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1、2.3数学归纳法第 1 课时数学归纳法1用数学归纳法证明“ 2nn21 对于 nn0的自然数 n 都成立”时,第一步证明中的起始值 n0应取()A2 B3 C5 D6 解析当 n 取 1、2、3、4 时 2nn21 不成立,当 n5 时,253252126,第一个能使 2nn21 的 n 值为 5,故选 C. 答案C 2用数学归纳法证明等式123 (n3)n3 n42(nN),验证 n1 时,左边应取的项是()A1 B12 C123 D1234 解析等式左边的数是从1 加到 n3. 当 n1 时,n34,故此时左边的数为从1 加到 4. 答案D 3设 f(n)1121313n1(nN),那么
2、f(n1)f(n)等于()A.13n2B.13n13n1C.13n113n2D.13n13n113n2解析 f(n)1121313n1, f(n1)1121313n113n13n113n2,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页 f(n1)f(n)13n13n113n2. 答案D 4用数学归纳法证明关于n 的恒等式,当 nk 时,表达式为1427k(3k1)k(k1)2,则当 nk1 时,表达式为 _答案1427 k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)25 记凸 k 边形的内角和为 f(k), 则凸 k1 边形的
3、内角和 f(k1)f(k)_. 解析由凸 k 边形变为凸 k1 边形时,增加了一个三角形图形,故f(k1)f(k).答案6用数学归纳法证明:11213412n1 2n1n11n21nn. 证明(1)当 n1 时,左边11212,右边12,等式成立(2)假设当 nk(kN*)时,等式成立,即11213412k1 2k1k11k212k. 则当 nk1 时,11213412k1 2k12k1 2k21k11k212k12k1 2k21k21k312k12k112k21k11k21k312k12k112k21k1 11k1 21k1 k1k1 k1.即当 nk1 时,等式成立根据(1)(2)可知,对
4、一切 nN*,等式成立7若命题 A(n)(nN*)在 nk(kN*)时命题成立, 则有 nk1 时命题成立 现精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页知命题对 nn0(n0N*)时命题成立,则有()A命题对所有正整数都成立B命题对小于 n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立C命题对小于 n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立D以上说法都不正确解析由已知得 nn0(n0 N*)时命题成立,则有nn01 时命题成立;在nn01 时命题成立的前提下,又可推得n(n01)1 时命题也成立,依此类推
5、,可知选 C. 答案C 8用数学归纳法证明 (n1)(n2)(n3)(nn)2n 1 3 (2n1)(nN*),从nk 到 nk1,左边增加的代数式为()A2k1 B2(2k1) C.2k1k1D.2k3k1解析nk 时,左边 (k1)(k2)(2k);nk1 时,左边 (k2)(k3)(2k2)2(k1)(k2)(2k)(2k1),故选 B. 答案B 9分析下述证明 24 2nn2n1(nN)的过程中的错误:证明假设当 nk(kN)时等式成立,即 24 2kk2k1,那么 24 2k2(k1)k2k12(k1)(k1)2(k1)1,即当 nk1 时等式也成立因此对于任何nN等式都成立 _.
6、答案缺少步骤归纳奠基,实际上当n1 时等式不成立10用数学归纳法证明 (11)(22)(33)(nn)2n1 (n2n)时,从 nk 到 nk1 左边需要添加的因式是 _解析当 nk 时,左端为: (11)(22)(kk),精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页当 nk1 时,左端为: (11)(22)(kk)(k1k1),由 k 到 k1 需添加的因式为: (2k2)答案2k2 11用数学归纳法证明1222 n2n n1 2n16(nN*)证明(1)当 n1 时,左边 121,右边1 11 21161,等式成立(2)假
7、设当 nk(kN*)时等式成立,即1222 k2k k1 2k16那么,1222 k2(k1)2k k1 2k16(k1)2k k1 2k1 6 k126k1 2k27k66k1 k2 2k36k1 k1 12 k1 16,即当 nk1 时等式也成立根据(1)和(2),可知等式对任何nN*都成立12(创新拓展 )已知正数数列 an(nN*)中,前 n 项和为 Sn,且 2Snan1an,用数学归纳法证明: an nn1. 证明(1)当 n1 时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页a1S112a11a1,a211(an0),a11,又101,n1 时,结论成立(2)假设 nk(kN*)时,结论成立,即 akkk1. 当 nk1 时,ak1Sk1Sk12ak11ak112ak1ak12ak11ak112kk11kk112ak11ak1ka2k12 kak110,解得 ak1k1k(an0),nk1 时,结论成立由(1)(2)可知,对 nN*都有 an nn1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页