,无极为极小值为极大值时,则:,令:设,00),( ,0),( ,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页
13、,共 12 页名师总结优秀知识点重积分及其应用:DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(), 0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(,其中:的引力:轴上质点平面)对平面薄片(位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量:平面薄片的重心:的面积曲面柱面坐标和球面坐标:dvyxIdvzxIdvz
14、yIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr)()()(1,1,1sin),(sin),(),(sinsincossinsincossin),sin,cos(),(,),(),(,sincos222222200),(0222,转动惯量:,其中重心:,球面坐标:其中:柱面坐标:曲线积分:)()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况:则:的参数方程为:上连续,在设长的曲
15、线积分):第一类曲线积分(对弧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页名师总结优秀知识点。,通常设的全微分,其中:才是二元函数时,在:二元函数的全微分求积注意方向相反!减去对此奇点的积分,应。注意奇点,如,且内具有一阶连续偏导数在,、是一个单连通区域;、无关的条件:平面上曲线积分与路径的面积:时,得到,即:当格林公式:格林公式:的方向角。上积分起止点处切向量分别为和,其中系:两类曲线积分之间的关,则:的参数方程为设标的曲线积分):第二类曲线积分(对坐0),(),(),(),()0,0(),(),(21212,)()()c
16、oscos()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL曲面积分:dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszy
17、xfzxyzxyxyDDDDyx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系:两类曲面积分之间的关号。,取曲面的右侧时取正号;,取曲面的前侧时取正号;,取曲面的上侧时取正,其中:对坐标的曲面积分:对面积的曲面积分:高斯公式:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页名师总结优秀知识点dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnndiv)coscoscos(.,0div,div)coscosc
18、os()(成:因此,高斯公式又可写,通量:则为消失的流体质量,若即:单位体积内所产生散度:通量与散度:高斯公式的物理意义斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系:dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR的环流量:沿有向闭曲线向量场旋度:,关的条件:空间曲线积分与路径无上式左端又可写成:kjirotcoscoscos)()()(常数项级数:是发散的调和级数:等差数列:等比数列:nnnnqqqqqnn1312112)1(32111112级数审敛法:散。存在,则收敛
19、;否则发、定义法:时,不确定时,级数发散时,级数收敛,则设:、比值审敛法:时,不确定时,级数发散时,级数收敛,则设:别法):根植审敛法(柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页名师总结优秀知识点。的绝对值其余项,那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理:的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛:时收敛时发散级数:收敛;级数:收敛;发
20、散,而调和级数:为条件收敛级数。收敛,则称发散,而如果收敛级数;肯定收敛,且称为绝对收敛,则如果为任意实数;,其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数:0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时,时,时,的系数,则是,其中求收敛半径的方法:设称为收敛半径。,其中时不定时发散时收敛,使在数轴上都收敛,则必存收敛,也不是在全,如果它不是仅在原点对于级数时,发散时,收敛于函数展开成幂级数:nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxn
21、fRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式:充要条件是:可以展开成泰勒级数的余项:函数展开成泰勒级数:一些函数展开成幂级数:)()!12()1(!5! 3sin)11(!)1()1(!2)1(1)1(121532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm欧拉公式:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页名师总结优秀知识点2sin2cossincosixixixixixeex
22、eexxixe或三角级数:。上的积分在任意两个不同项的乘积正交性:。,其中,0,cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1cossin)sincos(2)sin()(001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn傅立叶级数:是偶函数,余弦级数:是奇函数,正弦级数:(相减)(相加)其中,周期nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2)(2,1 ,0cos)(20sin)(3,2,1nsin)(20124131211641312112461412
23、1851311)3,2,1(sin)(1)2, 1,0(cos)(12)sincos(2)(00022222222222222210周期为l 2的周期函数的傅立叶级数:llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3,2,1(sin)(1)2,1 ,0(cos)(12)sincos(2)(10其中,周期微分方程的相关概念:即得齐次方程通解。,代替分离变量,积分后将,则设的函数,解法:,即写成程可以写成齐次方程:一阶微分方称为隐式通解。得:的形式,解法:为:一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程:uxyuuduxdxudxduudxduxudx
24、dyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页名师总结优秀知识点)1 ,0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP,、贝努力方程:时,为非齐次方程,当为齐次方程,时当、一阶线性微分方程:全微分方程:通解。应该是该全微分方程的,其中:分方程
25、,即:中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程:时为非齐次时为齐次,0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数;式中的系数及常数项恰好是,其中、写出特征方程:求解步骤:为常数;,其中式的通解:出的不同情况,按下表写、根据(*),321rr的形式,21rr(*) 式的通解两个不相等实根)04(2qpxrxrececy2121两个相等实根)04(2qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2qp242221pqpirir,)sincos(21xcxceyx二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数;型,为常数,sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页