《2022年线性代数知识点全归纳》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年线性代数知识点全归纳(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、线性代数知识点1、 行 列 式1.n行列式共有2n个元素,展开后有!n 项,可分解为2n行列式;2.代数余子式的性质:、ijA和ija的大小无关;、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ;3.代数余子式和余子式的关系:( 1)( 1)ijijijijijijMAAM4.设 n行列式 D :将 D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D,则(1)21( 1)n nDD;将 D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2D,则(1)22( 1)n nDD;将 D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D,则3DD;将 D 主副角线翻
2、转后,所得行列式为4D,则4DD;5.行列式的重要公式:、主对角行列式:主对角元素的乘积;、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2( 1)n n;、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;、 和 :副对角元素的乘积(1)2( 1)n n;、拉普拉斯展开式:AOACA BCBOB、( 1)m nCAOAA BBOBC、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;、特征值;6.对于 n阶行列式A ,恒有:1( 1)nnknkkkEAS,其中kS为 k 阶主子式;7.证明0A的方法:、 AA ;、反证法;、构造齐次方程组0Ax,证明其有非零解;、利用秩,证明()r An;、证明0 是其特征值;精选学习资料
3、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页2、 矩 阵1.A是 n阶可逆矩阵:0A(是非奇异矩阵);()r An(是满秩矩阵)A 的行(列)向量组线性无关;齐次方程组0Ax有非零解;nbR, Axb总有唯一解;A 与 E 等价;A 可表示成若干个初等矩阵的乘积;A 的特征值全不为0;TA A是正定矩阵;A 的行(列)向量组是nR的一组基;A 是nR中某两组基的过渡矩阵;2.对于 n阶矩阵 A :*AAA AA E无条件恒 成立;3.1*111*()()()()()()TTTTAAAAAA*111()()()TTTABB AABB AAB
4、BA4.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5.关于分块矩阵的重要结论,其中均A、 B 可逆:若12sAAAA,则:、12sAAAA ;、111121sAAAA;、111AOAOOBOB;(主对角分块)、111OAOBBOAO;(副对角分块)、11111ACAA CBOBOB;(拉普拉斯)、11111AOAOCBBCAB;(拉普拉斯)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页3、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组1.一个 m n 矩阵 A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一
5、确定的:rmnEOFOO;等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A 、 B,若()()r Ar BAB;2.行最简形矩阵:、只能通过初等行变换获得;、每行首个非0 元素必须为1;、每行首个非0 元素所在列的其他元素必须为0;3.初等行变换的应用: (初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)、若(,)(,)rAEEX,则 A可逆,且1XA;、对矩阵(,)A B做初等行变化,当A 变为 E 时, B 就变成1AB,即:1(,)(,)cA BE A B ;、求解线形方程组:对于n个未知数 n个方程 Axb,如果(, )(,)rA bE x
6、,则 A可逆,且1xA b;4.初等矩阵和对角矩阵的概念:、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;、12n,左乘矩阵A,i乘 A 的各行元素;右乘,i乘 A的各列元素;、对调两行或两列,符号( , )E i j,且1( , )( , )E i jE i j,例如:1111111;、倍乘某行或某列,符号( ( )E i k,且11( ( )( ()E i kE ik,例如:1111(0)11kkk;、倍加某行或某列,符号( )E ij k,且1( )()E ij kE ijk,如:11111(0)11kkk;5.矩阵秩的基本性质:、0()min(, )mn
7、r Am n;、()()Tr Ar A;、若 AB ,则()()r Ar B;、若 P 、Q可逆,则()()()()r Ar PAr AQr PAQ;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)、max( (),()(,)()()r Ar Br A Br Ar B;( )、()()()r ABr Ar B;( )、()min( (),()r ABr A r B;( )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页、如果A是 mn 矩阵, B是 ns矩阵,且0AB,则:( )、 B 的列向量全部是齐次方程组0AX解(转置运算后的结论);、()()r
8、 Ar Bn、若 A 、 B 均为 n阶方阵,则()()()r ABr Ar Bn;6.三种特殊矩阵的方幂:、秩为1 的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;、型如101001acb的矩阵:利用二项展开式;二项展开式:01111110()nnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnnmabC aC abC abCa bC bC a b;注:、()nab展开后有1n项;、0(1)(1)!11 2 3!()!mnnnnn nnmnCCCmmnm、组合的性质:111102nmnmmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC;、利用特征值和相似对角化:7.伴随矩阵
9、:、伴随矩阵的秩:*()()1()10()1nr Anr Ar Anr An;、伴随矩阵的特征值:*1*(,)AAAXX AA AA XX;、*1AA A、1*nAA8.关于 A 矩阵秩的描述:、()r An, A中有 n阶子式不为0,1n阶子式全部为0;(两句话)、()r An, A中有 n阶子式全部为0;、()r An, A中有 n阶子式不为0;9.线性方程组:Axb,其中 A 为 mn 矩阵,则:、 m与方程的个数相同,即方程组Axb有 m 个方程;、 n与方程组得未知数个数相同,方程组Axb为 n元方程;10.线性方程组Axb的求解:、对增广矩阵B 进行初等行变换(只能使用初等行变换)
10、;、齐次解为对应齐次方程组的解;、特解:自由变量赋初值后求得;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页11.由 n个未知数 m个方程的方程组构成n元线性方程:、11112211211222221122nnnnmmnmnna xa xaxba xaxaxbaxaxaxb;、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxb(向量方程,A 为 mn 矩阵, m个方程, n个未知数)、1212nnxxaaax(全部按列分块,其中12nbbb);、1122nna xa xa x(线性表出)、有解的
11、充要条件:()(,)r Ar An( n为未知数的个数或维数)4、 向 量 组 的 线 性 相 关 性1.m个 n维列向量所组成的向量组A :12,m构成 nm 矩阵12(,)mA;m个 n维行向量所组成的向量组B :12,TTTm构成 mn 矩阵12TTTmB;含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2.、向量组的线性相关、无关0Ax有、无非零解; (齐次线性方程组)、向量的线性表出Axb是否有解;(线性方程组)、向量组的相互线性表示AXB 是否有解;(矩阵方程)3.矩阵m nA与lnB行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组0Ax和0Bx同解; (101P例 14) 4.()()Tr A
12、 Ar A;(101P例 15) 5.n维向量线性相关的几何意义:、线性相关0 ;、,线性相关,坐标成比例或共线(平行);、,线性相关,共面;6.线性相关与无关的两套定理:若12,s线性相关,则121,ss必线性相关;若12,s线性无关,则121,s必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)若 r 维向量组A 的每个向量上添上nr 个分量,构成n维向量组 B :精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页若 A线性无关,则B也线性无关;反之若B 线性相关,则A 也线性相关;(向量组的维数加加减减)简言之:无关组延长后仍无关
13、,反之,不确定;7.向量组 A (个数为 r )能由向量组B (个数为 s)线性表示,且A线性无关,则rs;向量组 A 能由向量组B 线性表示,则()()r Ar B;向量组A能由向量组B线性表示AXB 有解;()(,)r Ar A B向量组 A 能由向量组B 等价()()(,)r Ar Br A B8.方阵 A 可逆存在有限个初等矩阵12,lP PP,使12lAP PP;、矩阵行等价:rABPAB (左乘,P 可逆)0Ax与0Bx同解、矩阵列等价:cABAQB (右乘,Q可逆) ;、矩阵等价:ABPAQB( P 、Q可逆) ;9.对于矩阵m nA与lnB:、若 A 与 B 行等价,则A与 B
14、 的行秩相等;、若 A 与 B 行等价,则0Ax与0Bx同解, A 与 B 的任何对应的列向量组有相同的线性相关性;、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;、矩阵A的行秩等于列秩;10.若m ss nm nABC,则:、 C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示,B 为系数矩阵;、 C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,TA为系数矩阵; (转置)11.齐次方程组0Bx的解一定是0ABx的解, 【考试中可以直接作为定理使用,而无需证明】、0ABx只有零解0Bx只有零解;、0Bx有非零解0ABx一定存在非零解;12.设向量组12:,n rrBb bb可由向量组12:,nssAaaa线性表示为:1212
15、(,)(,)rsb bbaaaK( BAK )其中 K 为 s r ,且 A 线性无关,则B 组线性无关()r Kr;(B与K的列向量组具有相同线性相关性)(必要性:()()(), (),()rr Br AKr Kr Krr Kr;充分性:反证法)注:当 rs时, K 为方阵,可当作定理使用;13.、对矩阵m nA,存在n mQ,mAQE()r Am、Q的列向量线性无关;、对矩阵m nA,存在nmP,nPAE()r An、 P 的行向量线性无关;14.12,s线性相关存在一组不全为0 的数12,skkk,使得11220sskkk成立;(定义)1212(,)0ssxxx有非零解,即0Ax有非零解
16、;12(,)srs,系数矩阵的秩小于未知数的个数;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页15.设 mn 的矩阵 A的秩为 r ,则 n元齐次线性方程组0Ax的解集 S 的秩为:()r Snr;16.若*为 Axb的一个解,12,n r为0Ax的一个基础解系,则*12,nr线性无关;5、 相 似 矩 阵 和 二 次 型1.正交矩阵TA AE或1TAA(定义),性质:、 A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即1( ,1,2,)0Tijija ai jnij;、若 A 为正交矩阵,则1TAA也为正交阵,且1A;、若A、B正交
17、阵,则AB也是正交阵;注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化 ;2.施密特正交化:12(,)ra aa11ba;1222111,b ababb b121121112211,rrrrrrrrrb ababababbbb bbbbb; 3.对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于 实对称阵 ,不同特征值对应的特征向量正交;4.、 A 与 B 等价A 经过初等变换得到B ;PAQB, P 、Q可逆;()()r Ar B, A、 B 同型;、 A 与 B 合同TC ACB,其中可逆;Tx Ax与Tx Bx有相同的正、负惯性指数;、 A 与 B 相似1PAPB;5.相似一定合同、
18、合同未必相似;若 C 为正交矩阵,则TC ACBAB, (合同、相似的约束条件不同,相似的更严格);6.A为对称阵,则A为二次型矩阵;7.n元二次型Tx Ax为正定:A 的正惯性指数为n;A 与 E 合同,即存在可逆矩阵C ,使TCACE;A 的所有特征值均为正数;A 的各阶顺序主子式均大于0;0,0iiaA;( 必要条件 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页第一章随机事件互斥对立加减功,条件独立乘除清;全概逆概百分比,二项分布是核心;必然事件随便用,选择先试不可能。第二、三章一维、二维随机变量1)离散问模型,分布
19、列表清,边缘用加乘,条件概率定联合,独立试矩阵2)连续必分段,草图仔细看,积分是关键,密度微分算3)离散先列表,连续后求导;分布要分段,积分画图算第五、六章数理统计、参数估计正态方和卡方出,卡方相除变F,若想得到t 分布,一正n 卡再相除。样本总体相互换,矩法估计很方便;似然函数分开算,对数求导得零蛋;区间估计有点难,样本函数选在前;分位维数惹人嫌,导出置信U 方甜。第七章假设检验检验均值用U-T ,分位对称别大意;方差检验有卡方,左窄右宽不稀奇;不论卡方或U-T ,维数减一要牢记;代入比较临界值,拒绝必在否定域!精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页