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1、1 / 19 （一）填空题1._sinlim0xxxx.答案： 0 2.设0,0, 1)(2xkxxxf，在0x处连续，则_k.答案： 1 3.曲线xy在)1 , 1(的切线方程是 .答案：2121xy4.设函数52)1(2xxxf，则_)(xf.答案：x25.设xxxfsin)(，则_)2(f.答案：2（二）单项选择题1. 函数212xxxy的连续区间是（ D ）A), 1()1 ,( B), 2()2,(C), 1()1 ,2()2,( D),2()2,(或), 1()1 ,(2. 下列极限计算正确的是（ B ）A.1lim0xxx B.1lim0xxxC.11sinlim0xxx D.1
2、sinlimxxx3. 设yxlg2，则dy（B ）A12dxxB1dxxln10Cln10xxdD1dxx4. 若函数 f (x)在点 x0处可导，则 ( B )是错误的A函数 f (x)在点 x0处有定义 BAxfxx)(lim0，但)(0xfA C函数 f (x)在点 x0处连续 D函数 f (x)在点 x0处可微5.当0x时，下列变量是无穷小量的是（ C ）. Ax2 Bxxsin C)1ln(x Dxcos(三)解答题1计算极限（1）21123lim221xxxx2112lim) 1)(1()2)(1(lim11xxxxxxxx原式精选学习资料 - - - - - - - - - 名
3、师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页2 / 19 （2）218665lim222xxxxx原式 =4)-2)(x-(x3)-2)(x-(xlim2x2143lim2xxx（3）2111lim0xxx原式 =) 11() 11)(11(lim0xxxxx=111lim0xx=21（4）3142353lim22xxxxx原式 =22433531xxxx=31（5）535sin3sinlim0xxx原式 =xxxxx55sin33sinlim530 =53（6）4)2sin(4lim22xxx原式 =2)2sin(2lim2xxxx=2)2sin(lim)2(lim22xx
4、xxx = 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页3 / 19 2设函数0sin0,0,1sin)(xxxxaxbxxxf，问：（ 1）当ba,为何值时，)(xf在0x处有极限存在？（2）当ba,为何值时，)(xf在0x处连续 . 解： (1)1)(lim,)(lim00xfbxfxx当1f(0)f(x)lim10x有时，ba(2). 1f(0)f(x)lim1ba0x有时，当函数 f(x) 在 x=0 处连续 . 3计算下列函数的导数或微分：（1）2222log2xxyx，求y答案：2ln12ln22xxyx（2
5、）dcxbaxy，求y答案：22)()()()(dcxbcaddcxbaxcdcxay（3）531xy，求y答案：23)53(23xy（4）xxxye，求y答案：)(21xxxeexy=xxxeex21（5）bxyaxsine，求yd答案：)cos(sincossin)(sin(sin)(bxbbxebxbebxaebxebxeyaxaxaxaxaxdxbxbbxaedyax)cossin(（6）xxyx1e，求yd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页4 / 19 答案：xexyx23112dxexxdyx)123(
6、12（7）2ecosxxy，求yd答案：)()(sin22xexxyx =222sinxxexxdxxexxdyx)22sin(2（8）nxxynsinsin，求y答案：nxnxxnyncoscossin1（9）)1ln(2xxy，求y答案：)1(1122xxxxy =)11(1122xxxx =2221111xxxxx =211x（10）xxxyx212321cot，求y答案：531cos261211cos61211sin2ln21)2()1(cos2ln2xxxxxxxyxx4.下列各方程中y是x的隐函数，试求y或yd(1) 方程两边对x 求导：0322yxyyyx32)2(xyyxy所以
7、dxxyxydy232 (2) 方程两边对x 求导：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页5 / 19 4)()1)(cos(yxyeyyxxyxyxyyeyxyxeyx)cos(4)cos(所以xyxyxeyxyeyxy)cos()cos(45求下列函数的二阶导数：（1）)1ln(2xy，求y答案： (1) 212xxy222222)1(22)1(22)1 (2xxxxxxy (2) 212321212121)(xxxxy23254143xxy14143)1(y作业（二）（一）填空题1.若cxxxfx22d)(，则_
8、)(xf.答案：22ln2x2.xx d)sin(_.答案：cxsin3.若cxFxxf)(d)(，则xxxfd)1(2.答案：cxF)1(2124.设函数_d)1ln(dde12xxx.答案： 0 5.若ttxPxd11)(02，则_)(xP.答案：211x（二）单项选择题1. 下列函数中，（D）是 xsinx2的原函数A21cosx2B2cosx2C- 2cosx2D-21cosx22. 下列等式成立的是（ C ） A)d(cosdsinxxxB)1d(dlnxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页6 / 19
9、 C)d(22ln1d2xxx Dxxxdd13. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（C ）Axxc1)dos(2，Bxxxd12Cxxxd2sinDxxxd124. 下列定积分计算正确的是（D）A2d211xxB15d161xC0)d(32xxxD0dsinxx5. 下列无穷积分中收敛的是（ B ）A1d1xx B12d1xx C0dexx D1dsinxx(三)解答题1.计算下列不定积分（1）xxxde3原式 =dxex)3( =ceceexxx)13(ln33ln)3(（2）xxxd)1(2答案：原式 =dxxxx)2(2321 =cxxx25232152342（3）xxxd242
10、答案：原式 =cxxdxx221)2(2（4）xxd211答案：原式 =cxxxd21ln2121)21(21（5）xxxd22答案：原式 =)2(22122xdx =cx232)2(31（6）xxxdsin答案：原式 =cxxdxcos2sin2（7）xxxd2sin答案： (+) x2sinx (-) 1 2cos2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页7 / 19 (+) 0 2sin4x原式 =cxxx2sin42cos2（8）xx1)dln(答案： (+) )1ln( x 1 (-) 11xx 原式 =dx
11、xxxx1)1ln( =dxxxx)111()1ln( =cxxxx)1ln()1ln(2.计算下列定积分（1）xxd121答案：原式 =2111)1()1(dxxdxx=29252)21(2212xx（2）xxxde2121答案：原式 =212211)(xdxxex=21211eeex（3）xxxdln113e1答案：原式 =31)ln1(ln1exdxxx=21ln123ex（4）xxxd2cos20答案： (+)xx2cos (-)1 x2sin21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页8 / 19 (+)0 x
12、2cos41 原式 =20)2cos412sin21(xxx =214141（5）xxxdlne1答案： (+) xlnx (-) x122x 原式 =eexdxxx11221ln21 =)1(414122122exee（6）xxxd)e1 (40答案：原式 =404dxxex又 (+)xxe (-)1 -xe (+)0 xe4040)(xxxexedxxe =154e故：原式 =455e（一）填空题1.设矩阵161223235401A，则A的元素_23a.答案： 3 2.设BA,均为 3 阶矩阵，且3BA，则TAB2=_. 答案：723. 设BA,均 为n阶 矩 阵 ， 则 等 式2222)
13、(BABABA成 立 的 充 分 必 要 条 件 是 .答 案 ：BAAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页9 / 19 4. 设BA,均为n阶矩阵，)(BI可逆，则矩阵XBXA的解_X.答案：ABI1)(5.设矩阵300020001A，则_1A.答案：31000210001A（二）单项选择题1. 以下结论或等式正确的是（ C ）A若BA,均为零矩阵，则有BAB若ACAB，且OA，则CBC对角矩阵是对称矩阵D若OBOA,，则OAB2. 设A为43矩阵，B为25矩阵，且乘积矩阵TACB有意义，则TC为（ A）矩阵A4
14、2B24C53D353. 设BA,均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（C ） A111)(BABA，B111)(BABACBAABDBAAB4. 下列矩阵可逆的是（A）A300320321B321101101C0011D22115. 矩阵444333222A的秩是（B ）A0 B1 C2 D3 三、解答题1计算（1）01103512=5321（2）001130200000精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页10 / 19 （3）21034521=02计算723016542132341421231221321解723
15、01654274001277197723016542132341421231221321 =1423011121553设矩阵110211321B110111132，A，求AB。解 因为BAAB22122)1()1(01021123211011113232A01101-1-0321110211321B所以002BAAB4设矩阵01112421A，确定的值，使)(Ar最小。解：74041042141074042101112421)1()2(），（A4900410421)4(所以当49时，秩)(Ar最小为 2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
16、第 10 页，共 19 页11 / 19 5求矩阵32114024713458512352A的秩。答案：解：)4()2()5()(3211412352345850247132114024713458512352A，)3()3(361527036152701259002471361527012590361527002471），（00000000001259002471所以秩)(Ar=2。6求下列矩阵的逆矩阵：（1）111103231A答案解：101340013790001231100111010103001231)1(3IA194319100091319710031031011013400913
17、19710001231)4(3)91(943100732010311001194319100732010311001973所以9437323111A。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页12 / 19 （2）A =1121243613答案解：10011201012470141110011201012400136137IA13027101512810701411130271028141520701411)2(42101001720100310012101001512810811401)8(4)1(所以21017203
18、11A。7设矩阵3221,5321BA，求解矩阵方程BXA答案：1BAX131001211310012110530121)1()3(IA13102501)2(13251A1101132532211BAX四、证明题1试证：若21, BB都与A可交换，则21BB，21BB也与A可交换。证明：ABAB11，ABAB22ABBABABABABBBA)()(21212121ABBABBABBBABBBA)()(2121212121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页13 / 19 即21BB，21BB也与A可交换。2试证：对
19、于任意方阵A，TAA，AAAATT,是对称矩阵。证明：TTTTTTTAAAAAAAA)()(TTTTTTAAAAAA)()()(AAAAAATTTTTT)()()(TAA，AAAATT,是对称矩阵。3设BA,均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：BAAB。证明：充分性AAT，BBT，ABABT)(BAABABABTTT)(必要性AAT，BBT，BAABABBABAABTTTT)()(即AB为对称矩阵。4设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且TBB1，证明ABB1是对称矩阵。证明：AAT，TBB1ABBBABBABBABABBTTTTT11111111)()()()(即ABB1是对称矩
20、阵。（一）填空题1.函数xxxf1)(在区间_内是单调减少的 .答案：)1 , 0()0, 1(2.函数2) 1(3 xy的驻点是_，极值点是，它是极值点. 答案：1,1 xx，小3.设某商品的需求函数为2e10)(ppq，则需求弹性pE.答案：p24.行列式_111111111D.答案： 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页14 / 19 5.设线性方程组bAX，且010023106111tA，则_t时，方程组有唯一解.答案：1（二）单项选择题1. 下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（ B ）AsinxB
21、e xCx 2 D3 x 2. 已知需求函数ppq4 .02100)(，当10p时，需求弹性为（ C ）A2ln244 p B2ln4 C2ln4- D2ln24-4p3. 下列积分计算正确的是（ A）A110d2eexxxB110d2eexxxC0dsin11xxx- D0)d(3112xxx-4. 设线性方程组bXAnm有无穷多解的充分必要条件是（ D ）AmArAr)()( BnAr)( Cnm DnArAr)()(5. 设线性方程组33212321212axxxaxxaxx，则方程组有解的充分必要条件是（ C ）A0321aaa B0321aaaC0321aaaD0321aaa三、解答
22、题1求解下列可分离变量的微分方程：(1) yxye答案：原方程变形为：yxedxdy分离变量得：dxedyexy两边积分得：dxeydexy)(原方程的通解为：Ceexy（2）23eddyxxyx答案：分离变量得：dxxedyyx23两边积分得：dxxedyyx23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页15 / 19 原方程的通解为：Cexeyxx32. 求解下列一阶线性微分方程：（1）3)1(12xyxy答案：原方程的通解为：)1() 1(3)1(12)1(1231212CdxxeeCdxxeeyxdxxdxdxx
23、dxx)1()1()1() 1(3223)1ln()1ln(22CdxxxxCdxxeexx)21()1() 1()1(222CxxxCdxxx（2）xxxyy2sin2答案：原方程的通解为：)2sin2()2sin2(11CxdxxeeCxdxxeeyxxdxdx3.求解下列微分方程的初值问题：(1)yxy2e,0)0(y答案：原方程变形为：yxedxdy2分离变量得：dxedyexy2两边积分得：dxedyexy2原方程的通解为：Ceexy221将00yx，代入上式得：21C则原方程的特解为：21212xyee(2)0exyyx,0) 1(y答案：原方程变形为：xyxyxe1原方程的通解为
24、：)(1)()(lnln111CdxexCdxxeeeCdxxeeeyxxxxxdxxdxx)(1Cexx将01yx，代入上式得：eC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页16 / 19 则原方程的特解为：)(1eexyx4.求解下列线性方程组的一般解：（1）03520230243214321431xxxxxxxxxxx答案：原方程的系数矩阵变形过程为：000011101201111011101201351223111201)2(A由于秩 (A)=2n=4，所以原方程有无穷多解，其一般解为：4324312xxxxxx
25、（其中43xx ，为自由未知量）。（2）5114724212432143214321xxxxxxxxxxxx答案：原方程的增广矩阵变形过程为：51147111112241215114712412111112),(A000003735024121373503735024121)1()2(000005357531054565101000005357531024121)2()51(由于秩 (A)=2n=4，所以原方程有无穷多解，其一般解为：432431575353565154xxxxxx（其中43xx ，为自由未知量）。5.当为何值时，线性方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
26、归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页17 / 19 43214321432143211095733223132245xxxxxxxxxxxxxxxx有解，并求一般解。答案：原方程的增广矩阵变形过程为：141826203913103913102451110957332231131224511)7()3()2(A800000000039131015801)2()1(所以当8时，秩 (A)=2n=4，原方程有无穷多解，其一般解为：4324319133581xxxxxx5ba,为何值时，方程组baxxxxxxxxx3213213213221答案：当3a且3b时，方程组无解；当
27、3a时，方程组有唯一解；当3a且3b时，方程组无穷多解。原方程的增广矩阵变形过程为：3300112011111140112011113122111111)2()1()1(bababaA讨论：（ 1）当ba，3为实数时 ，秩(A)=3=n=3，方程组有唯一解；（ 2）当33ba，时，秩 (A)=2n=3 ，方程组有无穷多解；（3）当33ba，时，秩 (A)=3秩 (A)=2，方程组无解；6求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：qqqC625. 0100)(2（万元） , 求：当10q时的总成本、平均成本和边际成本；当产量q为多少时，平均成本最小？精选学习资料 - -
28、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页18 / 19 答案：平均成本函数为：625.0100)()(qqqqCqC（万元 /单位）边际成本为：65 .0)(qqC 当10q时的总成本、平均成本和边际成本分别为：)(1851061025.0100)10(2元C5.1861025.010100)10(C（万元 /单位）116105.0)10(C（万元 /单位）由平均成本函数求导得：25.0100)(2qqC令0)(qC得唯一驻点201q（个），201q（舍去）由实际问题可知，当产量q为 20 个时，平均成本最小。（2）.某厂生产某种产品q件时
29、的总成本函数为201. 0420)(qqqC（元），单位销售价格为qp01.014（元 /件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少答案：（ 2）解：由qp01.014得收入函数201.014)(qqpqqR得利润函数：2002.010)()()(2qqqCqRqL令004.010)(qqL解得：250q唯一驻点所以，当产量为250 件时，利润最大，最大利润：12302025002. 025010)250(2L( 元) （3）投产某产品的固定成本为36(万元 )，且边际成本为402)(qqC(万元 /百台 )试求产量由4百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达
30、到最低解：当产量由4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为答案：产量由4 百台增至 6 百台时总成本的增量为10046)40()402()(26464xxdxxdxxCC(万元 ) 成本函数为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页19 / 19 0240)402()()(CxxdxxdxxCxC又固定成本为36 万元，所以3640)(2xxxC(万元 ) 平均成本函数为：xxxxCxC3640)()(万元 /百台 ) 求平均成本函数的导数得：2361)(xxC令0)(xC得驻点61x，62x（舍去）由实际问题可知，当产量为6 百台时，可使平均成本达到最低。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页
