《2022年文科立体几何知识点、方法总结高三复习 2》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年文科立体几何知识点、方法总结高三复习 2(9页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1 / 9mll立体几何知识点整理一直线和平面的三种位置关系:1. 线面平行l符号表示:2. 线面相交Al符号表示:3. 线在面内l符号表示:二平行关系:1.线线平行:方法一:用线面平行实现。mlmll/方法二:用面面平行实现。mlml/方法三:用线面垂直实现。若ml,,则ml /。方法四:用向量方法:若向量l和向量m共线且 l、 m 不重合,则ml /。2.线面平行:方法一:用线线平行实现。/llmml方法二:用面面平行实现。/ll方法三:用平面法向量实现。若n为平面的一个法向量,ln且l,则/l。3.面面平行:方法一:用线线平行实现。/, ,/且相交且相交mlmlmmll方法二:用线面平行
2、实现。/,/且相交mlml三垂直关系:1. 线面垂直:方法一:用线线垂直实现。lABACAABACABlACl,方法二:用面面垂直实现。llmlm,nlmllmmlABCllmlm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页2 / 92. 面面垂直:方法一:用线面垂直实现。ll方法二:计算所成二面角为直角。3.线线垂直:方法一:用线面垂直实现。mlml方法二:三垂线定理及其逆定理。POlOAlPAl方法三:用向量方法:若向量l和向量m的数量积为0,则ml。三夹角问题。(一)异面直线所成的角:(1) 范围:90,0(2)求法:方
3、法一:定义法。步骤 1:平移,使它们相交,找到夹角。步骤 2:解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理:abcba2cos222(计算结果可能是其补角) 方法二:向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角):ACABACABcos(二)线面角(1)定义:直线l 上任取一点P(交点除外) ,作 PO于 O,连结 AO ,则 AO 为斜线 PA 在面内的射影,PAO(图中)为直线 l 与面所成的角。AOP(2)范围:90,0当0时,l或/l当90时,l(3)求法:方法一:定义法。步骤 1:作出线面角,并证明。步骤 2:解三角形,求出线面角。(三 )二面角及其平面角(1)定义:在棱l 上取一
4、点P,两个半平面内分别作l 的垂线(射线) m、 n,则射线m 和 n 的夹角为二面角l的平面角。nmlP(2)范围:180,0(3)求法:方法一:定义法。步骤 1:作出二面角的平面角(三垂线定理 ),并证明。lmlcbaABCnAOPlAOP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页3 / 9步骤 2:解三角形,求出二面角的平面角。方法二:截面法。步骤 1:如图,若平面POA 同时垂直于平面和,则交线 (射线 )AP 和 AO 的夹角就是二面角。步骤 2:解三角形,求出二面角。AOP方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补
5、)。n1n2步骤一:计算121212cosnnn nnnu r u u ru r u u ru ru u r步骤二: 判断与12n nu r u u r的关系, 可能相等或者互补。四距离问题。1点面距。方法一:几何法。OAP步骤 1:过点 P作 PO于 O,线段 PO 即为所求。步骤 2:计算线段PO 的长度。 (直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法) 2线面距、面面距均可转化为点面距。3异面直线之间的距离方法一:转化为线面距离。nm如图, m 和 n 为两条异面直线,n且/m,则异面直线m 和 n 之间的距离可转化为直线m 与平面之间的距离。方法二:直接计算公垂线段的长度。方法三:公式法
6、。dcbamDCBAmn如图, AD 是异面直线m 和 n 的公垂线段,/ mm,则异面直线m 和 n 之间的距离为:cos2222abbacdA B C D 1A1C1B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页4 / 9高考题典例考点 1 点到平面的距离例 1 如图,正三棱柱111ABCAB C的所有棱长都为2,D为1CC中点()求证:1AB 平面1A BD; ()求二面角1AA DB的大小;()求点C到平面1A BD的距离解答过程 ()取 BC 中点 O,连结AOABCQ为正三角形,AOBCQ正三棱柱111ABCA B
7、C中,平面 ABC 平面11BCC B,AO平面11BCC B连结1B O,在正方形11BB C C中,OD,分别 为1BCCC,的中点,1B OBD,1ABBD在正方形11ABB A中,11ABA B,1AB 平面1A BD()设1AB与1AB交于点 G ,在平面1A BD中,作1GFA D于 F , 连 结AF,由()得1AB 平面1A BD1AFAD,AFG为二面角1AADB的平面角在1AA D中,由等面积法可求得4 55AF,又1122AGABQ,210sin44 55AGAFGAF所以二面角1AA DB的大小为10arcsin4()1ABD中,11152 26A BDBDA DA B
8、S,1BCDS在正三棱柱中,1A到平面11BCC B的距离为3设点 C 到平面1ABD的距离为d由11ABCDCA BDVV,得111333BCDA BDSSdgg,1322BCDA BDSdS点 C 到平面1A BD的距离为22考点 2 异面直线的距离A B C D 1A1C1BO F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页5 / 9例 2 已知三棱锥ABCS,底面是边长为24的正三角形,棱SC的长为 2,且垂直于底面.DE、分别为ABBC、的中点,求CD 与 SE 间的距离 . 解答过程 : 如图所示,取BD 的中点
9、 F,连结 EF,SF,CF ,EF为BCD的中位线,EFCDCD,面SEF,CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线CD上一点 C 到平面SEF的距离,设其为h,由题意知,24BC,D、E、F 分别是 AB、BC、BD 的中点,2,2,621,62SCDFCDEFCD33222621312131SCDFEFVCEFS在 RtSCE中,3222CESCSE在 RtSCF中,30224422CFSCSF又3,6SEFSEF由于hSVVSEFCEFSSEFC31,即332331h,解得332h故 CD 与 SE 间的距离为332. 考点 3 直线到平面的距离例 3
10、如图,在棱长为2 的正方体1AC中, G 是1AA的中点,求BD 到平面11DGB的距离 . 思路启迪 :把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解. 解答过程 :解析一BD平面11DGB,BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求,以下求点 O 平面11DGB的距离 , 1111CADB,AADB111,11DB平面11ACCA, 又11DB平面11DGB平面1111DGBACCA,两个平面的交线是GO1, B A C D O G H 1A1C1D1B1O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页6 / 9作G
11、OOH1于 H,则有OH平面11DGB,即 OH 是 O 点到平面11DGB的距离 . 在OGO1中,222212111AOOOSOGO. 又362,23212111OHOHGOOHSOGO. 即 BD 到平面11DGB的距离等于362. 解析二BD平面11DGB,BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求,以下求点B 平面11DGB的距离 . 设点 B 到平面11DGB的距离为h,将它视为三棱锥11DGBB的高,则,由于632221,111111DGBGBBDDGBBSVV34222213111GBBDV, ,36264h即 BD 到平面11DGB的距离等于362. 小结 :当直线与平面平
12、行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离 .所以求线面距离关键是选准恰当的点, 转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离. 考点 4 异面直线所成的角例 4 如图,在 RtAOB中,6OAB,斜边4ABRtAOC可以通过 RtAOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角BAOC的直二面角D是AB的中点(I)求证:平面COD平面AOB;(II)求异面直线AO与CD所成角的大小解答过程 : (I)由题意,COAO,BOAO,BOC是二面角BAOC是直二面角,COBO,又AOBOOQI,CO平面AOB,又CO平面COD平面COD平面AOB(II)作DE
13、OB,垂足为E,连结CE(如图),则DEAO,OCADBEADz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页7 / 9CDE 是异面直线AO与CD所成的角在 RtCOE中,2COBO,112OEBO,225CECOOE又132DEAO在 RtCDE中,515tan33CECDEDE异面直线AO与CD所成角的大小为15arctan3小结 : 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:平移法:在异面直线中的一条直线上选择“特殊点” ,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二;补形法:把空间图形补成熟悉的几
14、何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,如解析三 .一般来说, 平移法是最常用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围:2,0. 考点 5 直线和平面所成的角例 5. 四棱锥SABCD中,底面ABCD为平行四边形, 侧面SBC底面ABCD 已知45ABCo,2AB,2 2BC,3SASB()证明SABC ; ()求直线SD与平面SAB所成角的大小解答过程:() 作SOBC,垂足为O,连结AO,由侧面SBC底面ABCD,得SO底面ABCD因为SASB,所以AOBO,又45ABCo, 故AOB为 等 腰 直 角 三 角 形 ,AOBO,由三垂线定理,得SA
15、BC()由()知SABC,依题设ADBC,故SAAD, 由2 2ADBC,3SA,2AO,得1SO,11SDSAB的面积22111222SABSAABg连结DB,得DAB的面积21sin13522SAB ADog设D到平面SAB的距离为h,由于DSABSABDVV,得121133h SSO Sgg,解得2h设SD与平面SAB所成角为,则222sin1111hSD所以,直线SD与平面SBC所成的我为22arcsin11小结 :求直线与平面所成的角时,应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系;(2)当直线和平DBCASODBCAS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
16、 - - - - - - -第 7 页,共 9 页8 / 9面斜交时,常用以下步骤:构造作出斜线与射影所成的角,证明论证作出的角为所求的角,计算常用解三角形的方法求角,结论点明直线和平面所成的角的值. 考点 6 二面角例 6如图, 已知直二面角PQ,APQ,B,C,CACB,45BAPo,直线CA和平面所成的角为30o (I)证明BCPQ(II)求二面角BACP的大小过程指引 : (I)在平面内过点C作COPQ于点O,连结OB因为,PQI,所以CO,又因为CACB,所以OAOB而45BAOo,所以45ABOo,90AOBo,从而BOPQ,又COPQ,所以PQ 平面OBC因为BC平面OBC,故P
17、QBC(II)由( I)知,BOPQ,又,PQI,BO,所以BO 过点O作OHAC于点H,连结BH,由三垂线定理知,BHAC故BHO是二面角BACP的平面角由( I)知,CO,所以CAO是CA和平面所成的角,则30CAOo,不妨设2AC,则3AO,3sin 302OHAOo在RtOAB中 ,45ABOBAOo, 所 以3BOAO, 于 是 在RtBOH中 ,3tan232BOBHOOH故二面角BACP的大小为arctan2小结 :本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径:由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,由二面角两个平
18、面内的两条平行直线找出棱,补形构造几何体发现棱;解法二则是利用平面向量计算的方法,这也是解决无棱二面角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. A B C Q P A B C Q P O H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页9 / 9考点 7 利用空间向量求空间距离和角例 7 如图,已知1111ABCDA B C D是棱长为3的正方体,点E在1AA上,点F在1CC上,且11AEFC(1)求证:1EBFD, , ,四点共面;(2)若点G在BC上,23BG,点M在1BB上,
19、GMBF,垂 足 为H,求证:EM 平面11BCC B;(3)用表示截面1EBFD和侧面11BCC B所成的锐二面角的大小,求tan过程指引 : (1)如图,在1DD上取点N,使1DN,连结EN,CN,则1AEDN,12CFND因为AEDN,1NDCF,所以四边形ADNE,1CFD N都为平行四边形从而ENAD,1FDCN又因为ADBC,所以ENBC,故四边形BCNE是平行四边形,由此推知CNBE,从而1FDBE因此,1EBFD, ,四点共面(2)如图,GMBF,又BMBC,所以BGMCFB,tantanBMBGBGMBGCFBgg23132BCBGCFg因为AEBM,所以ABME为平行四边形,从而ABEM又AB 平面11BCC B,所以EM 平面11BCC B(3) 如图,连结EH 因为MHBF,EMBF, 所以BF 平面EMH, 得EHBF 于是EHM是所求的二面角的平面角,即EHM因为MBHCFB,所以sinsinMHBMMBHBMCFBgg22223311332BCBMBCCFg,tan13EMMHCBAGHMDEF1B1A1D1CCBAGHMDEF1B1A1D1CN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页