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1、1 第五讲解直角三角形一、 【知识梳理】知识点 1、 解直角三角形定义：由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫解直角三角形。知识点 2、解直角三角形的工具：1、直角三角形边、角之间的关系：sinA=cosB=casinB=cosA=cbtanA=cotB=bacotA=tanB=ab2、直角三角形三边之间的关系：222cba（勾股定理）3、直角三角形锐角之间的关系：90BA。 （两锐角互为余角）知识点 3、解直角三角形的类型：可以归纳为以下2 种，（ 1） 、已知一边和一锐角解直角三角形；（ 2） 、已知两边解直角三角形。知识点 4、解直角三角形应用题的几个名词和素语1、方位角：在航海的某
2、些问题中，描述船的航向，或目标对观测点的位置，常用方位角.画方位角时，常以铅直的直线向上的方向指北，而以水平直线向右的方向为东，而以交点为观测点. 2、仰角和俯角在利用测角仪观察目标时，视线在水平线上方和水平线的夹角称为仰角，视线在水平线下方和水平线的夹角称为俯角（如图）. 在测量距离、高度时，仰角和俯角常是不可缺少的数据. 3、坡度和坡角：在筑坝、修路时，常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫作坡度（或坡比），用字母i表示（如图（ 1） ） ，则有,lhi坡面和水平面的夹角叫作坡角.显然有：tanlhi，这说明坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也越大. 二、 【典型题例】考点 1、解直角
3、三角形例 1 、1、在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为cba、（1）已知3b，30A，求a和c（2）已知20a，20b，求A2、如图，已知ABC 中 B=45， C=30， BC=10，AD 是 BC 边上的高，求AD 的长3、已知，如图，ABC 中， A=30 ， AB=6 ，CDAB 交AB 延长线于D， CBD=60 。求 CD 的长。考点 2、解直角三角形的应用例 2. （ 2012 深圳） 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8 米，坡面上的影长为4 米已知斜坡的坡角为300，同一时刻，一根长为1 米、垂直于地面放置的
4、标杆在地面上的影长为2 米，求树的高度ABCDCADB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页2 例 3. 如图 , 在 ABC 中, ACB= 90 , CAB= 30,ABD 是等边三角形,将四边形ACBD 沿直线 EF 折叠，使D 与 C 重合， CE 与 CF 分别交 AB 于点 G、H. （1）求证： AEG CHG；（2） AEG 与 BHF 是否相似，并说明理由；（3）若 BC=1，求 cos CHG的值 . 例 4、 如图，有一段防洪大堤， 其横断面为梯形ABCD ， AB DC ， 斜坡 AD的坡度1i=
5、1:1.2 ， 斜坡 BC的坡度2i=1:0.8 ，大堤顶宽DC为 6 米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE ，EF DC ，点 E、F 分别在 AD 、 BC的延长线上，当新大堤顶宽EF为 3.8 米时，大堤加高了几米? 例 5 （08 荆州）载着“点燃激情，传递梦想”的使用，6 月 2 日奥运圣火在古城荆州传递，途经A、B、C、D 四地如图，其中 A、B、C 三地在同一直线上， D 地在 A 地北偏东 45o方向，在 B地正北方向，在 C 地北偏西 60o方向C 地在 A 地北偏东 75o方向B、D 两地相距 2km问奥运圣火从 A 地传到 D 地的路程大约是
6、多少？（最后结果保留整数，参考数据：21.4,31.7）例2. 如图， ABCD为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若,10,31tanCEDCAEN（1）求 ANE的面积；（2）求 sin ENB的值。三、 【巩固与提高】（一） 、填空题：1小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、C 在同一直线上， EF AD， A=EDF =90 ， C=45 ，E=60 ，量得 DE=8，则 BD 的长是 _。2如图， 某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为 30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡
7、，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC 的坡度1:5i，则 AC 的长度是cm3如图，已知ABC，ABAC1， A36 ， ABC 的平分线 BD 交AC 于点 D，则 AD 的长是 _，cosA 的值是 _(结果保留根号) 4如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上， AB、CD 相交于点P，则 tanAPD 的值是（二） 、解答题：A B C D F E H G A B C 北北645D CAGBDEMNA B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页3 CBA5
8、为了解某广告牌的高度，已知CD=2m ，经测量，得到其它数据如图所示其中CAH=30 ， DBH=60 ，AB=10m 请你根据以上数据计算GH 的长 （错误 !未找到引用源。 1.73 ，要求结果精确到0lm）6施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB=4 米，斜面距离BC=4.25 米，斜坡总长DE=85 米（1）求坡角 D 的度数（结果精确到1 ） ；（2）若这段斜坡用厚度为17 厘米的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶? （参考数据： cos20 0.94，sin20 0.34，sin18 0.31，cos18 0.95）7如图，某水库大坝的横断面是等腰
9、梯形，坝顶宽6 米，坝高10 米，斜坡AB的坡度为1:2 现要加高2 米，在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下，加固一条长50 米的大坝，需要多少土方? 8如图，已知某小区的两幢10 层住宅楼间的距离为AC=30 m，由地面向上依次为第1 层、第 2 层、 、第 10层，每层高度为3 m假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为(1) 用含 的式子表示h(不必指出的取值范围 )；(2) 当 30 时，甲楼楼顶B 点的影子落在乙楼的第几层？若每小时增加15 ，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？作业：1.在 RtABC中, C=900, 则下列等式中不正确的是(
10、)（A）a=csinA ；（ B）a=bcotB ；（ C）b=csinB ；（ D）Bbccos. 2.为测楼房BC的高，在距楼房30 米的 A处，测得楼顶B的仰角为 , 则楼房 BC的高为 ( ) （A）30tan米； （B）30tan米；（ C ）30sin米；（D）30sin米3.某人沿倾斜角为 的斜坡走了100 米，则他上升的高度是米4已知 ,如图 ,在四边形ABCD 中,AD=CD,AB=7,tanA=2,B=D=90,求 BC 的长 . 17cm 第 6 题图A B C D E F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3
11、页，共 5 页4 M ENCA5如图，为了测量某山AB 的高度，小明先在山脚下C 点测得山顶A 的仰角为45 ，然后沿坡角为30 的斜坡走 100 米到达 D 点，在 D 点测得山顶A 的仰角为 30 ，求山 AB 的高度（参考数据：31.73 ）6如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500 米，高10 米，背水坡的坡角为45 的防洪大堤（横断面为梯形ABCD ）急需加固 .经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3 米，加固后背水坡EF 的坡比 i=1：3 .（ 1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号
12、）7我国为了维护队钓鱼岛P 的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（ AP BD） ，当轮船航行到距钓鱼岛20km 的 A 处时，飞机在B 处测得轮船的俯角是45 ；当轮船航行到 C 处时，飞机在轮船正上方的E 处，此时 EC=5km轮船到达钓鱼岛P 时，测得 D 处的飞机的仰角为30 试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号） 8如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10 米，坡角为，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1 米） . 9为申办 2010 年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面
13、上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点 3 米远的 D 处，从 C 点测得树的顶端 A 点的仰角为60 ，树的底部B 点的俯角为30 . 问：距离B 点 8 米远的保护物是否在危险区内？10如图， 某一水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD5 米，斜坡AD16 米，坝高6米，斜坡 BC 的坡度 .求斜坡 AD 的坡角 A（精确到1 分）和坝底宽AB （精确到 0.1 米）11在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1 所示） ：6030BDCADCBA555.8m10mA B C D 553:1i精选学习
14、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页5 （1）在测点 A 处安置测倾器，测得旗杆顶部M 的仰角 MCE ；（2）量出测点A 到旗杆底部N 的水平距离ANm; （3）量出测倾器的高度AC h。根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN 。如果测量工具不变，请参照上述过程， 重新设计一个方案测量某小山高度（如图 2）1） 在图 2 中，画出你测量小山高度MN 的示意图2）写出你的设计方案。12如图，在 ABC 中， C=90 ， AC=5cm ，BAC的平分线交BC于 D，AD 1033 cm, 求 B，AB ，BC. 13如图，小
15、方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20 米，此时小方正好站在A 处，并测得 CBD=60 ，牵引底端B 离地面 1.5 米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）14如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400 米，高 8 米，背水坡的坡角为45 的防洪大堤（横截面为梯形 ABCD）急需加固经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2 米，加固后， 背水坡 EF 的坡比 i=1：2（1）求加固后坝底增加的宽度AF 的长；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？15某船向正东航行，在 A 处望见灯塔C 在东北方向， 前进到 B 处望
16、见灯塔C 在北偏西30o,又航行了半小时到D 处，望灯塔C 恰在西北方向，若船速为每小时20 海里，求A、D 两点间的距离。 （结果不取近似值）16北方向 10 海里处的A点有一涉嫌走私船只，正以 24 海里小时的速度向正东方向航行为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以 26 海里小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问需要几小时才能追上？（点B为追上时的位置）确定巡逻艇的追赶方向（精确到01） 参考数据： sin66 8 0 9191 cos 668 0 393 sin674 0 9231 cos 674 0 3846 sin684 0 9298 cos 684 0 368l sin706 0 9432 cos706 0 3322 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
