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1、1 数列A、等差数列知识点及例题一、数列由na与nS的关系求na由nS求na时,要分n=1 和 n2 两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示为11(1)(2)nnnSnaSSn。例 根据下列条件,确定数列na的通项公式。分析:(1)可用构造等比数列法求解;(2)可转化后利用累乘法求解;(3)将无理问题有理化,而后利用na与nS的关系求解。解答:(1)(2)累乘可得,故(3)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页2 二、等差数列及其前n 项和(一)等差数列的判定1、等差数列的
2、判定通常有两种方法:第一种是利用定义,1()(2)nnaadn常数,第二种是利用等差中项,即112(2)nnnaaan。2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前n 项和直接判断。(1)通项法:若数列na的通项公式为n 的一次函数,即na=An+B,则 na是等差数列;(2)前 n 项和法:若数列na的前 n 项和nS是2nSAnBn的形式( A,B是常数),则 na是等差数列。注: 若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。例 已知数列 na的前 n 项和为nS,且满足111120(2),2nnnnSSSSnag(1)求证: 1nS 是等差数列;(2)求na的表达式。分
3、析: (1)1120nnnnSSSSg1nS与11nS的关系结论;(2)由1nS的关系式nS的关系式na解答: ( 1)等式两边同除以1nnSSg得11nS-1nS+2=0,即1nS-11nS=2(n 2). 1nS是以11S=11a=2 为首项,以 2 为公差的等差数列。(2)由( 1)知1nS=11S+( n-1)d=2+(n-1) 2=2n, nS=12n, 当 n 2 时,na=2nS1nS=12 (1)n n。又精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页3 112a,不适合上式,故1(1)21(2)2 (1)nn
4、ann n。【例】已知数列 an的各项均为正数,a11.其前 n 项和 Sn满足 2Sn2pa2nanp(pR),则 an的通项公式为 _a1 1, 2a12pa21a1 p,即 2 2p1 p,得 p1. 于是 2Sn2a2nan1. 当 n2 时,有2Sn12a2n1an11,两式相减,得2an2a2n2a2n1anan1,整理,得2(anan1) (an an112) 0. 又an0,anan112,于是 an是等差数列,故an1 (n1) 12n12. (二)等差数列的基本运算1、 等差数列的通项公式na=1a+ (n-1 ) d 及前 n 项和公式11()(1)22nnn aan n
5、Snad, 共涉及五个量1a,na,d,n, nS, “知三求二”,体现了用方程的思想 解决问题;2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而1a和 d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法。注: 因为11(1)222nSdddnaann,故数列 nSn 是等差数列。例 已知数列 nx的首项1x=3,通项2(,)nnxpnq nNp q为常数,且1x,4x,5x成等差数列。求:(1),p q的值;(2)数列 nx的前 n 项和nS的公式。分析: (1)由1x=3 与1x,4x,5x成等差数列列出方程组即可求出, p q;(2)通过nx利用条件分成两个可求和的
6、数列分别求和。解答 :(1)由1x=3 得23pq又454515424 ,25 ,2xpq xpqxxx且,得5532528pqpq精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页4 由联立得1,1pq。(2)由( 1)得2n nnx,(三)等差数列的性质1、等差数列的单调性:等差数列公差为d,若 d0, 则数列递增;若d0,d0, 且满足100nnaa,前 n 项和nS最大;(2)若 a10 ,且满足100nnaa,前 n 项和nS最小;(3)除上面方法外,还可将na的前 n 项和的最值问题看作nS关于 n 的二次函数最值问题
7、,利用二次函数的图象或配方法求解,注意nN。例在等差数列na中,161718936aaaa,其前 n 项和为nS。(1)求nS的最小值,并求出nS取最小值时n 的值;(2)求12nnTaaaL。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页7 分析:(1)可由已知条件,求出a1,d, 利用100nnaa求解,亦可用nS利用二次函数求最值;(2)将前面是负值的项转化为正值求解即可。解答: (1)设等差数列na的首项为1a,公差为d,1791617181717336,12,3,179aaaaaaad91(9)363,360nnaa
8、ndnang,令13630,: 2021,3600nnannan得202120 60( 3)6302SS,当 n=20 或 21 时,nS最小且最小值为-630. (2)由( 1)知前 20 项小于零,第21 项等于 0,以后各项均为正数。2( 60363)312321.222nnnnnSnn当时, T2212122( 60363)312321221260.2223123(21)22.31231260(21)22nnnnnnTSSSnnnnnTnnn当时,综上,例 已知数列na是等差数列。(1)若,(),;mnmnan am mna求(2)若,(),.mnm nSn Sm mnS求解答: 设首
9、项为1a,公差为d,(1)由,mnan am,1nmdmn()( 1)0.m nmaamnm dnn(2)由已知可得11(1)2,(1)2n nmnadm mnmad解得221.2()nmmnmnamnmndmn1()(1)()()2m nmnmnSmn admn【例】已知数列 an 的各项均为正数,Sn为其前 n 项和,对于任意的nN*,满足关系式2Sn3an3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页8 (1)求数列 an的通项公式;(2)设数列 bn的通项公式是bn1log3an log3an1,前 n 项和为
10、Tn,求证:对于任意的正整数n,总有 Tn1. (1)解当 n1 时,由 2Sn 3an3 得, 2a13a13,a1 3. 当 n2 时,由 2Sn3an 3 得,2Sn13an13. 两式相减得: 2(SnSn1)3an 3an1,即 2an3an3an1,an 3an1,又 a130, an是等比数列,an3n. 验证:当n1 时, a13 也适合 an3n. an 的通项公式为an3n. (2)证明bn1log3an log3an11log33n log33n11(n1)n1n1n1,Tnb1b2bn(112)(1213)(1n1n1) 11n1Sn,得15265n,562log114
11、.925n,最小正整数n15【其他考点题】1、设an (nN*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且56SS,678SSS,则下列结论错误的是(C)A.d0 B.a70 C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值解析:由S5S6得a1+a2+a3+ +a50,又S6=S7,a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7,a7=0,由S7S8,得a8S5,即a6+a7+a8+a902(a7+a8)0,由题设a7=0,a80,显然 C选项是错误的。2、limn2123nnL(C)(A) 2 (B) 4 (C) 21(D)0 3、已知 a、b、c 成等比数列, a、 x、b 和 b、y、c 都成等差数列,且
12、xy 0,那么ycxa的值为( B ) 。(A)1 (B) 2 (C)3 (D)4 4、已知等差数列na的前n项和为22( ,),nSpnnq p qRnN()求q的值;()若a1与 a5的等差中项为18,bn满足22lognnab,求数列的 bn 前 n 项和。( ) 解法一:当1n时,112aSpq, 当2n时,2212(1)2(1)nnnaSSpnnqp nnq22pnp. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页13 naQ是等差数列 , 222pqpp, 0q 4 分解法二:当1n时,112aSpq, 当2n
13、时,2212(1)2(1)nnnaSSpnnqp nnq22pmp. 当3n时,11222(1)22naapnpp npp. 22232apqppq. 又222232appp, 所以3232pqp, 得0q. 4 分( ) 解:1532aaaQ,318a. 又362app, 6218pp, 4p86nan 8 分又22lognnab得432nnb. 12b,4(1) 1414322162nnnnbb, 即nb是等比数列。所以数列nb的前n项和2(1 16 )2(161)1 1615nnnT. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页