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1、学习必备欢迎下载排列组合知识点与方法归纳一、知识要点1.分类计数原理与分步计算原理(1)分类计算原理(加法原理):完成一件事,有n 类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,在第n 类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1+ m2+ mn种不同的方法。(2)分步计数原理(乘法原理):完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1 步有 m1种不同的方法,做第2 步有m2种不同的方法,做第n 步有 mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1 m2 mn种不同的方法。2.排列(1)定义从 n 个不同元素中取出m ()个元素的所有排列的个数,叫做从 n
2、个不同元素中取出m个元素的排列数,记为 . (2)排列数的公式与性质a)排列数的公式: =n (n-1 )( n-2 )( n-m+1) =特例:当 m=n时, =n !=n( n-1 )( n-2 ) 321规定: 0!=1 b)排列数的性质:() =()()3.组合(1)定义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页学习必备欢迎下载a)从 n 个不同元素中取出个元素并成一组, 叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合b)从 n 个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的组合数,
3、用符号表示。(2)组合数的公式与性质a)组合数公式:(乘积表示)(阶乘表示)特例:b)组合数的主要性质:()()4.排列组合的区别与联系(1) 排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关,而排列不仅与选取的元素有关,而且还与取出元素的顺序有关。因此,所给问题是否与取出元素的顺序有关,是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。(2)注意到获得(一个)排列历经“获得(一个)组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤,故得排列数与组合数之间的关系:二、经典例题例 1、某人计划使用不超过500 元的资金购买单价分别为60、70 元的单片软件和盒装磁盘,要求软件至少买3 片,磁盘至少买2 盒,则不同的
4、选购方式是()A .5 种 B.6 种 C. 7种 D. 8种解:注意到购买3 片软件和2 盒磁盘花去320 元,所以,这里只讨论剩下的180 元如何使用,可从购买软件的情形入手分类讨论:第一类,再买3 片软件,不买磁盘,只有1种方法;第二类,再买2 片软件,不买磁盘,只有1 种方法;第三类,再买1 片软件,再买1 盒磁盘或不买磁盘,有2 种方法;第四类,不买软件,再买 2 盒磁盘、 1 盒磁盘或不买磁盘,有3 种方法;于是由分类计数原理可知,共有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页学习必备欢迎下载N=1+1+2+3=
5、7种不同购买方法,应选C。例 2、在中有 4 个编号为1,2,3,4 的小三角形,要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种,使有相邻边的小三角形颜色不同,共有多少种不同的涂法?解:根据题意,有相邻边的小三角形颜色不同,但“对角”的两个小三角形可以是相同颜色,于是考虑以对角的小三角形1、4 同色与不同色为标准分为两类,进而在每一类中分步计算。第一类: 1 与 4 同色,则1 与 4 有 5 种涂法, 2 有 4 种涂法, 3 有 4 种涂法,故此时有 N1=544=80 种不同涂法。第二类: 1 与 4 不同色,则1 有 5 种涂法, 4 有 4 种涂法, 2 有 3 种涂法,
6、 3 有 3 种涂法,故此时有 N2=5433=180 种不同涂法。综上可知, 不同的涂法共有80+180=260种。例 3、用数字 0,1,2,3,4,5 组成无重复数字4 位数,其中,必含数字2 和 3,并且2 和 3 不相邻的四位数有多少个?解:注意到这里“ 0”的特殊性,故分两类来讨论。第一类:不含“ 0”的符合条件的四位数,首先从1,4,5 这三个数字中任选两个作排列有种; 进而将 2 和 3分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置,又有种排法,于是由分步计数原理可知,不含0 且符合条件的四位数共有=36个。第二类:含有“ 0”的符合条件的四位数,注意到正面考虑头绪较多,故考虑运用“
7、间接法”:首先从1,4,5 这三个数字中任选一个,而后与0,2,3 进行全排列,这样的排列共有个。其中,有如下三种情况不合题意,应当排险:(1)0 在首位的,有个;(2)0 在百位或十位,但2 与 3 相邻的,有个(3)0 在个位的,但2 与 3 相邻的,有个因此,含有0 的符合条件的四位数共有 =30 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页学习必备欢迎下载于是可知,符合条件的四位数共有36+30=66 个例 4、某人在打靶时射击8 枪,命中4 枪,若命中的4 枪有且只有3 枪是连续命中的,那么该人射击的8 枪,按“命
8、中”与“不命中”报告结果,不同的结果有()A.720 种 B.480 种 C.24 种 D.20 种分析: 首先,对未命中的4 枪进行排列, 它们形成5 个空挡,注意到未命中的4 枪“地位平等”,故只有一种排法,其次,将连中的3 枪视为一个元素,与命中的另一枪从前面5个空格中选2 个排进去, 有种排法,于是由乘法原理知, 不同的报告结果菜有种。例 5、(1);(2)若,则 n= ;(3);(4)若,则 n的取值集合为;(5)方程的解集为;解:(1)注意到n 满足的条件原式 =( 2 ) 运 用 杨 辉 恒 等 式 , 已 知 等 式所求 n=4。(3)根据杨辉恒等式原式 = =精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页学习必备欢迎下载=(4)注意到这里n 满足的条件n5 且 nN*在之下,原不等式由、得原不等式的解集为5 ,6,7, 11 (5)由注意到当y=0 时,无意义,原方程组可化为由此解得经检验知是原方程组的解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页