《2022年第四讲基本不等式 2》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年第四讲基本不等式 2(9页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载基本不等式一、基本不等式:定理1:222abRabab若 、,则,当且仅当ab时,222abab等号成立。0001232abRababab注:定理成立的条件,;“”成立的条件是;几何意义是分别以、 边长的正方形的面积不小于以, 为边长的矩形的面积的倍。000022212312412ababRabababRab定理 :若 、,则,当且仅当时,取 “”注:定理成立的条件是,;等号成立的条件是;几何意义是直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高;圆的半弦长不小于半径长主要应用:证明不等式;求最值或取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
2、- - -第 1 页,共 9 页学习必备欢迎下载05,2,aba bRa baba b若,则为的算术平均,为的几何平均。二、题组 2:利用基本不等式证明不等式272P1 2直通车例 、所用基本知识:不等式的有关性质、两个基本定理、还有柯西不等式、排序不等式;证明不等式的基本方法:比较法(最基本、最重要的方法) 、综合法、分析法、反证法、放缩法、构造法等。证题的基本思路:认真分析已知条件,理解好关键条件条件,分析好条件与所求证式之间的关系,分析好条件、结论与有关定理的关系, 从而找出适当的证明方法。常用已证过的不等式:2a0 (a R ) ; a0 (a R) ; 222abab及其变形;222
3、2;ababab222() ;22abab22221() ,()4;2abababab2abab(a0,b 0 )及其变形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页学习必备欢迎下载2(0),2(0).babaabababab222112ababab022221.131()() ;242111112,(1)(1)112(2)1aakk kkk kkkkkkNkkk注:应用基本不等式进行放缩以上且02应用反证法的情形: (1) 直接证明困难 ; (2) 需分成很多类进行讨论(3) 结论为“至少”、 “至多” 、 “有无穷多个”等
4、命题;(4)结论为“唯一”类命题;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页学习必备欢迎下载222222221.2.111; 28212521254.4abcabbcacbabbbbb2求证:已知 a,b(0,+),且 a+b=1,求证:(1)a( );1(3)a+;a1( )a+a3.0111114a b ca bb cc a已知, , 求证:,中至少有一个不大于330,0,2,2pqpqpq若且求证:5.0,2111221xxx xxxx已知求证:1146.,abcabbcac已知求证:2227.R2Nnnna b ca
5、bcabcnn已知, 且,求证:, 其中, ,在直角坐标系xOy中,点P到两点(03),(03),的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页学习必备欢迎下载距离之和等于 4,设点P的轨迹为C,直线1ykx与C交于A,B两点 ()写出C的方程; ()若OAOB,求k的值; ()若点A在第一象限,证明:当k0时,恒有|OA|OB| 数列na为等差数列,na为正整数,其前n项和为nS,数列nb为等比数列,且113,1ab,数列nab是公比为 64 的等比数列,2264b S. (1)求,nna b; (2)求证1211134nS
6、SS. 设数列na满足3*110,1,nnaacac nNc其中为实数。 ()证明:0,1na对任意*nN成立的充分必要条件是0,1c;()设103c,证明:1*1(3 ),nnacnN; ()设103c,证明:222*1221,13naaannNc三、题组 2 利用基本不等式求最值:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页学习必备欢迎下载1.定理:和为定值积最大;积为定值和最小。2222333312.2223223baabaabaababababcabcabcabcab cR重要结论:;, 其中, , ,求最值的基本方法
7、:函数单调性、配方法、判别式法、有界性、导数法等。注;01运用定理时在注意“一定、二正、三相等”;176P 1 2直通车-02解题技巧:等分某一个式子;两边平方后再处理或运用换元法进行转化;179P4直通车加(减) 同一个数或乘 (除) 同一个数;176270P 1 3 P2直通车- ,例,“1”的逆用;176271P2 P4直通车例 ,真题,03解题步骤:先把所求式化为熟悉的基本不等式,然后判断其是否为正数,再判断是否为定值,最后判断等号是否成立;04灵活运用各种方法求最值。176179P3 1P 3直通车- 、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
8、- - -第 6 页,共 9 页学习必备欢迎下载272275PP直通车、名校联考已知302x, 求函数(32 )yxx的最大值 . 2.R3a bababab若 ,,且满足,则的取值范围是求函数22(3)3xyxx的最小值 .21xyx求函数2232xyx的最小值 . 已知0,0ab,2310ab, 求32ba的最大值;已知0x,0y,且21xy,则11uxy的最小值;222197.,1,8.,1,12x yRxyxyba bRaab已知 :且求的最小值;已知 :且求的最大值 .已知函fxkxb数的图象与xy、轴分别相交于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
9、- - - - -第 7 页,共 9 页学习必备欢迎下载点 A、 B,22ABij(i、 j分别是与xy、轴正半轴同方向的单位向量 ), 函数226g xxx(1) 求 k、b 的值; (2) 当 x 满足 f(x) g(x) 时, 求函数)(1)(xfxg的最小值 . 四、题组 3 基本不等式在实际中的应用解题思路:认真审题,理解好关键字眼,明确各个条件的关系,明白在做一件什么事;根据审题,建立合适的数学模型;求解数学模型;检验所得结果是否满足题意;得出实际问题的解,并作答。某村计划建造一个室内面积为8002m的矩形蔬菜温室。在温室内, 沿左右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留
10、3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时?蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少?如图,为处理含有某种杂质的污水, 要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高为b米,已知流出的水中该杂质的质量分数与a b,的乘积ab成反比,现有制箱材料60平方米,问当a b,各为多少米时, 经沉淀后流精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页学习必备欢迎下载出的水中该杂质的质量最小(A,B孔的面积忽略不计)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页