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1、学习必备欢迎下载高等数学公式导数公式:基本积分表:三角函数的有理式积分:222212211cos12sinududxxtguuuxuux,axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222C
2、axxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页学习必备欢迎下载高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz
3、)公式:)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2) 1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理。时,柯西中值定理就是当柯西中值定理:拉格朗日中值定理:xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(定积分的近似计算:bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法:梯形法:矩形法:多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdy
4、FFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz,隐函数,隐函数隐函数的求导公式:时,当:多元复合函数的求导法全微分的近似计算:全微分:0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页学习必备欢迎下载),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),
5、(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组:多元函数的极值及其求法:不确定时值时,无极为极小值为极大值时,则:,令:设,00),( ,0),( ,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx曲线积分:)()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况:则:的参数方程为:上连续,在设长的曲线积分):第一类曲线积分(对弧精
6、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页学习必备欢迎下载。,通常设的全微分,其中:才是二元函数时,在:二元函数的全微分求积注意方向相反!减去对此奇点的积分,应。注意奇点,如,且内具有一阶连续偏导数在,、是一个单连通区域;、无关的条件:平面上曲线积分与路径的面积:时,得到,即:当格林公式:格林公式:的方向角。上积分起止点处切向量分别为和,其中系:两类曲线积分之间的关,则:的参数方程为设标的曲线积分):第二类曲线积分(对坐0),(),(),(),()0, 0(),(),(21212,)()()coscos()()(),()()(
7、),(),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL常数项级数:是发散的调和级数:等差数列:等比数列:nnnnqqqqqnn1312112)1(32111112级数审敛法:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页学习必备欢迎下载散。存在,则收敛;否则发、定义法
8、:时,不确定时,级数发散时,级数收敛,则设:、比值审敛法:时,不确定时,级数发散时,级数收敛,则设:别法):根植审敛法(柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211。的绝对值其余项,那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理:的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛:时收敛时发散级数:收敛;级数:收敛;发散,而调和级数:为条件收敛级数。收敛,则称发散,而如果收敛级数;肯定收敛,且称为绝对收敛,则如果为任意实数;,其中111) 1(1)1()1 ()2
9、()1()2()2() 1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页学习必备欢迎下载0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时,时,时,的系数,则是,其中求收敛半径的方法:设称为收敛半径。,其中时不定时发散时收敛,使在数轴上都收敛,则必存收敛,也不是在全,如果它不是仅在原点对于级数时,发散时,收敛于函数展开成幂级数:nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxf
10、xxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式:充要条件是:可以展开成泰勒级数的余项:函数展开成泰勒级数:一些函数展开成幂级数:)()!12()1(! 5! 3sin) 11(!)1() 1(! 2) 1(1)1(121532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm欧拉公式:2sin2cossincosixixixixixeexeexxixe或三角级数:。上的积分在任意两个不同项的乘积正交性:。,其中,0,cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1cos
11、sin)sincos(2)sin()(001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页学习必备欢迎下载傅立叶级数:是偶函数,余弦级数:是奇函数,正弦级数:(相减)(相加)其中,周期nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2)(2, 1 ,0cos)(20sin)(3 ,2, 1nsin)(2012413121164131211246141218
12、51311)3 ,2, 1(sin)(1)2, 1 , 0(cos)(12)sincos(2)(00022222222222222210周期为l 2的周期函数的傅立叶级数:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页学习必备欢迎下载llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3, 2, 1(sin)(1)2, 1 ,0(cos)(12)sincos(2)(10其中,周期微分方程的相关概念:即得齐次方程通解。,代替分离变量,积分后将,则设的函数,解法:,即写成程可以写成齐次方程:一阶微分方
13、称为隐式通解。得:的形式,解法:为:一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程:uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程:)1 ,0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP,、贝努力方程:时,为非齐次方程,当为齐次方程,时当、一阶线性微分方程:全微分方程:通解。应该是该全微分方程的,其中:分
14、方程,即:中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程:时为非齐次时为齐次,0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数;式中的系数及常数项恰好是,其中、写出特征方程:求解步骤:为常数;,其中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页学习必备欢迎下载式的通解:出的不同情况,按下表写、根据(*),321rr的形式,21rr(*) 式的通解两个不相等实根)04(2qpxrxrececy2121两个相等实根)04(2qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2qp242221pqpirir,)sincos(21xcxceyx二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数;型,为常数,sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页