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1、精品资料欢迎下载复习提问(一)奇偶函数的定义奇函数偶函数代数定义fxfx恒成立fxfx恒成立几何定义图像关于原点对称且00f图像关于 y 轴对称备注定义域关于原点对称是判断奇偶函数的前提,函数奇偶性是函数的整体性质。(二) 、函数按奇偶分类: 奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、 既不是奇函数也不是偶函数 (非奇非偶)(三) 、奇偶函数的性质:1、奇函数的反函数也是奇函数2、奇偶函数的加减:奇奇=奇,偶偶=偶,奇偶=非奇非偶;奇偶函数的乘除:同偶异奇3、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。4、定义在 R 上的任意函数 fx 都可以唯一表示成一个奇函
2、数与一个偶函数之和22fxfxfxfxfx奇偶(四) 、函数奇偶性的做题方法与步骤。第一步,判断函数的定义域是否关于原点对称;第二步,求出fx 的表达式;第三步,比较 fxfx与的关系fxfxfxfx与相等,函数为偶与互为相反数,函数为奇函数 题型与方法归纳题型与方法0,0,020,=fxfxfxfx则是奇函数定义法: 1)看定义域是否关于对称,)若则是偶函数奇偶加减:奇奇 奇,偶偶 偶,奇偶 非奇非偶快速判定奇偶乘除:同偶异奇。一、判定奇偶性例 1:判断下列函数的奇偶性1)21fxx x2)112logxxfx3)2211fxxx4)22fxxx5)2211021102xxfxxx解:1)
3、fx 的定义域为 R,2211fxxxxxfx 所以原函数为偶函数。奇偶性部分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精品资料欢迎下载2) fx 的定义域为11xx0即11x,关于原点对称111122loglogxxxxfx21log1xfxx,所以原函数为奇函数。3)fx 的定义域为221010xx即1x,关于原点对称,又110ff即1111ffff且,所以原函数既是奇函数又是偶函数。4) fx 的定义域为2020xx即2x,定义域不关于原点对称,所以原函数既不是奇函数又不是偶函数。5)分段函数 fx 的定义域为,00,
4、关于原点对称,当0x时,0x,222111111222fxxxxfx当0x时,0x,222111111222fxxxxfx综上所述,在,00,上总有 fxfx所以原函数为奇函数。注意:在判断分段函数的奇偶性时, 要对 x 在各个区间上分别讨论, 应注意由 x 的取值范围确定应用相应的函数表达式。练习 1:判断下列函数的奇偶性1)2616xxfxx x2)2222xfxx3)2233fxxx4)22fxxx5)2200xxxfxxxx二、利用奇偶性求函数解析式:例 2:设 fx 是 R 上是奇函数,且当0,x时31fxxx,求 fx 在 R 上的解析式解:当0,x时有31fxxx,设,0x, 则
5、0,x,从而有3311fxxxxx,fx 是 R 上是奇函数,fxfx所以31fxfxxx,因此所求函数的解析式为331010xxxfxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精品资料欢迎下载注意:在求函数的解析式时, 当球自变量在不同的区间上是不同表达式时,要用分段函数是形式表示出来。练习 2:已知 yfx 为奇函数,当0x时,22fxxx,求 fx 的表达式。练习 3、已知fx为奇函数,g x为偶函数,且xfxgxe,求函数fx的表达式。例 3:设函数 fx 是定义域 R 上的偶函数, 且图像关于2x对称,已知2
6、,2x时,21fxx求6, 2x时 fx 的表达式。解:图像关于2x对称,22fxfx ,22fxfx=44 4fxfxfx4fxfx4T6 ,2x42,2x2441fxxfx所以6, 2x时 fx 的表达式为 fx =241x练习 3:已知函数fx为奇函数,当0x时,223fxxx,求fx的表达式。例 4:已知函数538fxxaxbx且210f,求2f的值解:令53g xxaxbx,则8fxg x2281 021 8fggg x 为奇函数,2218218ggg2281 882 6fg练习 4:已知函数7534fxaxbxcxdx且39f,求3f的值。精选学习资料 - - - - - - -
7、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精品资料欢迎下载例 5:定义在 R 上的偶函数 fx 在区间,0 上单调递增,且有2221321faafaa求a的取值范围。解:2217212048aaa,22123213033aaa,且 fx 为偶函数,且在区间,0 单调递增,fx 在区间0,上为减函数,221aa2321a03a所以 a的取值范围是0,3 。点评:利用函数的奇偶性及单调性,将函数值之间的大小关系转换为自变量的大小关系,从而应用不等式有关知识求解 . 练习 5:定义在1,1 上的奇函数 fx 为减函数,且2110fafa,求实数 a 的取值范围。练习 6:
8、定义在2,2 上的偶函数 g x ,当0x时, g x 为减函数,若1gmg m 成立,求 m的取值范围。三、抽象函数奇偶性的判断解题方法与步骤:(1)设/令(2)求值(3)判断对任意的, x y,均有fxyxfyyfx,是判断函数奇偶性。解:设 y=-1,则1fxxffx。令 x=y=-1, 1112ff,令 x=y=1,10f, 所以fxfx,fx 是奇函数。练习 1、已知2,fxyfxyfx fy且00f,判断函数fx的奇偶性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精品资料欢迎下载练习 2、fxyfxfy,, x
9、yR,判断函数的奇偶性。趁热打铁1、判断下列函数的奇偶性. (1)59xxy;(2)1(log2xxya;(3)2xxeey;(4) 2xxeey2、设函数)(xf定义在,aa上,证明:(1)()(xfxf为偶函数; (2) )()(xfxf为奇函数 . 3、若函数 fx 在区间33,2aa上是奇函数,则 a=( ) A . -3 或 1 B. 3 或-1 C. 1 D. -3 4、 已知函数2334xfxx,则它是()A 奇函数B 偶函数C 即是奇函数又是偶函数D 既不是奇函数又不是偶函数5. ,x yRfxyfxfy,判断fx的奇偶性。温故知新1 判断下列函数的奇偶性2412;2sinco
10、s ;13sincos ;4ln.1yxxyxxxyxxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精品资料欢迎下载(5)213fxxx(6)100010xxfxxxx2.已知定义在 R 上的奇函数)(xf,满足(4)( )f xf x,且在区间 0,2上是增函数 ,则( ). A.( 25)(11)(80)fffB. (80)(11)( 25)fffC. (11)(80)( 25)fffD. ( 25)(80)(11)fff3.已知函数( )f x是(,)上的偶函数,若对于0x,都有(2( )fxfx),且当0, 2)x
11、时,2( )log(1fxx),则( 2008)(2009)ff的值为()A2B1C1D24.函数( )f x的定义域为 R,若(1)f x与(1)f x都是奇函数,则( ) (A) ( )f x是偶函数(B) ( )f x是奇函数(C) ( )(2)f xf x(D) (3)f x是奇函数5、已知函数1( )21xf xa. (1)求证:不论a为何实数( )f x总是为增函数;(2)确定a的值,使( )f x为奇函数;(3)当( )f x为奇函数时,求( )f x的值域。6、函数 fx 是定义域为 R 的偶函数,且对任意的xR,均有2fxfx 成立。当0,1x时,log2,1afxxa精选学
12、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精品资料欢迎下载(1)当21,21 ()xkkkZ 时,求 fx 的表达式;(2)若 fx 的最大值为12,解关于 x 的不等式14fx。例 1.判断下列函数的奇偶性(1)xxxxf22)2()((2))22( ,22)2()(xxxxxf(3)) 1ln()(2xxxf(4)xxxf11lg)(例 1 判断函数(x)=3x2, x的奇偶性。判断函数的奇偶性。判断函数的奇偶性。判断函数的奇偶性。判断函数例 2已知)0(),21121()(xxxfx(1)判断 f(x) 的奇偶性。(2)证明
13、 f(x)0. 1 已知奇偶性求值例.(1)已知|1|)(axxxf是奇函数,则._2010a(2)若xaxxxf)(1()(是奇函数,则a=_. (3)已知函数)0)(21212()(2xaaxxfx是偶函数,则a=_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精品资料欢迎下载1.判断下列函数的奇偶性:( 1)1( )f xxx(2)21( )22xf xx(3)( )2121f xxx( 4)11( )212xf x(5)1( )11xf xxx(6)y()xaaR( 7)2240( )40xxxxf xxxxx2若2(
14、 )233f xkxkx是偶函数,则( )f x的递减区间是3.已知53( )8f xxaxbx,且( 2)10f,则(2)f等于()()26()18()10()10ABCD4已知函数( )f x是定义R在上的奇函数,且当0x时,2( )1f xxx,求( )f x的解析式 . 5设( )f x为偶函数,( )g x是奇函数,且1( )( )1f xg xx,求( )f x、( )g x的解析式 . 6函数( )0yf xx是奇函数,且当0,x时是增函数,若(1)0f,求不等式102fx x的解集 . 7定义在1,1上的偶函数( )f x,当0x时,( )f x为增函数,若(1)(2)fmfm
15、成立,求m的取值范围 . 8.已知函数2( )3f xaxbxab为偶函数,其定义域是1,2aa,求( )f x的值域9 已知函数2( )1axbf xx是定义在( 1,1)上的奇函数, 且12( )25f( 1) 确定函数( )f x的解析式; (2)用定义( )f x证明在( 1,1)上是增函数(3)解不等式(1)( )0f tf t. 高考题练习10.(07 广东文 3)若函数3( )()f xxxR,则函数()yfx在其定义域上是() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精品资料欢迎下载A单调递减的偶函数B单调
16、递减的奇函数C单调递增的偶函数D单调递增的奇函数11.(10 安徽理 4)若fx是R上周期为5的奇函数,且满足11,22ff,则34ff() ABCD12.(10 广东文 3)若函数33xxfx与33xxg x的定义域均为R,则() Afx与g x均为偶函数Bfx为奇函数,g x为偶函数Cfx与g x均为奇函数Dfx为偶函数,g x为奇函数13.(07 山东理 4)设11132a, , ,则使函数ayx的定义域为R且为奇函数的所有a值为()A1,3B1,1C1,3D1,1,314.(08安徽理 11)若函数( ),( )f xg x分别是R上的奇函数、偶函数,且满足( )( )xf xg xe
17、,则有()A(2)(3)(0)ffgB(0)(3)(2)gffC(2)(0)(3)fgf D(0)(2)(3)gff15.(08湖北文 6)已知( )f x在 R 上是奇函数,且2(4)( ),(0,2)( )2,f xf xxf xx当时,(7)f则() A.-2 B.2 C.-98 D.9816.( 10 山东文5)设fx为定义在R上的奇函数,当0x时,22xfxxb(b为常数 ),则1f() A3B1C1D317.(08重庆理 6) 若定义在 R上的函数f(x) 满足:对任意x1,x2R 有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是()(A)f(x) 为奇函数(B)f(x) 为偶函数(C) f ( x)+1 为奇函数(D)f (x)+1 为偶函数18.(上海文9)若函数( )()(2 )f xxa bxa(常数abR,)是偶函数,且它的值域为4,则该函数的解析式( )fx函数2143xyxx的图象关于 ( )对称A.x 轴B.直线 y=x C.原点D.y 轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页