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1、立身以立学为先,立学以读书为本第七章多元函数微分学一、内容分析与教学建议(一)本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数,一方面充实微分学,另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。在教学方法上,在一元函数微分学基础上,通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法,并注意比较它们的异同。(二)多元函数、极限、连续先通过介绍平面点集的几个基础概念,引入二元函数由点函数再过渡到多元函数,并引入多元函数极限, 讲清它的概念, 并指出二元函数与一元函数极限点0PP方式的异同,可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法,如换元化为一元函数两边夹准则,运用连
2、续性等。 在理解极限概念之基础上,不难得到求一个二元函数极限不存在之方法,最后可介绍累次极限与重极限之关系。(三)偏导数与全微分1、可先介绍偏增量概念,类比一元函数,引入偏导数,通过例题说明,偏导与连续之关系,在偏导数的计算中,注意讲清分段函数分界点处的偏导数。2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例,类比一元函数的微分,引入全微分的定义,并指出用定义判断),(yxfz可微,即求极限yyxzxyxzzyxyx),(),(lim00是否为0。3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件,重点指出可微与偏导之关系,让学生理解关系式dyyzdxxzdz之意义,最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可
3、微之相互关系。(四)复合函数求偏导1、可先证明简单情形的全导数公式,画出函数关系图,通过关系图中“分线相加,连线相乘 ” 法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(vufz,)(xu,)(xv从中让学生理解口诀的含义。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页立身以立学为先,立学以读书为本2、通过例题说明各种公式,具体方法及符号正确运用;3、通过教材中典型例题,细致讲解复合函数高阶偏导数的求法,这是个难点,并注意 求导时,注意分析函数的各种关系;讲透符号1f,12f等之涵义。(五)隐函数求偏导1、结合简单例子,讲解方程与函数
4、之关系;2、对于0),(yxF确定的隐函数存在定理,讲清三个条件和三个结论,再拓广介绍其它两种常见情形,其偏导数公式的证明,可只证部分结论;3、用例题说明隐函数求偏导数之三种方法,公式法、复合函数法(直接法)、微分法,要让学生理解三种方法中各种变量之相互关系。(六)方向导数与梯度从偏导数的概念拓广到方向导数概念,并指出与偏导数之关系,其次可通过具体应用实例引入梯度之概念,可画图指出梯度与方向导数之关系,此外,顺便介绍等高线、梯度场、势场等知识加深对梯度概论的理解。(七)多元函数微分学应用1、几何应用:(a)通过割线及到切线概念,从而得到切线方程;(b)曲面上任一点M处的任何曲线,若M处切线均在
5、一个平面上,从而引入切平面与法线概念,并导出切平面与法线方程,举例说明它们的应用;(c)可让学生复习有关空间解析几何直线与平面有关内容。2、极值 与一元函数类比,讲述二元函数极值的必要和充分条件; 求极值问题一般分为两种情况:a 无条件条件 ; b条件极值。从无条件极值到条件极值,自然地引入到“拉格朗日乘数法”,讲解时注意此方法的基本思想、方法及步骤,另外还可优化结合起来讲解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页立身以立学为先,立学以读书为本二、补充例题例1.设),(yxfu,0,2zexy,xysin,其中都具有一
6、阶连续偏导数,且0z,求dxdu. 解:分别求偏导数得:)3(cos)2(02) 1(321xdxdydxdzdxdyexdxdzfdxdyffdxdyyzyx(3)代入( 2)3231cos2yexxdxdy(3)代入( 1)3231cos2cosyyyxexxfxffdxdy2sin13cos2cosxexfxffxzyx例2.设),(yxz是由方程0),(yzxyf,确定的隐函数,其中f有二阶连续偏导数,求22xz. 解:方程两边对x求偏导0)1(21xzyff,21f yfxz22222112121122) 1() 1(f yxzyf yf yff yxzyffxz代入上式并整理得:3
7、222213211122222fyfffffffxz例3.设直线L:030yayxbyx在平面上,而平面与曲面22yxz相切于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页立身以立学为先,立学以读书为本点)5.2, 1 (,求a,b的值 . 解:在点)5.2, 1 (处曲面法向量 1.4,2n,于是切平面方程为:0)5()2(4)1(2zyx即0542zyx由L:)(3030bxaxzbxyyayxbyx053442abaxxbxx因而有:05a024abb5a2b例4.已知椭球面2222ayzxyzyx,)0(a,求椭球面上
8、z坐标为最大与最小点;求椭球面的xOy面上投影区域的边界曲线. 解:由于椭球面是一封闭曲面,因此椭球面上z坐标最大与最小点一定存在,且此二点处z值就是椭球面方程所确定隐函数),(yxzz的最大值与最小值. 椭球面方程两边分别对x及y求偏导:022022zyzyxyzzyxzyyxzzx令0xz,0yz,0202zxyyx解得:xy2,xz3,代入椭球的方程得到bax故得两点bababaP3,2,1,bababaP3,2,2由于椭球面确定存在z坐标最大与最小的点,因此点1P与2P为所求 . 设S是椭球面对于xOy面投影柱面S与椭球面切于曲线C,则C在上,两曲面的法向量相同都为yzzxyyxn2,
9、2,2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页立身以立学为先,立学以读书为本由kn,0kn,即02yz因此曲线C满足02222yyzayzxyzyx消去z即S的方程22243axyyx故投影区域的边界曲线为:043222zaxyyx例5.设生产某种产品必须投入两种要素1x和2x分别为两要素的投入量,Q为产出量, 若生产函数为212xxQ,其中,为正常数1,假设两种要素的价格分别为1p,2p,试问:当产出量为12 时,两要素各投入多少要可以使得投入总费用最小?解:需要在产出量12221xx的条件下,求总费用2211xpxp
10、的最小值,为此作拉格朗日函数)212()(21221121xxxpxpxxF,)3(122)2(02)1 (02212122111121xxxxpFxxpFxx由( 1) , ( 2)得:2121xxpp故2121xppx,代入( 3) ,2126ppx因此1216ppx由于此实际问题存在最小值,且驻点唯一,故当1216ppx,2126ppx时,投入总费用最少. 例6.设xyxyfxz,3,其中f具有二阶连续偏导数,求yxz2,22yz. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页立身以立学为先,立学以读书为本解:2214
11、fxfxyz22yz222121211411fxf xxfxf xx221231152f xfxfxyxz22124fxfx22114fyfx例7.设)(xyy,)(xzz是由方程)(yxxfz和0),(zyxF所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求dxdz. 解:分别在方程的两边对x求导得:01dxdzFdxdyFFfdxdyxfdxdzyyx即xyyFdxdzFdxdyFfxfdxdzdxdyf,zyxyFf xFFf xFf xfdxdz)(例8求下列极限2201)ln(limyxexyyx11lim00yxyxyxyxxyxx211lim0222limxyxy
12、xxy解:原式2lnlim)ln(lim220101yxexyxyyx令tyx,当0x,00ty原式211lim11lim00ttttt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页立身以立学为先,立学以读书为本原式exyxxxyx211lim0x,y,不妨设0x,0y,则21022yxxy得:2221022xxyxxy,由于xlim0212x所以原式0例9 设,都是有连续的二阶偏导数axyaxydttaaxyaxyz)(21)()(21试求:22222yzaxz.解:)()(21)()(2axyaxyaxyaxyaxz22x
13、z)()(2)()(22axyaxyaaxyaxya)()(21)()(21axyaxyaaxyaxyyz22yz)()(21)()(21axyaxyaaxyaxy022222yzaxz例10设函数),(yxfz在点)1 , 1(处可微,且1) 1 , 1(f,2)1 , 1(xf,3)1 , 1(yf,),(,()(xxfxfx,求13)(xxdxd. 解:1)1 , 1 ()1 , 1(, 1()1 (fff1213)()(3)(xxdxxdxxdxd121212),(),()(,(,(),(,()(3xxxfxxfxxfxfxxfxfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名
14、师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页立身以立学为先,立学以读书为本51)32(3213精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页立身以立学为先,立学以读书为本三、补充练习1、证明2222200)(limyxyxyxyx不存在 . 2、设vuez而22yxu,xyyxv22求xz,yz及dz. dyyzdxxzdzexyxyxyyzeyxyxyxxzxyyxxyyx222222442244223、设xyxyfxz2,其中f是具有二阶连续偏导数,求yxz2. 223112213f yxfxyfxf4、
15、设22yxfz,其中f是具有二阶连续偏导数,求22xz. 2222242yxfxyxf5、设0xyzez,求yxz2. 31zxyz6、设vexucos,veyusin,uvz求xz和yz. )cossin(),sincos(vuvveyzvuvvexzuu7、求曲面932222zyx上平行于平面01232zyx的切平面方程. )09232(zyx8、考察函数xyyxf),(在点)0, 0(处是否连续?偏导数是否存在?是否可微?(连续,0)0 ,0(xf,0)0,0(yf,不可微)9、求函数22324yxyxxz的极值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页立身以立学为先,立学以读书为本()0 ,0(极大值点0)0,0(f) 10、求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体. 高宽长32a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页