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1、1 / 19 (一)填空题1._sinlim0xxxx.答案: 0 2.设0,0, 1)(2xkxxxf,在0x处连续,则_k.答案: 1 3.曲线xy在)1 , 1(的切线方程是 .答案:2121xy4.设函数52)1(2xxxf,则_)(xf.答案:x25.设xxxfsin)(,则_)2(f.答案:2(二)单项选择题1. 函数212xxxy的连续区间是( D )A), 1()1 ,( B), 2()2,(C), 1()1 ,2()2,( D),2()2,(或), 1()1 ,(2. 下列极限计算正确的是( B )A.1lim0xxx B.1lim0xxxC.11sinlim0xxx D.1
2、sinlimxxx3. 设yxlg2,则dy(B )A12dxxB1dxxln10Cln10xxdD1dxx4. 若函数 f (x)在点 x0处可导,则 ( B )是错误的A函数 f (x)在点 x0处有定义 BAxfxx)(lim0,但)(0xfA C函数 f (x)在点 x0处连续 D函数 f (x)在点 x0处可微5.当0x时,下列变量是无穷小量的是( C ). Ax2 Bxxsin C)1ln(x Dxcos(三)解答题1计算极限(1)21123lim221xxxx2112lim) 1)(1()2)(1(lim11xxxxxxxx原式精选学习资料 - - - - - - - - - 名
3、师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 19 页2 / 19 (2)218665lim222xxxxx原式 =4)-2)(x-(x3)-2)(x-(xlim2x2143lim2xxx(3)2111lim0xxx原式 =) 11() 11)(11(lim0xxxxx=111lim0xx=21(4)3142353lim22xxxxx原式 =22433531xxxx=31(5)535sin3sinlim0xxx原式 =xxxxx55sin33sinlim530 =53(6)4)2sin(4lim22xxx原式 =2)2sin(2lim2xxxx=2)2sin(lim)2(lim22xx
4、xxx = 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 19 页3 / 19 2设函数0sin0,0,1sin)(xxxxaxbxxxf,问:( 1)当ba,为何值时,)(xf在0x处有极限存在?(2)当ba,为何值时,)(xf在0x处连续 . 解: (1)1)(lim,)(lim00xfbxfxx当1f(0)f(x)lim10x有时,ba(2). 1f(0)f(x)lim1ba0x有时,当函数 f(x) 在 x=0 处连续 . 3计算下列函数的导数或微分:(1)2222log2xxyx,求y答案:2ln12ln22xxyx(2
5、)dcxbaxy,求y答案:22)()()()(dcxbcaddcxbaxcdcxay(3)531xy,求y答案:23)53(23xy(4)xxxye,求y答案:)(21xxxeexy=xxxeex21(5)bxyaxsine,求yd答案:)cos(sincossin)(sin(sin)(bxbbxebxbebxaebxebxeyaxaxaxaxaxdxbxbbxaedyax)cossin((6)xxyx1e,求yd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 19 页4 / 19 答案:xexyx23112dxexxdyx)123(
6、12(7)2ecosxxy,求yd答案:)()(sin22xexxyx =222sinxxexxdxxexxdyx)22sin(2(8)nxxynsinsin,求y答案:nxnxxnyncoscossin1(9))1ln(2xxy,求y答案:)1(1122xxxxy =)11(1122xxxx =2221111xxxxx =211x(10)xxxyx212321cot,求y答案:531cos261211cos61211sin2ln21)2()1(cos2ln2xxxxxxxyxx4.下列各方程中y是x的隐函数,试求y或yd(1) 方程两边对x 求导:0322yxyyyx32)2(xyyxy所以
7、dxxyxydy232 (2) 方程两边对x 求导:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 19 页5 / 19 4)()1)(cos(yxyeyyxxyxyxyyeyxyxeyx)cos(4)cos(所以xyxyxeyxyeyxy)cos()cos(45求下列函数的二阶导数:(1))1ln(2xy,求y答案: (1) 212xxy222222)1(22)1(22)1 (2xxxxxxy (2) 212321212121)(xxxxy23254143xxy14143)1(y作业(二)(一)填空题1.若cxxxfx22d)(,则_
8、)(xf.答案:22ln2x2.xx d)sin(_.答案:cxsin3.若cxFxxf)(d)(,则xxxfd)1(2.答案:cxF)1(2124.设函数_d)1ln(dde12xxx.答案: 0 5.若ttxPxd11)(02,则_)(xP.答案:211x(二)单项选择题1. 下列函数中,(D)是 xsinx2的原函数A21cosx2B2cosx2C- 2cosx2D-21cosx22. 下列等式成立的是( C ) A)d(cosdsinxxxB)1d(dlnxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 19 页6 / 19
9、 C)d(22ln1d2xxx Dxxxdd13. 下列不定积分中,常用分部积分法计算的是(C )Axxc1)dos(2,Bxxxd12Cxxxd2sinDxxxd124. 下列定积分计算正确的是(D)A2d211xxB15d161xC0)d(32xxxD0dsinxx5. 下列无穷积分中收敛的是( B )A1d1xx B12d1xx C0dexx D1dsinxx(三)解答题1.计算下列不定积分(1)xxxde3原式 =dxex)3( =ceceexxx)13(ln33ln)3((2)xxxd)1(2答案:原式 =dxxxx)2(2321 =cxxx25232152342(3)xxxd242
10、答案:原式 =cxxdxx221)2(2(4)xxd211答案:原式 =cxxxd21ln2121)21(21(5)xxxd22答案:原式 =)2(22122xdx =cx232)2(31(6)xxxdsin答案:原式 =cxxdxcos2sin2(7)xxxd2sin答案: (+) x2sinx (-) 1 2cos2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 19 页7 / 19 (+) 0 2sin4x原式 =cxxx2sin42cos2(8)xx1)dln(答案: (+) )1ln( x 1 (-) 11xx 原式 =dx
11、xxxx1)1ln( =dxxxx)111()1ln( =cxxxx)1ln()1ln(2.计算下列定积分(1)xxd121答案:原式 =2111)1()1(dxxdxx=29252)21(2212xx(2)xxxde2121答案:原式 =212211)(xdxxex=21211eeex(3)xxxdln113e1答案:原式 =31)ln1(ln1exdxxx=21ln123ex(4)xxxd2cos20答案: (+)xx2cos (-)1 x2sin21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 19 页8 / 19 (+)0 x
12、2cos41 原式 =20)2cos412sin21(xxx =214141(5)xxxdlne1答案: (+) xlnx (-) x122x 原式 =eexdxxx11221ln21 =)1(414122122exee(6)xxxd)e1 (40答案:原式 =404dxxex又 (+)xxe (-)1 -xe (+)0 xe4040)(xxxexedxxe =154e故:原式 =455e(一)填空题1.设矩阵161223235401A,则A的元素_23a.答案: 3 2.设BA,均为 3 阶矩阵,且3BA,则TAB2=_. 答案:723. 设BA,均 为n阶 矩 阵 , 则 等 式2222)
13、(BABABA成 立 的 充 分 必 要 条 件 是 .答 案 :BAAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 19 页9 / 19 4. 设BA,均为n阶矩阵,)(BI可逆,则矩阵XBXA的解_X.答案:ABI1)(5.设矩阵300020001A,则_1A.答案:31000210001A(二)单项选择题1. 以下结论或等式正确的是( C )A若BA,均为零矩阵,则有BAB若ACAB,且OA,则CBC对角矩阵是对称矩阵D若OBOA,,则OAB2. 设A为43矩阵,B为25矩阵,且乘积矩阵TACB有意义,则TC为( A)矩阵A4
14、2B24C53D353. 设BA,均为n阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(C ) A111)(BABA,B111)(BABACBAABDBAAB4. 下列矩阵可逆的是(A)A300320321B321101101C0011D22115. 矩阵444333222A的秩是(B )A0 B1 C2 D3 三、解答题1计算(1)01103512=5321(2)001130200000精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 19 页10 / 19 (3)21034521=02计算723016542132341421231221321解723
15、01654274001277197723016542132341421231221321 =1423011121553设矩阵110211321B110111132,A,求AB。解 因为BAAB22122)1()1(01021123211011113232A01101-1-0321110211321B所以002BAAB4设矩阵01112421A,确定的值,使)(Ar最小。解:74041042141074042101112421)1()2(),(A4900410421)4(所以当49时,秩)(Ar最小为 2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
16、第 10 页,共 19 页11 / 19 5求矩阵32114024713458512352A的秩。答案:解:)4()2()5()(3211412352345850247132114024713458512352A,)3()3(361527036152701259002471361527012590361527002471),(00000000001259002471所以秩)(Ar=2。6求下列矩阵的逆矩阵:(1)111103231A答案解:101340013790001231100111010103001231)1(3IA194319100091319710031031011013400913
17、19710001231)4(3)91(943100732010311001194319100732010311001973所以9437323111A。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 19 页12 / 19 (2)A =1121243613答案解:10011201012470141110011201012400136137IA13027101512810701411130271028141520701411)2(42101001720100310012101001512810811401)8(4)1(所以21017203
18、11A。7设矩阵3221,5321BA,求解矩阵方程BXA答案:1BAX131001211310012110530121)1()3(IA13102501)2(13251A1101132532211BAX四、证明题1试证:若21, BB都与A可交换,则21BB,21BB也与A可交换。证明:ABAB11,ABAB22ABBABABABABBBA)()(21212121ABBABBABBBABBBA)()(2121212121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 19 页13 / 19 即21BB,21BB也与A可交换。2试证:对
19、于任意方阵A,TAA,AAAATT,是对称矩阵。证明:TTTTTTTAAAAAAAA)()(TTTTTTAAAAAA)()()(AAAAAATTTTTT)()()(TAA,AAAATT,是对称矩阵。3设BA,均为n阶对称矩阵,则AB对称的充分必要条件是:BAAB。证明:充分性AAT,BBT,ABABT)(BAABABABTTT)(必要性AAT,BBT,BAABABBABAABTTTT)()(即AB为对称矩阵。4设A为n阶对称矩阵,B为n阶可逆矩阵,且TBB1,证明ABB1是对称矩阵。证明:AAT,TBB1ABBBABBABBABABBTTTTT11111111)()()()(即ABB1是对称矩
20、阵。(一)填空题1.函数xxxf1)(在区间_内是单调减少的 .答案:)1 , 0()0, 1(2.函数2) 1(3 xy的驻点是_,极值点是,它是极值点. 答案:1,1 xx,小3.设某商品的需求函数为2e10)(ppq,则需求弹性pE.答案:p24.行列式_111111111D.答案: 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 19 页14 / 19 5.设线性方程组bAX,且010023106111tA,则_t时,方程组有唯一解.答案:1(二)单项选择题1. 下列函数在指定区间(,)上单调增加的是( B )AsinxB
21、e xCx 2 D3 x 2. 已知需求函数ppq4 .02100)(,当10p时,需求弹性为( C )A2ln244 p B2ln4 C2ln4- D2ln24-4p3. 下列积分计算正确的是( A)A110d2eexxxB110d2eexxxC0dsin11xxx- D0)d(3112xxx-4. 设线性方程组bXAnm有无穷多解的充分必要条件是( D )AmArAr)()( BnAr)( Cnm DnArAr)()(5. 设线性方程组33212321212axxxaxxaxx,则方程组有解的充分必要条件是( C )A0321aaa B0321aaaC0321aaaD0321aaa三、解答
22、题1求解下列可分离变量的微分方程:(1) yxye答案:原方程变形为:yxedxdy分离变量得:dxedyexy两边积分得:dxeydexy)(原方程的通解为:Ceexy(2)23eddyxxyx答案:分离变量得:dxxedyyx23两边积分得:dxxedyyx23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 19 页15 / 19 原方程的通解为:Cexeyxx32. 求解下列一阶线性微分方程:(1)3)1(12xyxy答案:原方程的通解为:)1() 1(3)1(12)1(1231212CdxxeeCdxxeeyxdxxdxdxx
23、dxx)1()1()1() 1(3223)1ln()1ln(22CdxxxxCdxxeexx)21()1() 1()1(222CxxxCdxxx(2)xxxyy2sin2答案:原方程的通解为:)2sin2()2sin2(11CxdxxeeCxdxxeeyxxdxdx3.求解下列微分方程的初值问题:(1)yxy2e,0)0(y答案:原方程变形为:yxedxdy2分离变量得:dxedyexy2两边积分得:dxedyexy2原方程的通解为:Ceexy221将00yx,代入上式得:21C则原方程的特解为:21212xyee(2)0exyyx,0) 1(y答案:原方程变形为:xyxyxe1原方程的通解为
24、:)(1)()(lnln111CdxexCdxxeeeCdxxeeeyxxxxxdxxdxx)(1Cexx将01yx,代入上式得:eC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 19 页16 / 19 则原方程的特解为:)(1eexyx4.求解下列线性方程组的一般解:(1)03520230243214321431xxxxxxxxxxx答案:原方程的系数矩阵变形过程为:000011101201111011101201351223111201)2(A由于秩 (A)=2n=4,所以原方程有无穷多解,其一般解为:4324312xxxxxx
25、(其中43xx ,为自由未知量)。(2)5114724212432143214321xxxxxxxxxxxx答案:原方程的增广矩阵变形过程为:51147111112241215114712412111112),(A000003735024121373503735024121)1()2(000005357531054565101000005357531024121)2()51(由于秩 (A)=2n=4,所以原方程有无穷多解,其一般解为:432431575353565154xxxxxx(其中43xx ,为自由未知量)。5.当为何值时,线性方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
26、归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 19 页17 / 19 43214321432143211095733223132245xxxxxxxxxxxxxxxx有解,并求一般解。答案:原方程的增广矩阵变形过程为:141826203913103913102451110957332231131224511)7()3()2(A800000000039131015801)2()1(所以当8时,秩 (A)=2n=4,原方程有无穷多解,其一般解为:4324319133581xxxxxx5ba,为何值时,方程组baxxxxxxxxx3213213213221答案:当3a且3b时,方程组无解;当
27、3a时,方程组有唯一解;当3a且3b时,方程组无穷多解。原方程的增广矩阵变形过程为:3300112011111140112011113122111111)2()1()1(bababaA讨论:( 1)当ba,3为实数时 ,秩(A)=3=n=3,方程组有唯一解;( 2)当33ba,时,秩 (A)=2n=3 ,方程组有无穷多解;(3)当33ba,时,秩 (A)=3秩 (A)=2,方程组无解;6求解下列经济应用问题:(1)设生产某种产品q个单位时的成本函数为:qqqC625. 0100)(2(万元) , 求:当10q时的总成本、平均成本和边际成本;当产量q为多少时,平均成本最小?精选学习资料 - -
28、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 19 页18 / 19 答案:平均成本函数为:625.0100)()(qqqqCqC(万元 /单位)边际成本为:65 .0)(qqC 当10q时的总成本、平均成本和边际成本分别为:)(1851061025.0100)10(2元C5.1861025.010100)10(C(万元 /单位)116105.0)10(C(万元 /单位)由平均成本函数求导得:25.0100)(2qqC令0)(qC得唯一驻点201q(个),201q(舍去)由实际问题可知,当产量q为 20 个时,平均成本最小。(2).某厂生产某种产品q件时
29、的总成本函数为201. 0420)(qqqC(元),单位销售价格为qp01.014(元 /件),问产量为多少时可使利润达到最大?最大利润是多少答案:( 2)解:由qp01.014得收入函数201.014)(qqpqqR得利润函数:2002.010)()()(2qqqCqRqL令004.010)(qqL解得:250q唯一驻点所以,当产量为250 件时,利润最大,最大利润:12302025002. 025010)250(2L( 元) (3)投产某产品的固定成本为36(万元 ),且边际成本为402)(qqC(万元 /百台 )试求产量由4百台增至 6 百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达
30、到最低解:当产量由4 百台增至 6 百台时,总成本的增量为答案:产量由4 百台增至 6 百台时总成本的增量为10046)40()402()(26464xxdxxdxxCC(万元 ) 成本函数为:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 19 页19 / 19 0240)402()()(CxxdxxdxxCxC又固定成本为36 万元,所以3640)(2xxxC(万元 ) 平均成本函数为:xxxxCxC3640)()(万元 /百台 ) 求平均成本函数的导数得:2361)(xxC令0)(xC得驻点61x,62x(舍去)由实际问题可知,当产量为6 百台时,可使平均成本达到最低。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 19 页