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1、1 数列A、等差数列知识点及例题一、数列由na与nS的关系求na由nS求na时，要分n=1 和 n2 两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)nnnSnaSSn。例 根据下列条件，确定数列na的通项公式。分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用na与nS的关系求解。解答：（1）（2）累乘可得，故（3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页2 二、等差数列及其前n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的
2、判定通常有两种方法：第一种是利用定义，1()(2)nnaadn常数，第二种是利用等差中项，即112(2)nnnaaan。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。（1）通项法：若数列na的通项公式为n 的一次函数，即na=An+B,则 na是等差数列；（2）前 n 项和法：若数列na的前 n 项和nS是2nSAnBn的形式（ A，B是常数），则 na是等差数列。注： 若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。例 已知数列 na的前 n 项和为nS，且满足111120(2),2nnnnSSSSnag（1）求证： 1nS 是等差数列；（2）求na的表达式。分
3、析： （1）1120nnnnSSSSg1nS与11nS的关系结论；（2）由1nS的关系式nS的关系式na解答： （ 1）等式两边同除以1nnSSg得11nS-1nS+2=0，即1nS-11nS=2（n 2）. 1nS是以11S=11a=2 为首项，以 2 为公差的等差数列。（2）由（ 1）知1nS=11S+（ n-1）d=2+(n-1) 2=2n, nS=12n, 当 n 2 时，na=2nS1nS=12 (1)n n。又精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页3 112a，不适合上式，故1(1)21(2)2 (1)nn
4、ann n。【例】已知数列 an的各项均为正数，a11.其前 n 项和 Sn满足 2Sn2pa2nanp(pR)，则 an的通项公式为 _a1 1， 2a12pa21a1 p，即 2 2p1 p，得 p1. 于是 2Sn2a2nan1. 当 n2 时，有2Sn12a2n1an11，两式相减，得2an2a2n2a2n1anan1，整理，得2(anan1) (an an112) 0. 又an0，anan112，于是 an是等差数列，故an1 (n1) 12n12. （二）等差数列的基本运算1、 等差数列的通项公式na=1a+ （n-1 ） d 及前 n 项和公式11()(1)22nnn aan n
5、Snad， 共涉及五个量1a，na，d,n, nS, “知三求二”，体现了用方程的思想 解决问题；2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注： 因为11(1)222nSdddnaann，故数列 nSn 是等差数列。例 已知数列 nx的首项1x=3，通项2(,)nnxpnq nNp q为常数，且1x，4x，5x成等差数列。求：（1）,p q的值；（2）数列 nx的前 n 项和nS的公式。分析： （1）由1x=3 与1x，4x，5x成等差数列列出方程组即可求出, p q；（2）通过nx利用条件分成两个可求和的
6、数列分别求和。解答 ：（1）由1x=3 得23pq又454515424 ,25 ,2xpq xpqxxx且，得5532528pqpq精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页4 由联立得1,1pq。（2）由（ 1）得2n nnx，（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d，若 d0, 则数列递增；若d0,d0, 且满足100nnaa，前 n 项和nS最大；（2）若 a10 ，且满足100nnaa，前 n 项和nS最小；（3）除上面方法外，还可将na的前 n 项和的最值问题看作nS关于 n 的二次函数最值问题
7、，利用二次函数的图象或配方法求解，注意nN。例在等差数列na中，161718936aaaa，其前 n 项和为nS。（1）求nS的最小值，并求出nS取最小值时n 的值；（2）求12nnTaaaL。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页7 分析：（1）可由已知条件，求出a1,d, 利用100nnaa求解，亦可用nS利用二次函数求最值；（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。解答： （1）设等差数列na的首项为1a，公差为d，1791617181717336,12,3,179aaaaaaad91(9)363,360nnaa
8、ndnang，令13630,: 2021,3600nnannan得202120 60( 3)6302SS，当 n=20 或 21 时，nS最小且最小值为-630. （2）由（ 1）知前 20 项小于零，第21 项等于 0，以后各项均为正数。2( 60363)312321.222nnnnnSnn当时， T2212122( 60363)312321221260.2223123(21)22.31231260(21)22nnnnnnTSSSnnnnnTnnn当时，综上，例 已知数列na是等差数列。（1）若,(),;mnmnan am mna求（2）若,(),.mnm nSn Sm mnS求解答： 设首
9、项为1a，公差为d，（1）由,mnan am，1nmdmn()( 1)0.m nmaamnm dnn（2）由已知可得11(1)2,(1)2n nmnadm mnmad解得221.2()nmmnmnamnmndmn1()(1)()()2m nmnmnSmn admn【例】已知数列 an 的各项均为正数，Sn为其前 n 项和，对于任意的nN*，满足关系式2Sn3an3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页8 (1)求数列 an的通项公式；(2)设数列 bn的通项公式是bn1log3an log3an1，前 n 项和为
10、Tn，求证：对于任意的正整数n，总有 Tn1. (1)解当 n1 时，由 2Sn 3an3 得， 2a13a13，a1 3. 当 n2 时，由 2Sn3an 3 得，2Sn13an13. 两式相减得： 2(SnSn1)3an 3an1，即 2an3an3an1，an 3an1，又 a130， an是等比数列，an3n. 验证：当n1 时， a13 也适合 an3n. an 的通项公式为an3n. (2)证明bn1log3an log3an11log33n log33n11(n1)n1n1n1，Tnb1b2bn(112)(1213)(1n1n1) 11n1Sn，得15265n，562log114
11、.925n，最小正整数n15【其他考点题】1、设an （nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且56SS，678SSS，则下列结论错误的是（C）A.d0 B.a70 C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值解析：由S5S6得a1+a2+a3+ +a50，又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由S7S8，得a8S5，即a6+a7+a8+a902（a7+a8）0，由题设a7=0，a80，显然 C选项是错误的。2、limn2123nnL（C）(A) 2 (B) 4 (C) 21(D)0 3、已知 a、b、c 成等比数列， a、 x、b 和 b、y、c 都成等差数列，且
12、xy 0，那么ycxa的值为（ B ） 。（A）1 （B） 2 （C）3 （D）4 4、已知等差数列na的前n项和为22( ,),nSpnnq p qRnN（）求q的值；（）若a1与 a5的等差中项为18，bn满足22lognnab，求数列的 bn 前 n 项和。( ) 解法一：当1n时，112aSpq, 当2n时,2212(1)2(1)nnnaSSpnnqp nnq22pnp. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页13 naQ是等差数列 , 222pqpp, 0q 4 分解法二：当1n时,112aSpq, 当2n
13、时,2212(1)2(1)nnnaSSpnnqp nnq22pmp. 当3n时,11222(1)22naapnpp npp. 22232apqppq. 又222232appp, 所以3232pqp, 得0q. 4 分( ) 解：1532aaaQ,318a. 又362app, 6218pp, 4p86nan 8 分又22lognnab得432nnb. 12b,4(1) 1414322162nnnnbb, 即nb是等比数列。所以数列nb的前n项和2(1 16 )2(161)1 1615nnnT. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
