微积分同步练习册

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1、第五章不定积分凑微分法和分部积分法（第节的内容，请参见本练习册末尾、第五章“自测题”前的附加材料）(9)x3dx； (10)sin xcosxdx；1. 求下列不定积分：(1)e2xdx； (2)(3)dxx2 x； (4)(5)x 11 2x x2dx； (6)1211 2x x2d(1 2x x2)(7)sin2xcos3xdx； (8)1xln xdx；x 1 x2dx；sin21 2xdx；1sin4xdx； csc2xdctgx (ctg2x 1)dctgx 13ctg3x ctgx c1 x223cos2xx3x211 x2dx 1 x2xdx 2( 1 x211 x2)d(1 x

2、2)sin xcosx123cos2xdx 2123cos2xd cos2x16123cos2xd(23cos2x)1323cos2x c(11)1dx； (12*)1x sinx cosx1 exdx；(13*)xx1 ln xdx； (14*)dxsin x 2cos x2exln x1 ln xdx12dxd(tgx exln xdxln xcos xtgx 222)tgx 22 exln x c 1tgx 2c3. 求下列不定积分：(1)arcsinx ln(x 1)dx； (2)x2e2xdx；(3)exsin2xdx； (4)x1 x2ex2dx；(5)sinlnxdx； (6)1

3、 x2dx1 x2dx sectdtgt secttgt tgtd sect secttgt tg2tsectdt secttgt sectdtgt sectdtsectdtgt 12secttgt lnsect tgt c12x 1 x2 ln 1 x2 x c4. 求下列有理函数的不定积分：(1)1xx(1 x7)dx； (2)1 x x2dx.(x 1)112231dx2717x7(1 x7)dx4 (2 x)17(11131x7x71)dx72ln4 (2 x)21x732 37ln1 x7c3arctg3 c5. 求下列不定积分：(1) 已知f (x)是ex2的一个原函数，求xf (

4、x)dx；f (x) ex2,xf (x)dx xex2dx 1x22ed x2 12ex2 c(2) 已知ex2是f (x)的一个原函数，求xf (x)dx.xf (x)dx xdf (x) xf (x) f (x)dx x(ex2)ex2 c 2x2ex2ex2 c换元积分法1. 求下列不定积分：(1)1xdx； (2)11 2x 3dx；2(3)1 xx3dx；(4)1x 1 x2dx；法1）x 1tx sint原式 t311t(12t2dt)原式 1cos 1t2dtsintcosttdt法2）x tgtcsctdt lncsct ctgt c11 x2原式 sect lntg3tse

5、c2tdtxxccsc3tdt csctdctgt(5)x cosxdx；(6)exdx； (7)x98dx1 x2101298xdx 1sin98t101cos101tcostdt tg98tdtgtx22(7)ln(11 xx)dxt 1 xx,x 1t21原式 ln(1t)d1ln(1t)1t21t21(t 1)(t 1)2dt1111(t 1)(t 1)24t 14t 12(t 1)211114(t 1)(t 1)2dt (t 14t 12(t 1)2)dt法2）原式 ln(1t)d1t2112ln(1t)d1t 1ln(1t)d1t 12*. 求不定积分2sin x cosxsin

6、x cosxdx.2sin x cosxsin x cosxdx sin xsin x cosxdx 1sin x cosxd(sin x cosx)sin x4tt 1t 1sin x cosxdx (t2 2t 1)(t21)dt t2 2t 1t21dt3*. 试求不定积分ln x1(ln x)2dxt ln x原式 t 1t1t1tt2e dt te dt t2e dt1tetdt etd1t1tetdt et11tettte dt tc4*. 已知f (ln x) ln(1 x)x，求f (x)dx.t ln x , x etf (ln x) f (t)ln(1 x)ln(1 etx

7、)etf (t) ln(1 et)etf (x)dx ln(1 ex)exdx ln(1 ex)dex exln(1 ex)11 exdx exln(1 ex) x ln(1 ex) c第六章定积分 定积分的概念与性质1. 利用定积分的几何意义，计算下列定积分：(1）20x1 dx； (2）11sin xdx；2(3）211 x2dx.2. 不计算积分，比较下列各积分值的大小（指出明确的“指出明确的“, , ”关系，”关系，并给出必要的理由并给出必要的理由）.(1）120x dx与1xdx； (2）2x2dx与2011xdx；(3）20sin xdx与20xdx； (4）40tan xdx与4

8、0xdx3. 利用定积分的性质，估计I 2x0xe dx的大小.考察xex在0,2上的最大值和最小值。14. 设fx在区间0,1上连续， 在0,1内可导， 且满足f1 330fxdx，试证：在0,1内至少存在一点，使得f 0.130fxdx 13f ()(0 ,13) f (1) f ()在,1上考察f (x),连续、可导，满足罗尔定理的条件从而有： （13， 1） （0， 1） ，使得 f () 05. 试判断下列定积分是否有意义 （即，被积函数在相应的积分区间上是否“可积” ） ，并说明理由.2x2,x 11(1） (2）其中fx1xdx；0fxdx，2,x 116 .根据定积分的定义，试

9、将极限lim*1 2nsinsin sin表nnnnn达为定积分的形式（不需要计算出具体的数值结果） ：lim1 2nsinsin sinnnnnn11i limsinsinxdxn0nn 微积分基本定理3求函数fxuu 1 u 2 ex2du的极值点1求下列函数关于x的导数：(1）x1/t12sin3tdt； (2）1t2xte dt；(3）x22*xetdt； (4）x0x tsintdtxx tsintdt xxx00sintdt 0tsintdtx0x tsintdt xxsintdtxtsintdt x000sintdt2求下列极限：tgudu(1）xlim0x0； (2）lim1x

10、0xx01 2u1x2udu；(3）lim1x2x0x40(1cos u)du04计算下列定积分：(1）21 x31x2 x3dx； (2(3）2102cos x dx； (42）112sin1dx；xx）3min1,x22 dx；(5）221fxdx，其中fxxex,x 1xex,x 1；(6）b1x dx，其中b为常数5设fx在0,1上连续，且满足fx 2x 310fxdx，试求fx11110fxdx 02xdx 0(30fxdx)dx 1310fxdx10fxdx 12f (x) 2x 326*试利用定积分的定义及计算原理求解数列极限limnSn，其中S111n2n12n 2 2n nS

11、111n2n 112n 2 12n n2innlim1111n2in02 xdxn 定积分的换元积分法与分部积分法1. 试利用定积分的换元法计算下列积分：(1）ln2x0e 1dx； (2）21x 1x 12dx；ex1 tx 1 t2(3）11 x22x2dx； (4）2x0x4 2x2 2dx；x sint原式 2cost222costdt 2(csc x 1)dt4sin t (ctgx x)14442x0x4 2x2 2dx 211202 (x21)21d(x 1)12arctg(x21)2102(arctg54)(5）0sin x sin3xdx.sin30sin x xdx 0si

12、n x cosxdx20sin x cosxdx sin x cosxdx22. 利用函数的奇偶性计算下列定积分：(1）21sin2xlnx 1 x2dx； (2）x2 x 1 x2dx.21x53ln x 1 x2 lnx 1 x2, 奇函数3. 设fx是R上的连续函数，试证：对于任意常数a 0，均有ax3fx2dx 1a2020xfxdx.a321a2221a21a20x f xdx 20x f xdx 20tf (t)dt 20xf (x)dx4*. 设fx是R上的连续函数， 并满足x0fx tetdt x2，试求fx.u x t , t x ux0fx tetdt 0fueuxdu x

13、fueuxx0du exx0fueudu (xu0fue du) (x2ex)exf (x) (2x x2)exf (x) 2x x25. 利用定积分的分部积分法计算下列积分：(1）410xsin xdx； (2）0ln1 x2dx；2(3）e1cosln xdx.6*. 试计算20fxdx，其中fx2sintxtdt.f x sin xx20fxdx xf (x)22xf xdx00 20xf xdx 20sin xdx 17*. 已知fx是R上的连续函数，试证：xftx tdt xt000fududt.xftx tdt xxftdt x000tftdtxxxx0ftdt 0tftdt 0f

14、tdt(x0t0fududt) x0ftdt xx0ftdt x0tftdt xt00fududt cx 0 c 0即证 定积分的应用1. 计算下列曲线围成的平面封闭图形的面积：(1）y x34x, y 0；s 220(4x x3)dx 8(2）y x, y x, y 2x.y xx1 0y xx21xy 2x1 0y xx1241s 4(2x x)dx 11( x x)dx 704482. 假设曲线y 1 x20 x 1、x轴和y轴所围成的区域被曲线y ax2a 0分为面积相等的两部分，试确定常数a的值.x 1y 1 x2 ax1y2a 11x2 a 11a10(1 x2 ax2)dx 11

15、20(1 x2)dxa 33. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转一周而成的立体体积：(1）xy41, y 0, x 14, x 1；绕x轴，v11x1(44x)2dx（2）y x3, y 0, x 2：（i）绕x轴vx2(x)30dx 4（ii）绕y轴v864y022(3y)2dy 54. 已知某产品的固定成本为50，边际成本和边际收益函数分别为MCq q2 4q 6，MRq105 2q，其中q为产品的销售量（产量） ，试求最大利润.C(q) q0(q24q 6)dq 50 13q32q26q 50R(q) q0(1052q)dq 105q q2L(q) R(q)C(q)L(q) R(q

16、)C(q) 99 2q q2q111, q2（舍）9L（ 11） -20 0 ，极大点最大值L（ 11） 716.35. 已知某产品在定价p 1时的市场需求量Q a，在任意价格p处的需求价格弹性为EbpQ， 其中a 0, b 0均为常数，Q为产品在价格p处的市场需求量。试求该产品的市场需求函数Q QpEppQ(p)Q(p), EbpQ(p) Q(p) bp Q(p) bln p cQ(1) a Q(p) bln p a 反常积分初步1. 判定下列无穷限积分的敛散性；若收敛, 则求其值.(1)0q1 xdx（q为常数） ； (2)0ekxdx（k为常数） ；q 1发散q 10(1 x)qdx 1

17、(1 x)101q1 q 01 q1 q发散1 q 0k 0发散k 0ekxdx 11kekx k 000k发散k 0(3)sin x1 cos2xdx（其中，q, k均为常数）.sin xarctgcosx1cos2xdx 发散2. 求下列极限：x(1)1t3dtxlimx1t2；dtx1t3dtx3xlimxt2dtxlimx2 01(2*)limx0arctanudu.x1 x2x0arctanudu1 x2arctgxxlim1 x2xlimx23. 判定下列积分的敛散性；若收敛, 则求其值.(1)21x 1kdx，k为常数；k 1 ,发散k 1,k 02x 1kdx 11 k(x 1

18、)1k211 k 0111 k发散1 k 0(2)1e10ln xdx； (3)1x 1-ln2xdx.110lnxdx xlnx01 发散e11x 1-ln2xdx arcsinln x14. 利用函数和函数的性质，以及1的结果，分别计算1122，352，33.5, 3.2112 9219292 9 7 5 3 12 2 2 2 2352 2332 323.5, 33.5326.5119 72 2 25. 计算下列反常积分（提示：利用函数的定义，以及12的结果）3(1)x2220ex dx； (2)0exx dx.35x20ex dx 0x21exdx (532) 41x220ex dx t

19、et12 tdt 121t1020te dt (2) 6*. 考察曲线y 1x x，x1,，试求解：(1) 该曲线与x轴和直线x 1所围成的平面图形的“面积” ；(2) 上述图形绕x周旋转一周所成旋转体的“体积”.31221xdx 2x1 2(x32)2dx 12112x12第七章多元函数微积分学预备知识多元函数的概念1. 已知点A(4,1, 2)，在ox轴上找出与点A相距30的点BB(x,0,0)(x 4)2(01)2(02)2 302. 求过点(1, 0, 3)，(2, 1, 2)，(4, 3, 7)的平面方程Ax By Cz D 03. 分别写出下列区域的“x-型”与“y-型”表达形式：

20、(1) 由y x、x 2、y 1所围成的区域；x型y型D :1 x 2y x 21 y xD :1 y 2(2) 由y x2、y 2所围成的区域；x型y型D :2 x 2y x yx2 y 2D :0 y 2(3) 由y2 x、y x 2所围成的区域x型D1D2y型D0 x 11:x y xD :y2 x y 2D1 x 41 y 22:x 2 y x4. 求下列函数的定义域并画出定义域的示意图：（1）z arcsiny x22 lnln(14 4x2 y2)；y x21114 4x22 y21（2）z 1x2 y214x2 y21 4 0x2 y215. 设f (x y,y) x22x y，

21、求f (x, y)u x y,v yxx u1v, y uv1vu2(1v2f (u,v) )(1v)22f (x, y) x (1 y2)(1 y)26. 试求下列二元函数的极限：（1）(x,ylimxy)(0,0)xy 11；xy(x,ylimxy)(0,0)xy 11(x,ylim)(0,0)xy( xy 11) 2（2）(x,y)limx2 y2(,)exy0 x2 y2(x y)2exyexy(x 0 , y 0)(x y)2T2x2 y2(x,y)lim(,)exyTlimeT 0(x,y)lim(,)exy 07*. 设f (x, y) x2yx4 y2,x, y0,0，讨论f

22、(x, y)在点(0, 0)处的0,x, y0,0连续性y kx2x, y0,0x2f (x, y) ykx4 y21 k2(xlimf (x, y)不存在，从而不连续。,y)0,0)偏导数与全微分1. 求下列函数在给定点处的偏导数：（1）z x x2 y3，求zx(1, 2),zy(1, 2)；2z23xxx yx2 y3zx(1,2) 103zy3xy2232 x yzy(1,2) 2（4）u (1 xy)z，求ux(1, 2,3), uy(1, 2,3), uz(1, 2,3)uzy(1 xy)z1xux(1,2,3) 54u(1 xy)z1y zxuy(1,2,3) 27u (1 xy

23、)zzln(1 xy)uy(1,2,3) 27ln32. 求下列函数的指定偏导数：（1）z ln(x2 y2)，求zx；z2xxx2 y2（2）z cosx yx y，求zx；zx sinx yx y 2y(x y)2（3）z (x sin y)xy，求zyz (x sin y)xyz exyln(xsin y)zxsin y)xyy exyln(xln(x sin y) x sin ycos y x2y3. 设f (x, y) x2 y2, x2 y2 0，分别讨论f (x, y)在(0, 0)处 0,x2 y2 0是否连续、是否存在偏导数x2yx2yxx2 y22xy2(x,ylimx2y

24、)(0,0)x2 y2 0 f (0,0),在(0,0)连续.f,0) f (0 x,0) f (0,0)x(0limx0x 0f (0,0) f (0,0 y) f (0,0)ylimy0y 04. 求下列函数的全微分：（1）z xy yx；（2）z ey(x2y2)zy1x yx yxln yz1y xyln x xyxdz (yxy1 yxln y)dx (xyln x xyx1)dydz dey(x2y2) ey(x2y2)dy(x2 y2) ey(x2y2)23y22xydx (x )dy5. 求函数z x2y y2在点(2,1)处的全微分dz d(x2y y2) 2xydx(x2

25、2y)dydz(2,1) 4dx 6dy6. 计算1.065.03的近似值z xy(x x)(yy) xy zxx zyyzy1x yxzy xyln x(1 0.06)(50.03)1 50.06 0 1.37. 已知一矩形的长为 6 米、宽为 8 米。当长增加 5 厘米，宽减少 10 厘米时，求矩形对角线长度变化的近似值。z x2 y2z zxx zyyzxyxx2 y2zyx2 y2z 6862820.056282(0.1) 0.05多元复合函数与隐函数微分法1. 求下列复合函数的偏导数或导数：u2（1）zv,u x 2y,v x 2y，求zzx,y；zz uz v2uxu xv xvu

26、2v2zyz u2u yz v2uuv yv(2)v22（2）z eu2v,u sin x,v x3，求dzdx；dzdxz duu dxz dvv dx eu2vcosx 6x2eu2v（3）z x2 ydzx y, y 2x 3，求dx；dzff dy2x(x y)(x2 y)(x y)(x2 ydxxy dx)(x y)2(x y)22（4）z u v2lnw,u xy2,v x y, w x2 y2，求zyzyz uu yz vv yz ww y 2xylnw 2vlnwu v2w2y2. 设z f (x2 y2,exy)，求z zx,yz f (x2 y2,exy)u x2 y2,v

27、 exyzxz uu xz vv x 2xf1 yexyf2zyz uu yz vv y 2yf1 xexyf23. 设f (u)可导，z xnf (yx2)，证明：xzx 2yzy nzz nxn1f (yn2yxx2) x f (u)(x3)zy xnf (u)1x2xzx 2yzy nz4. 求下列方程所确定隐函数的导数dydx：（1）xy ln y ln x 0；法1 ）F(x, y) xy ln y ln xy 1Fx y 1xFy x 1dydx FxxyF yx 1y法2）两边微分d(xy ln y ln x) 0y 1xdy ydx 1ydy 1xxdx 0 dy x 1y法3

28、）两边对x求导1y 1y xyyy1x 0y xx 1y（2）xy yx ln xyF(x, y) xy yxln xln yFy1 yxln y 1F1x yxy xyln x xyx1xyy1dyFyx1 yxln y xdx xF yxyln x xyx11y5. 求下列二元（三元）方程所确定的隐函数y yx（z z(x, y)）的全微分：（1）exy arctanyx；dexy d arctanyxexydxy 1y1xdy ydx1 (ydexy(ydx xdy) ()x)2x1 (y2x2x)exy(x2 y2)(ydx xdy) ydx xdydy y1exy(x2 y2)x1

29、exy(x2 y2)dx（2）2xz 2xyz ln(xyz) 0高阶偏导数111dx dy dz 0法1 ）微分d2xz 2xyz ln(xyz) 02zdx 2xdz 2yzdx 2xzdy 2xydz 2z2z1. 设z x y, 求2,xxy22x 2z 2yz 121dz xxz dx ydy2x 2xy 1z2x 2xy 1z法2）F(x, y,z) 2xz 2xyz ln(xyz)Fx 2z 2yz 1xFy 2xz 1yF1z 2x 2xy zzF 2z 2yz 1x xFxz2x 2xy 1zzF2xz 1yy Fyz2x 2xy 1zdz zxdx zydyyzzxxx2

30、y2x2 y2x2xyx2 y2zxx y2x2 y2zxy x2x2 y22. 设z sin(x2y), 求2z2zx2,yxz 2xycos(x2xy)zy x2cos(x2y)z2ycos(x2y) 2x2y2xx sin(x2y)zyx 2xcos(x2y) 2x3ysin(x2y)3. 设f (u, v)可微,z f (x2y, ln(xy), 求2zxyzz uxu xz vv x 2xyf11xf2zxy y(zx) 2xf1 2xyf11 f2yx yf1f1 uf1 vyu yv y x2f11 1yf12f2f2 uf2 vu yv y x2yf21 1yf22代入即可。4

31、. 设f (s,t)可微,u f(2x3y,eyz)，求2uy2uu sys xu tt x3f1 eyzf22uf1yzf2y2y(uy) 3y eyf1f1 sf1 tys yt y3f11 eyzf12f2f2 sf2 tys yt y3f21 eyzf22代入即可。5. 设z3 2xz y 0，求2zxyd(z3 2xz y) 0dz 2z3z2 2xdx 13z2 2xdyz2zzx3z 2xy 123z2 2x2zzxyy(x)令u z2z2zzxu3z2 2x f (x,z), 则xyy(x) yuf z2(3z2 2x)yz y2z6z(3z2 2x)213z2 2x 4x(3

32、z2 2x)3多元函数的极值1. 求f (x, y) xy xy2 x2y的极值2. 求u x x2 y2在区域D (x, y) | x2 y21上的最大值与最小值3. 求z xy在条件x 2y 1，x, y 0下的最值求曲线z x2 y24.xy 1上到xoy平面距离最短的点5. 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种商品， 商品在两个市场上的需求量与定价分别满足p118 2q1,p212 q2， 其中p1, p2分别是该产品在两个市场上的价格(单位：万元/吨)，q1,q2分别是该产品在两个市场上的需求量 (单位：吨)，且该企业生产这种产品的总成本函数为C 2(q1 q2) 5。如果该企

33、业实行价格无差别策略， 试确定两个市场上该产品的销售量及统一的价格，使该企业的总利润最大化。二重积分1. 将二重积分fx, ydxdy按两种次序化为累次积分， 其中积分区域DD分别给定如下：（1）D由曲线y x2与直线y 1所围成；（3）D由直线y x，y 2x，x 3所围成2. 交换积分次序：（1）1x0dxxf (x, y)dy；（2）2y20dyy2f (x, y)dx；（3）1x2x0dx2x0f(x,y)dy 2dx210f(x,y)dy3. 计算二重积分：（1）|x(x2 xy y2)d；|1,|y|1（2）ycos(x y)d；00xy x（3）yexydxdy，其中D由xy 1

34、, x 2, y 1所围成5. 画出区域D，并把f (x, y)dxdy化为极坐标系下的二次积分：D4. 计算累次积分：（1）1120dxxeydy；2）dxxsin y00 ydyD（1）D (x, y) | 1 x2 y2 4；（2）D (x, y) | 2x x2 y2 4x6. 利用极坐标变换计算：（1）(x2 y2)dxdy，D (x, y) | 1 y 1, 2 x 1 y2；D（2）(x y)dxdyx2 y2 4x7. 用二重积分计算曲线y x2，y x围成的平面图形的面积8. 用二重积分计算由坐标面与平面x 2y 3z 6所围立体的体积9*. 计算二重积分| x2 y2 4

35、| dxdyx2 y2 910*. 试证明下列命题：（1）若f (x), g(x)连续于a, b，则bf (x)g(x)dx2bf2(x)dxbaag2a(x)dx；（2）若f (x), g(x)在0,1上均连续、单增，则10f (x)g(x)dx f (x)dxg(x)dx0011第八章无穷级数常数项级数的概念和性质1.利用下列级数un的部分和Sn,求u1,u2和un以及和值S.n12n(1)S3n3nn 1； (2)Sn4n2. 判断下列级数是否收敛；若收敛，求其和值.(1)1(3n 1)(3n 2)；n1(2)n2 n；(3)nn1n22nlnn1n 13已知级数un收敛，且和值为S，证

36、明：n1(1) 级数(un1un2)收敛，且和值为2S 2u1u2；n1(2) 级数(u1nn2n)收敛.14利用无穷级数性质以及几何级数与调和级数的敛散性， 判别下列级数的敛散性：11111(6)n3 n；(2)1n；(1)5n17202020202242262321(3)(n)；(4)231333533n1n5给定级数un，有limS2n a,limun 0，试证级数un收敛，其n1nnn1和S a正项级数1利用比较判别法或其极限形式判别下列级数的敛散性：(1)2 sinn2利用比值判别法或根值法判别下列级数的敛散性：3n159 (4n 3)(1)； (2)；(2n 1)!258 (3n

37、1)n1n1； (2)(n4 1)；n15n1cos(3)nn1n3； (4)(5)lnnn1n； (6)n11n 1n1n2n 2lnn3nn14n 2nn2(3)1 n1nn；n12(5)2nn!；n1nn2n1tann14n2； (4) 2nx (6)n11nn4 假设正项级数an发散，试证：*n1anan1）级数发散；2）级数收敛3*证明：若正项级数a2ann收敛，则an与n1n1n1n均收敛n11 ann11 n2an任意项级数1. 判别下列级数是绝对收敛，条件收敛还是发散？(1)(1)nncosna； (2)；n1n 2(3)(1)n11n1n 1； (4)(1)n12(5)2n.

38、n1n!n1(n 1)2(1)n(1n3)；n12. 判别下列交错级数的敛散性：(1)1)n1n2(n (1)n2；(2)12 112 113 113 1 1n 11n 1 .3如果级数un1n绝对收敛，试证：(1) 级数n1un绝对收敛；nn11(2) 级数un收敛.nn12幂级数1求下列级数的收敛半径、收敛区间和收敛域：(1)5 x； (2)nnn 12n1x；n2求下列级数的收敛域，以及它们在收敛域上的和函数：n0(3)(2x 1)n；n1n (4)(5)2n (3)nn1nxn.n12(1)nxn；n02n 1(1)1x2n1；n12n 1(2)n(n 1)xn.n03求幂级数2n 1

39、x2n2收敛域及和函数，并求02n 1n02n的和.n2n4已知级数ann(2x 3)在x 3时收敛,试讨论an(2x 3)n在以下n0n0各点处的敛散性：(1)x 0；(2)x 2；(3)x 12；(4)x 4.5将下列函数展开成x的幂级数，并写明后者的收敛域.(1)f (x) x2x1 x； (2)f (x) 3；(3)f (x) sin2x； (4)f (x) ln(43x).6求下列函数在指定点的幂级数展开式，并求收敛域.(1)f (x) 11 x,x0 2； (2)f (x) ex,x0 1第九章微分方程初步微分方程的基本概念1. 验证下列各函数是否为所给微分方程的通解：(1)y y

40、 ex，y x Cex；(2)y9x 10cos2t，x 2cos2t C1cos3t C2sin3t；(3)x 2yy 2x y，x2 xy y2 C2. 验证函数y 1x 1是否为初值问题x 1y y 0，y01的解：3. 验证函数y 1是否分别为：1）微分方程y 2y y 1的解；2）初值问题y 2y y 1，y01，y01的解：一阶微分方程1. 求下列方程的通解或在给定条件下的特解：(1)y 10xy； (2)x xydy xy ydx 0；(3)yy xey 0, y1 0； (4)xdydx ylnyx；(5)x ydx xydy 0； (6)y y e222x；yx 3x t 2

41、xyx(7)y ycos x esin x；(9)yyx 1x 1ey，y01y2dx 1 xydy 0；2. 设函数满足方程y x 0y3dt e，试求3*. 设函数z fx2 y2满足方程2zx2z2y2 0，试求fx4*. 设y 1135 2n 146 2nxn，证明：和函数yx满足微分方n12程方程1 xy y2，并求yx (8)第十章差分方程差分方程的基本概念1. 计算下列差分：(1)y222，求2n n n，求 yn； (2)yn lnn yn2. 按教材 P330 定义10.2改写下列差分方程，并指出方程的阶数：(1)2y 5y3nn 3； (2)yn3yn 2yn13. 验证以

42、下是否为数列所给方程的解（其中，C为任意常数） ：(1)ynn C 3 0.3sinnn20.1cos2，yn13ynn sin2；(2)y1n1Cn，1 ynyn1 yn简单的一阶常系数差分方程的解法求下列差分方程的通解或满足给定条件的特解：(1)2y； (2)ynn1 yn 3 nn1 2yn 2；(3)2y2n1 yn 2 n，y0 4【补充材料】第五章 不定积分（2011 学年第一学期内容缩编）原函数与不定积分的概念基本积分公式1. 已知一曲线经过点(1, 2)，且在其上任一点(x, y)处的切线斜率等于4x，求曲线的方程.2. 求下列不定积分：(1) 已知f (x)dx xe2xC,

43、 求不定积分1 2xf (x)dx；(2) 已知f (x)dx arctanx C, 求不定积分1f (x)dx；(3) 已知f (x)dx sin2x C, 求不定积分(sin x cosx)31 f (x)dx.3. 求下列不定积分：(1)(2x1111 x2x)dx； (2)(sin x 1 x2)dx；(3)(2x 1)21 2x2xdx； (4)x2(1 x2)dx；2x1(5)5x110xdx； (6)1sin2xcosx sin xdx；(7)2 cos2x1 cos2xdx； (8)(1 x1 x1 x1 x)dx；(9)9x2 4 9x2 481x4dx.16第五章自测题一、

44、选择题1设f (x)dx x2c，则xf (1 x2)dx的结果是 A 2(1 x2)2 c B2(1 x2)2 cC12(1 x2)2c D12(1 x2)2c2d(sin(12x)= Asin(12x) Bsin(12x)CC2cos(12x)C D2cos(12x)3设I ex1ex1dx，则I Aln(ex1)C Bln(ex1)CC2ln(ex1)C Dx2ln(ex1)C4若f (x) F(x)，则下列等式中一定成立的是 Af (x) F(x) Bf (x) F(x)CCf (x) F(x) 1 DddxF(x)dx ddxf (x)dx5下列等式中不成立的是 A(x1)dx x1

45、 BdsecxdxsecxdxC(tan x)dx tan x Dde2x e2xC6cosxdarcsinxarcsinxdcosx Asin xarccosx Bsin xarccosx CCcosxarcsinx C Dcosxarcsinx7设f (x)dx F(x) c，且x at b，则f (t)dt= AF(x) c BF(t)cC1aF(at b) c DF(at b)c8在(a,b)内，f (x),g(x)均可导，且f (x) g(x)，则 Af (x) g(x) Bf (x) g(x)CCf (x) g(x) R（常数） Df (x)与g(x)之间的关系不确定二、填空题1若

46、f (x)dx F(x)C，则f (3x5)dx ln xC，则f (x)=xsin x3已知f (x)的一个原函数为，则xf (x)dx x2设f (x)dx ex4设y dx，则y xsin2excos2exdxdx 5不定积分xx226设f (sin x) cos x，则xf (x)dx 三、解答题1计算下列不定积分：1 x1(1)sin xdx； (2)12exdx；x4(3)x294 x2dx； (4)dx；xx2xex(1 xln x)dx；(5)ecos2xdx； (6)x(7)3x11； (8)dxx22x5dxsin2x3sin xcos x1x 02*. 已知f (x) x

47、10 x 1，求不定积分f (x)dx.2xx 13*已知f (sin2x) xsin x，求x1 xf (x)dx.第六章自测题一、选择题1设fx是a, b上的连续函数，则下列论断不正确是( )(A)xaf (x)dx是fx的一个原函数(B)bxf (x)dx是- f (x)的一个原函数 (C)baf (x)dx是fx的一个原函数(D)fx在a, b上可积2设fx是连续函数，F(x)是fx的原函数，则( ) (A) 当fx是奇函数时，F(x)必为偶函数 (B) 当fx是偶函数时，F(x)必为奇函数 (C) 当fx是周期函数时，F(x)必为周期函数 (D) 当fx是单调递增函数时，F(x)必为

48、单调递增函数3设在区间a,b上，f (x) 0， f (x) 0，f (x) 0，则下列不等式成立的是( )(A)(ba) f (a) baf (x)dx (ba)f (a) f (b)2 (B)(ba) f (b) bf (a) f (b)af (x)dx (ba)2 (C)(ba)f (a) f (b)b2af (x)dx (ba) f (a) (D)(ba)f (a) f (b)b2af (x)dx (ba) f (b)4设fx在(,)内为连续可导的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )(A)sin f (x) (B)x0sin xf (t)dt(C)x0f (sint)dt (D)x0

49、sin tf (t)dt5.设fx在(,)内连续，且在x 0时可导，且F(x) xx0f (t)dt，则下列正确的是( ) (A)F(x)不存在 (B)F(x)存在且F(x)不存在 (C)F(x)存在且F(x) 2 f (0) (D)F(x)存在且F(x) f (0)6设函数f (x)有连续的导数，f (0) 0，f (0) 0且当x 0时，F(x) x0(sin2xsin2t) f (t)dt与xk为同阶无穷小，则k ( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 427已知f (x) xt2x20edt 0et2dt 1，则f (x)为( )(A)正常数 (B)负常数 (C)零 (D)非

50、常数8已知F(x) x2xesinxsin xdx，则F(x)为( )(A)正常数 (B)负常数 (C)零 (D)非常数二、填空题1 设f (x)具 有 一 阶 连 续 导 数 ， 且f (0) 0，f (0) 0， 则limx20f (t)dtx0x2x _.0f (t)dt2设f (x)连续，且x120tf (2xt)dt 2arctanx，已知f (1)1，则21f (x)dx _.3设f (x) axt(2at)a0edt，那么1f (x)dx _.4设连续函数f (x)满足x0f (xt)etdt sin x，则f (x) _.三、解答题1. 求下列定积分：x(1)2x242cosx

51、sin x-ecosxdx；2)4ln0x3e dx；(3)a0a2 x2dx(a 0)；22x0 x 1(4) 设f (x) ，求f (x)dx51 x 202求下列反常积分：(1)0eaxcosbxdx (a 0)；311(1 x)(x3)dx3.求由抛物线y x24x3与它在点M(0,3)及点N(3,0)处的两条切线所围成图形的面积.(2)4.求由曲线y x及直线x 1,x 4, y 0围成图形分别绕x轴和y轴旋转形成的体积.5. 设某产品的边际成本MC 2 q (万元/台)，其中q表示产量，固定成本为22(万元)，边际收益MR 20 4q (万元/台)，试求：1）总成本函数和总收益函数

52、；2）获得最大利润时的产量；3）达到上述最大利润后，又多生产了 4 台，此时总利润的近似变化值第七章自测题一、选择题1极限存在的充分条件是 .(x,y)lim(x0,y0)f (x, y)A 点P(x, y)沿无穷条路径趋于点P0(x0, y0)时，f (x, y)的极限均存在且相等Bfx(x0, y0), fy(x0, y0)存在C 点P(x, y)沿过(x0, y0)的任意直线趋于(x0, y0)时，f (x, y)的极限均存在且相等Df (x, y)在(x0, y0)处连续2若f (xy,x y） x2 y2 xy，则f (x,y)x .A1 B2y C2(x y) D2x3二元函数z

53、f (x,y)在点(x0, y0)的偏导数存在是其在该点可微的 .A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 非充要条件4设函数f (x, y)定义于有界闭区域D，那么正确的是 .A 若f可微、存在唯一驻点P0，且为极值点，则P0必为最值点B 若f可微，且存在最值点P0，则P0必为驻点C 若f连续，且存在唯一的极值点P0，则P0必为最值点D 若f连续于D，则f在D内必存在最值5 设(x, y)在(x0, y0)的某邻域内具有连续的偏导数， 且x(x0, y0) 0.若(x0, y0)是可微函数f (x, y)在约束条件(x, y) 0之下的极值点， 则下列命题正确的是 .A 恒有fx(x0,

54、 y0) fy(x0, y0) 0Bfx(x0, y0) 0 fy(x0, y0) 0Cfy(x0, y0) 0 fx(x0, y0) 0Dfy(x0, y0) 0 y(x0, y0) 0二、填空题x21lim1xyx .y(1ax)2设u xysint0tdt，则ux=，uy= .2求下列函数的全微分：3设dz (2x 3y)dx (3x 2y)dy，则2zxy= .4设在xoy坐标系下，D (x, y)| 0 y 2, y x 4 y2，则在极坐标系下，D .5无穷限积分20exdx = .三、解答题11设f (x, y) (x2 y2)sin22x2 y2,x y 0，讨论f (x, y

55、)在0,x2 y2 0点(0,0)的连续性、偏导数以及f (x, y)的偏导函数在在点(0,0)的连续性(1)z xln y，求dz |(1,e)； (2)u x2 y2 z2，求du；(3) 已知f (u,v)有连续的偏导数，z ln f (xy,x ln y)，求dz3设f (x, y)在连续偏导数，n为正整数，证明f (x, y)满足f (tx,ty) tnf (x, y), t (0,)的充要条件是对任意(x, y)有xfx(x, y) yfy(x, y) nf (x, y)4设xyz arctan(x y z)，求z zx,y(0,1,1)5设f具有二阶连续偏导数，u f (x y

56、z,xyz)，求2uxz6设z f (x, y)由方程xy yz zx 1所确定，求2zxy7求f (x, y) (x2 2x y)e2y的极值8 设D (x, y)| x2 y216,求f (x, y) 3x23y2 x3在D上的最值9求周长为定值2p的三角形面积的最大值11计算二重积分：（1）sin ydxdy（2）xedxdy2(提示：S p(p x)(p y)(p z)，其中x, y, z为三角形的各边长)10 某厂生产甲、 乙两种产品， 当两种产品的产量分别是x和y(单位： 吨)时，总收益函数为R 27x 42y x2 2xy 4y2，总成本函数为C 3612x 8y(单位：万元)。

57、此外，生产甲种产品每吨还需支付排污费1万元， 生产乙种产品每吨还需支付排污费2万元。 在限制排污费用支出总额为6万元的情况下，两种产品的产量各为多少时总利润最大? 最大总利润是多少?0 x 1yx y x（3）1| y x|dxdy1xy110 y 1y x 3y4）exydxdy0 y x（12用二重积分计算圆锥体z x y被平面z 2所截部分的体积2213. 证明：(1) 若f (x)为a, b上的正的连续函数，则baf (x)dxba1dx (ba)2；f (x)(2) 若p(x), f (x)及g(x)连续于a, b，且p(x) 0，f (x)与g(x)均单增，则bap(x) f (x

58、)g(x)dxp(x)dx p(x) f (x)dxp(x)g(x)dxaaabbb第八章自测题一、选择题1. 正项级数un收敛的充分必要条件是 .n1Alimnun 0 B 数列un单调有界C 部分和数列Sn有上界 Dlimun1nu1n2. 下列结论中正确的是 .A 若级数un,vn都发散，则级数un vn)发散；n1n1(n1B 若级数(un vn)收敛，则级数un与n1vn都收敛；n1n1C 若级数un与n都收敛，则级数n1vn1(un vn)收敛；n1D 若级数un收敛,vn发散,则n vn)的敛散性不确定n1n1(un13. 已知limnan a，则级数an an1 .n1A 收敛

59、且其和为a1 B 收敛且其和为 aC 收敛且其和为a1 a D 发散4. 下列级数中发散的是 .nAa 1 (a 1) Bln11n1an1nCn 2 2 n 1 n Dn2n1n1n!5. 设0 a1nn(n 1,2, )，则下列级数中收敛的是 .Aann Bn1(1) aan2n Cn Dn1(1) ann1n16. 命题“若an发散，则发散”成立的条件是 .n1bnn1Aan bn Ban|bn| C| an| bn| D| an| bn7. 若幂级数an(x 1)n在x 1收敛, 则该级数在x 2处 .n0A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 敛散性不能确定8. 若liman1na

60、 a，则幂级数anxbx(b 1)的收敛半径R .nn0111/bAa Ba1/b Ca Da二、填空题1. 若级数un收敛于 S，则级数un1)收敛于 .n1(unn12. 已知级数1 e，则级数n0n!3n 2 .n0n!3. 若级数(1)n a收敛，则a的取值为 .n1n4. 级数n21n 11n 1的敛散性是，级数11 ,(1)的敛散性是 .n2n1n12(1)n15. 幂级数xn绝对收敛的条件是，条件收敛的条n1n件是 , 发散的条件是 .6. 设幂级数an(x 1)n在x 3条件收敛， 则该幂级数的收敛半径条件n1是 .三、解答题1. 判别下列级数的敛散性：ln(11)nn1(1)

61、nnn1(n 1)1/3；(2)n1(n 1)n2；(3)n12ncos2n3；1(4)n1n0(1 x4)1/4xn；(5)n1(1 x)(1 x2) (1 xn).2. 证明：若级数u2unn收敛，则级数绝对收敛.n1n1n3. 设un/ 4sin xcos xdx, (n 1,2, )，求un.n5. 求 幂级 数n(n 1)xn的 收敛 域及 和 函数 ，并 求 常数项 级 数04. 求下列级数的收敛域：n(1)(1)n11 x；n12n11 x(3)nenx；n1n1n(2)1ln x；n13(4)2nnn1nsin x.n1n(n 1)的和n12n.6. 将下列函数展开成幂级数，并

62、求其收敛域：(1)f (x) x3ex；(2)f (x) 1x23x 2f (x) ln(1 x)x.(3)；7. 设函数f (x)满足方程其收敛域.2xxf (t)dt ex1，求f (x)的幂级数展开式及南 京 审 计 学 院20082009 学年第二学期微积分二试卷一、填空题（共一、填空题（共 1010 个空，每空个空，每空 2 2 分分, ,满分满分 2020 分）分）1dsint2dxxdt 。2设需求函数为D(q) 242q，供给函数为S(q) 4q6，则消费者剩余为。3.limx yxx y11。y004. 设z arctany， 则dz(1，2zx,1)xy。5. 交换积分次序

63、1x0dxx2f (x , y)dy 。6. 设limnun a，则(unun1) 。n137.函数f (x) x1 x展开成x的幂级数为，后者的收敛域为。8 方 程yxy1 x2满 足 初 始 条 件y(0) 2的 特 解为。二、单项选择题（共二、单项选择题（共 5 5 题，每题题，每题 2 2 分分, ,满分满分 1010 分）分）1. 下列反常积分收敛的是（）(A)1111xdx(B)1xdx(C)11 x2dx(D)1sin xdx2. 设函数f (x , y)在点(x0, y0)处取得极大值，则函数f (x , y0)在点x0处与函数f (x0, y)在点y0处（）(A)都取得极大值

64、(B)恰有一个取得极大值(C)至多有一个取得极大值(D)都不能取得极大值3. 设函数f (x , y)在点(x0, y0)处的两个偏导数都存在，则（）(A) f (x , y)在点(x0, y0)处连续(B)f (x , y)在点(x0, y0)处可微(C)lim f (x, y0)和lim f (x0, y)都存在xxy(D)lim f (x , y)存在0y0xyxy004. 下列级数中，收敛的是（）(A)11(D)n1nnn(B)cos(Cn1n)(n2 1)n1lnn2n1n5. 若幂级数an(x1)n在x 1处收敛，则该级数在x 2处（）n1(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D

65、)敛散性不能确定三、计算题（共三、计算题（共 6 6 题，第题，第 5 5 小题小题 8 8 分，其余小题每题分，其余小题每题 5 5 分，满分分，满分 3333 分）分）1.1x2minx2, xdx2.154xdx3.1(x66 x)sinxdx4. 设z f (x2 y2,exy)，f是可微函数，求zx。5. 设u sin(xy3z),其中z z(x , y)由方程yz2 xz31所确定，求：（1）zx； （2）ux。6. 计算 xydxdy，其中D是由y2 x和y x 2所围成的区域。D四、四、 （1010 分）分）设有幂级数(n1)xn，求： （1）该级数在其收敛域(1,1)n0内的

66、和函数； （2）求常数项级数n1的和。n23n五、证明题（共五、证明题（共 2 2 题，每题题，每题 5 5 分，满分分，满分 1010 分）分）1设f (x)是以T（T 0）为周期的连续函数，证明：对任何常数a，有aTaf (x)dx T0f (x)dx。2设数列nun有界，证明级数u2n收敛。n1六、六、 应用题（共应用题（共 2 2 题，满分题，满分 1717 分）分）1 （1010 分分）设平面图形由y 14x，y x，y 1x(x 0)所围成。试求：（1） 此平面图形的面积；（2） 此平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。2 （7 分） 某厂生产甲、 乙两种产品， 当两种产品的产量分

67、别是Q1和Q2（单位：吨） ，总收益函数为R 27Q221 42Q2Q1 2Q1Q2 4Q2，成本函数为C 3612Q18Q2（单位：万元） 。此外，生产甲种产品每吨还需支付排污费 1 万元，生产乙种产品每吨还需支付排污费 2 万元。在限制排污费用支出总额为 6 万元的情况下，两种产品的产量各为多少时总利润最大？最大总利润是多少？南 京 审 计 学 院20092010 学年第二学期微积分二试卷一、填空题（共一、填空题（共 9 9 个空，每空个空，每空 2 2 分分, ,满分满分 1818 分）分）1. 若110x1pdx收敛，则参数p满足的条件为。2. 设z ln(x y2)， 则dz(0，2

68、z,1)xy。3. 交换积分次序10dyy0f (x, y)dx 。4. 设级数uS3nn的部分和nn1n1，则un，该级数的和为。5. 函数f (x) lnx展开成x1的幂级数为，后者的收敛域为。6某商品的需求量Q对价格p的弹性为(5p2p2)Q，已知当价格p 10时 ， 需 求 量Q 500， 则 需 求 量Q对 价 格p的 函 数 关 系为。二、单项选择题（共二、单项选择题（共 5 5 题，每题题，每题 2 2 分分, ,满分满分 1010 分）分）1设z f (x,y)在点(x0, y0)处连续，则下列说法中正确的是（）(A) z f (x,kx)在x x0处一定连续(B)z f (x

69、, y0)在x x0与z f (x0, y)在y y0处仅有一个连续(C)z f (x,y0)与z f (x0, y)分别在x x0与y y0处连续(D)z f (x,y0)在x x0与z f (x0, y)在y y0处都不一定连续2. 已知反常积分101kx2dx收敛于1（k 0） ，则k （）(A)2(B)22(C)2(D)243. 下列级数中绝对收敛的是（）n(n1)(A)(1)n1n(B)2n!n12n1(1)n13n3(C)(1)n1n2n(D)(1)n1nn1n1n1004. 设(x)2(y)2， 则函数z f (x , y)在点(x0, y0)处可微的充分条件是（）(A) f (

70、x , y)在点(x0, y0)处连续(B)f (x , y)在点(x0, y0)处存在偏导数(C)lim0z fx(x0,y0)x fy(x0,y0)y 0(D)limz fx(x0,y0)x fy(x0,y0)y0 05. 若dxdy 1，则积分区域D为（）D(A)由x轴，y轴及x y 2 0所围成的区域(B)由x 1，x 2及y 2，y 4所围成的区域(C)由x 12，y 12所围成的区域(D)由x y 1，x y 1所围成的区域三、计算题（共三、计算题（共 6 6 题，每小题题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分）分）1.221x xdx 2.13dx 3.4sinxcos

71、x10xe2xdx4.设z exysin(x y)，求zx。5.设z z(x , y)由方程x3 y3 z3 xyz 6所确定，求偏导函数zx在点(1,2,1)处的值。6. 求x2ydxdy，其中D是由y x，y x和x 2所围成的区域。D2（1010 分）分）设有幂级数xn四、四、，求：n1n（1）该级数的收敛域；（2）在其收敛域内的和函数；3）求数项级数(1)n3n（n的和。n14 nn!五、证明题（五、证明题（5 5 分）分）设0 a 1，证明函数f (x) x2aetdt xsint1tdt在区间(a,1)内有唯一零点。xy六、六、 （1010 分）分）二元函数f (x,y) x2 y

72、2, (x,y) (0,0)，问：0, (x,y) (0,0)(1)f (x,y)在(0,0)点是否连续， 说明理由说明理由； (2)f (x,y)在(0,0)点关于y的一阶偏导数是否存在，说明理由说明理由。七、七、 应用题（共应用题（共 2 2 题，满分题，满分 1717 分）分）1 （1010 分）分）设平面图形由y x，x 1，x 4，y 0所围成，试求：（1）此平面图形的面积； （2）此平面图形绕y轴旋转而成的旋转体体积。2 （7 7 分）分）设生产某种产品的数量与所用两种原料A，B的数量x，y间有关系式Q(x, y) 0.005x2y，欲用150元购料，已知A，B原料的单价分别为1元

73、和2元，问购进两种原料各多少，可使生产的产品数量最多？南 京 审 计 学 院20102011 学年第二学期微积分二试卷一、填空题（共一、填空题（共 6 6 个空，每空个空，每空 2 2 分分, ,满分满分 1212 分）分）(C)(1)n1n1n3(D)n2n1(1)n1nn1002若dxdy 1，则积分区域D可以是（）1设fxxx2sint2dt，则f (x) _2由方程y2 2xy 3 0确定的曲线y f (x)在(2,1)处的法线方程为_3. . 将ln x展开成x1的幂级数为_ _4交换积分次序：1x22x0dx0f (x, y)dy1dx0f (x, y)dy .5D (x, y)

74、x2 y21，则sin(x2 y2)dxdy D6 微分方程y2dx (x21)dy 0的通解为_二、单项选择题（共二、单项选择题（共 5 5 题，每题题，每题 2 2 分分, ,满分满分 1010 分）分）1.下列级数中绝对收敛的是（）n(n1)(A)(1)n1n2n!n12n 1(B)(1)n13nD(A)由x轴，y轴及x y 2 0围成的区域(B)由x 1,x 2及y 2, y 4围成的区域(C)由x y 1, x y 1围成的区域(D)由x 12, y 12围成的区域3. 下列广义积分收敛的是（）(A)11dx(B)dx0x10x(C)1dx0x x4下列二元函数在0,0处不可微的是（

75、） x2y22(A)f (x, y) x2 y2,x2 y 00,x2 y2 0(D)110x3dx(B)f (x, y) xyx2 y2x2 y2,x2 y2 00,x2 y2 0(C)f (x, y) xyx y2x2 y2,x y2 00,x2 y2 0(D)f (x, y) xyx y,x2 y2 0x2 y20,x2 y2 05baf (2x)dx （）(A) f (b) f (a)(B) f (2b) f (2a)(C)12 f (2b) f (2a)(D) 2 f (2b) f (2a)三、计算题（共三、计算题（共 8 8 题，每题题，每题 6 6 分，满分分，满分 4848 分

76、）分）21.f (x) 1 x ,x 03，求ex,x 01fx 2dx.2. 求x y2,x y 2所围成图形的面积， 并求此图形绕y轴旋转生成的旋转体体积.3. 求 xydxdy，D是由x 2, y 0, y x2 x围成的图形.D4.z f (x, y)由xyz x2 y2 z22确定，求dz(1,0,1).5. 级数(1)n(2x 5)nn12n 1的收敛域.6. 计算定积分ln 20ex1dx.已知z ln(x2 y2)，求227.zzx2，xy.8.f (x)在(,)连续，并且xu0fx ue du sin x，求f (x).四、四、 （满分（满分 7 7 分）分）求二元函数z f

77、x, y的极值，其中，f (x, y) x3 y39x23y2 24x 9y 1.tan(x2 y2)五、五、 （满分（满分 7 7 分）分）设函数f (x, y) x2 y2,(x, y) (0,0)，问：1,(x, y) (0,0)（1）f (x, y)在(0,0)是否连续？（2）f (x, y)在(0,0)是否存在偏导数？六、六、证明题证明题（满分（满分 5 5 分）分）方程F(yz,zx) 0确定的z f (x, y)，F(u,v)有连续的偏导数，试证：xzx yzy z.1七、综合题（七、综合题（5 5 分）分）求级数(1)n1xnn1n的和函数S(x).八应用题（八应用题（6 6

78、分）分）某厂家生产的一种产品分别在两个市场销售，销售量分别为x和y， 边际收益分别为R1(x) 12010x，R2(y) 200 40y，总成本函数为C(x, y) 35 40(x y)，问厂家如何确定两个市场的销售量，能使其获得的总利润最大？最大利润是多少？此时两市场的销售价格是多少？20082009 学年第二学期微积分二试卷参考答案一、填空题一、填空题1)sin x2 x 2)9 3)2 4)12dx12dy，y2 x2(x2 y2)25)1n30dyyyf (x, y)dx 6)u1 a 7)(1)nx，n08)y 2 1 x2二、单项选择题二、单项选择题C A C D A三、三、1.4

79、32163242xzzu yexyvz23z25 （1）2y 3xz（2）(y 2y 3xz)cos(xy 3z) 6458四、四、和函数s(x)1(1 x)2，x 1；n1n7n2312五、证明题五、证明题 略六、应用题六、应用题1 （1）S ln2（2）V 232当Q1 2,Q2 2时，得最大总利润L(2,2) 28（万元）20092010 学年第二学期微积分二试卷参考答案一、填空题一、填空题1)p 02)dx2dy，2y(x y2)23)10dx1x2f (x, y)dy4)3nnn2，3 5)(1)n1(x1)Q 6505p2n1n，(0, 2 6)p二、单项选择题二、单项选择题C D

80、 C D C三、三、 1.11113e262.2ln3 34 4exycos(x y) ysin(x y)5zx(1,2, 11)5 6125四、四、 （1）收敛域1,1)（2）xn ln1 x，x1,1)n1n（3）(1)n3n53nn14 nn!ln4 e 1五、证明题五、证明题 略六、六、 （1）不连续（2）fy(0, 0) 0七、应用题七、应用题 1 （1）S 143（2）V 12452当原料A，B的数量分别为100, 25时，产品数量最多。20102011 学年第二学期微积分二试卷参考答案一、填空题一、填空题1)八应用题八应用题 最大利润为L 605，售价p1 80, p2120。1

81、2 xsin x 2xsin x4 2)y x 1(x 1)2(1)n(x 1)n1(1)n(x 1)n1 3)(x 1) ，2n 1n 1n0x(0,2 4)dy012yyf (x, y)dx 5)(1cos1)6)111ln x 1 ln x 1 Cy22二、单项选择题二、单项选择题C D B C C三、三、1.772119e12S ，V 34dx 2dy325122zy2 x22z4xy5(2,36272 22，222222xy(x y )x(x y )8f (x) e2xsin x e2xcos x四、四、极大值f2,3 48，极小值f 4,112五、五、 （1）f (x, y)在(0,0)连续（2）fx(0,0) fy(0,0) 0六、证明题六、证明题 略七、综合题七、综合题 和函数S(x) xln(1 x)，x(1,1